《(新高考)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 主攻40個必考點 解析幾何 考點過關(guān)檢測二十三 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(新高考)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 主攻40個必考點 解析幾何 考點過關(guān)檢測二十三 理(5頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、考點過關(guān)檢測(二十三)
1.(2020屆高三·唐山聯(lián)考)已知F為拋物線E:y2=4x的焦點,過點P(0,2)作兩條互相垂直的直線m,n,直線m交E于不同的兩點A,B,直線n交E于不同的兩點C,D,記直線m的斜率為k.
(1)求k的取值范圍;
(2)設(shè)線段AB,CD的中點分別為點M,N,證明:直線MN過定點Q(2,0).
解:(1)由題設(shè)可知k≠0,
所以直線m的方程為y=kx+2,
與y2=4x聯(lián)立,整理得ky2-4y+8=0.①
由Δ1=16-32k>0,解得k<.
直線n的方程為y=-x+2,與y2=4x聯(lián)立,
整理得y2+4ky-8k=0,
由Δ2=16k2+32k>
2、0,解得k>0或k<-2.
所以k<-2或0b>0)短軸的一個端點與其兩個焦點構(gòu)成面積為3的直角三角形.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過圓E:x2+y2=2上任意一點P作圓E的切線l,l與橢圓C交于A,B兩點,以A
3、B為直徑的圓是否過定點,若過定點,求出該定點;若不過定點,請說明理由.
解:(1)因為橢圓C短軸的一個端點和其兩個焦點構(gòu)成直角三角形,所以b=c,·2c·b=b2=3,
又因為a2=b2+c2,所以a2=6,b2=3.
故橢圓C的方程為+=1.
(2)圓E的方程為x2+y2=2,設(shè)O為坐標原點,
①當(dāng)直線l的斜率不存在時,不妨設(shè)直線AB的方程為x=,A(,),B(,-),
所以∠AOB=90°,
所以以AB為直徑的圓過坐標原點O(0,0).
②當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)其方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
因為直線與相關(guān)圓相切,
所以d===,所以m2=
4、2+2k2.
聯(lián)立方程組消去y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0,
則Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-6)=8(6k2-m2+3)=8(4k2+1)>0,且x1+x2=-,x1x2=,
所以x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=-+m2==0,
所以⊥,
所以以AB為直徑的圓恒過坐標原點O(0,0).
綜合①②可知,以AB為直徑的圓恒過坐標原點O(0,0).
3.(2019·柳州聯(lián)考)已知拋物線C的頂點在原點,焦點在x軸上,且拋物線上有一點P(4,m)到焦點的距離為5.
(1)求該拋物線C的方程;
(2)已知拋物線上
5、一點M(t,4),過點M作拋物線的兩條弦MD和ME,且MD⊥ME,判斷直線DE是否過定點?并說明理由.
解:(1)由題意知拋物線C的焦點在x軸的正半軸上,可設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),
其準線方程為x=-,
∵P(4,m)到焦點的距離等于點P到準線的距離,
∴4+=5,∴p=2.
∴拋物線C的方程為y2=4x.
(2)把M(t,4)代入拋物線C的方程,得16=4t,
∴t=4,∴M(4,4).
由題易知直線DE的斜率不為0,
設(shè)直線DE的方程為x=ky+n,
聯(lián)立消去x,得y2-4ky-4n=0,
Δ=16k2+16n>0,①
設(shè)D(x1,y1),E(x2,
6、y2),則y1+y2=4k,y1y2=-4n.
∵MD⊥ME,
∴·=(x1-4,y1-4)·(x2-4,y2-4)
=x1x2-4(x1+x2)+16+y1y2-4(y1+y2)+16
=·-4+16+y1y2-4(y1+y2)+16
=-(y1+y2)2+3y1y2-4(y1+y2)+32
=n2-16k2-12n+32-16k=0,
即n2-12n+32=16k2+16k,得(n-6)2=4(2k+1)2,
∴n-6=±2(2k+1),得n=4k+8或n=-4k+4,
當(dāng)n=4k+8時,
代入①式滿足Δ>0,
∴直線DE的方程為x=ky+4k+8=k(y+4)+8,
7、直線過定點(8,-4).
當(dāng)n=-4k+4時,代入①式,當(dāng)k≠2時,Δ>0,此時直線DE的方程為x=k(y-4)+4,直線過定點(4,4),不合題意,舍去.
∴直線過定點(8,-4).
4.已知橢圓C:+=1(a>b>0)經(jīng)過點P,且兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形.
(1)求橢圓的方程.
(2)動直線l:mx+ny+n=0(m,n∈R)交橢圓C于A,B兩點,試問:在坐標平面上是否存在一個定點T,使得以AB為直徑的圓恒過點T.若存在.求出點T的坐標;若不存在,請說明理由.
解:(1)∵橢圓C:+=1(a>b>0)的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形,
∴
8、a=b,∴+=1.
又∵橢圓經(jīng)過點P,將點P的坐標代入橢圓方程得b2=1,∴a2=2,故橢圓方程為+y2=1.
(2)由題意動直線l過點.
當(dāng)l與x軸平行時,以AB為直徑的圓的方程為
x2+2=2;
當(dāng)l與y軸平行時,以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=1.
由解得
即兩圓相切于點(0,1),因此,如果所求的點T存在,只能是(0,1),下證點T(0,1)就是所求的點.
證明如下:當(dāng)直線l垂直于x軸時,以AB為直徑的圓過點T(0,1).
當(dāng)直線l不垂直于x軸,可設(shè)直線l:y=kx-.
由消去y并整理,得(18k2+9)x2-12kx-16=0.
設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=,x1x2=.
又∵=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),
∴·=x1x2+(y1-1)(y2-1)
=x1x2+
=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+
=(1+k2)·-k·+=0.
∴TA⊥TB,即以AB為直徑的圓恒過點T(0,1),
∴在坐標平面上存在一個定點T(0,1)滿足條件.
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