高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 2.3.2 事件的獨(dú)立性學(xué)業(yè)分層測評 蘇教版

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【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 2.3.2 事件的獨(dú)立性學(xué)業(yè)分層測評 蘇教版選修2-3 (建議用時：45分鐘) 學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、填空題 1．從應(yīng)屆高中生中選拔飛行員，已知這批學(xué)生體型合格的概率為，視力合格的概率為，其他幾項標(biāo)準(zhǔn)合格的概率為，從中任選一名學(xué)生，則該生三項均合格的概率為(假設(shè)三項標(biāo)準(zhǔn)互不影響)________． 【解析】　該生三項均合格的概率為＝. 【答案】　 2．種植兩株不同的花卉，若它們的成活率分別為p和q，則恰有一株成活的概率為________. 【導(dǎo)學(xué)號：29440048】 【解析】　由于兩株花卉成活與否互不影響，故恰有一株成活的概率為p(1－q)＋q(1－p)＝p＋q－2pq. 【答案】　p＋q－2pq 3．如圖232所示，在兩個圓盤中，指針落在本圓盤每個數(shù)所在區(qū)域的機(jī)會均等，那么兩個指針同時落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是________． 圖232 【解析】　左邊圓盤指針落在奇數(shù)區(qū)域的概率為＝，右邊圓盤指針落在奇數(shù)區(qū)域的概率為，所以兩個指針同時落在奇數(shù)區(qū)域的概率為＝. 【答案】　 4．在某道路A，B，C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這個道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為________． 【解析】　由題意可知，每個交通燈開放綠燈的概率分別為，，.在這個道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為＝. 【答案】　 5．從某地區(qū)的兒童中預(yù)選體操學(xué)員，已知這些兒童體型合格的概率為，身體關(guān)節(jié)構(gòu)造合格的概率為，從中任挑一兒童，這兩項至少有一項合格的概率是______．(假定體型與身體結(jié)構(gòu)合格與否相互之間沒有影響) 【解析】　這兩項都不合格的概率是＝，所以至少有一項合格的概率是1－＝. 【答案】　 6．如圖233，用K，A1，A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)．當(dāng)K正常工作且A1，A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次為0.9,0.8，0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為________． 圖233 【解析】　可知K，A1，A2三類元件是否正常工作相互獨(dú)立，所以A1，A2至少有一個正常工作的概率為1－(1－0.8)2＝0.96， 所以系統(tǒng)正常工作的概率為0.90.96＝0.864. 【答案】　0.864 7．(2016濟(jì)南高二檢測)甲袋中有8個白球，4個紅球，乙袋中有6個白球，6個紅球，從每袋中任取一球，則取到相同顏色的球的概率是________． 【解析】　從甲袋中任取一球是白球的概率為＝，是紅球的概率為＝；從乙袋中任取一球是白球的概率為＝，是紅球的概率為＝，故所求事件的概率為＋＝. 【答案】　 8．臺風(fēng)在危害人類的同時，也在保護(hù)人類．臺風(fēng)給人類送來了淡水資源，大大緩解了全球水荒，另外還使世界各地冷熱保持相對均衡．甲、乙、丙三顆衛(wèi)星同時監(jiān)測臺風(fēng)，在同一時刻，甲、乙、丙三顆衛(wèi)星準(zhǔn)確預(yù)報臺風(fēng)的概率分別為0.8,0.7,0.9，各衛(wèi)星間相互獨(dú)立，則在同一時刻至少有兩顆預(yù)報準(zhǔn)確的是________． 【解析】　設(shè)甲、乙、丙預(yù)報準(zhǔn)確依次記為事件A，B，C，不準(zhǔn)確記為，，， 則P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1， 至少兩顆預(yù)報準(zhǔn)確的事件有AB，AC，BC，ABC，這四個事件兩兩互斥且獨(dú)立． ∴至少兩顆預(yù)報準(zhǔn)確的概率為 P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC) ＝0.80.70.1＋0.80.30.9＋0.20.70.9＋0.80.70.9 ＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902. 【答案】　0.902 二、解答題 9．根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險的概率為0.3.設(shè)各車主購買保險相互獨(dú)立． (1)求該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率； (2)求該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率． 【解】　記A表示事件：該地的1位車主購買甲種保險； B表示事件：該地的1位車主購買乙種保險； C表示事件：該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的一種； D表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買； E表示事件：該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險都不購買． (1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B， P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8. (2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2， P(E)＝0.80.20.8＋0.80.80.2＋0.20.80.8＝0.384. 10．某城市有甲、乙、丙3個旅游景點(diǎn)，一位游客游覽這3個景點(diǎn)的概率分別是0.4,0.5,0.6，且游客是否游覽哪個景點(diǎn)互不影響，用ξ表示該游客離開該城市時游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對值，求ξ的分布列． 【解】　設(shè)游客游覽甲、乙、丙景點(diǎn)分別記為事件A1，A2，A3，已知A1，A2，A3相互獨(dú)立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6，游客游覽的景點(diǎn)數(shù)可能取值為0,1,2,3，相應(yīng)的游客沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)可能取值為3,2,1,0，所以ξ的可能取值為1,3. 則P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＋P(123) ＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(1)P(2)P(3) ＝20.40.50.6＝0.24. P(ξ＝1)＝1－0.24＝0.76. 所以分布列為： ξ 1 3 P 0.76 0.24 能力提升] 1．投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B，則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是________． 【解析】　∵P(A)＝，P(B)＝， ∴P()＝，P()＝. 又A，B為相互獨(dú)立事件， ∴P( )＝P()P()＝＝. ∴A，B中至少有一件發(fā)生的概率為 1－P( )＝1－＝. 【答案】　 2．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳躍時，均從一片荷葉跳到另一片荷葉)，而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍，如圖234所示．假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A荷葉上，則跳三次之后停在A荷葉上的概率是________. 【導(dǎo)學(xué)號：29440049】 圖234 【解析】　由已知逆時針跳一次的概率為，順時針跳一次的概率為.則逆時針跳三次停在A上的概率為P1＝＝，順時針跳三次停在A上的概率為P2＝＝.通過分析跳三次停在A荷葉上只有這兩種情況，所以跳三次之后停在A上的概率為P＝P1＋P2＝＋＝. 【答案】　 3．設(shè)每門高射炮命中飛機(jī)的概率為0.6，今有一架飛機(jī)來犯，問需要________門高射炮射擊，才能至少有99%的概率擊中它．(lg 2＝0.301) 【解析】　設(shè)需要n門高射炮才可達(dá)到目的，用A表示“命中飛機(jī)”，用Ai表示“第i門高射炮命中飛機(jī)”，則A1，A2，…，An相互獨(dú)立，且A＝A1A2…An. ∴P(A)＝1－P()＝1－P()P()…P()＝1－(1－0.6)n， 由P(A)≥0.99，所以1－0.4n≥0.99，所以n≥5.02， 又n∈N，故n＝6. 【答案】　6 4．在一個選拔項目中，每個選手都要進(jìn)行四輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答者進(jìn)入下一輪考核，否則被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪問題的概率分別為，，，，且各輪問題能否正確回答互不影響． (1)求該選手進(jìn)入第三輪才被淘汰的概率； (2)求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率； (3)該選手在選拔過程中回答過的問題的個數(shù)記為X，求隨機(jī)變量X的概率分布． 【解】　設(shè)事件Ai(i＝1,2,3,4)表示“該選手能正確回答第i輪問題”，由已知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝. (1)設(shè)事件B表示“該選手進(jìn)入第三輪才被淘汰”， 則P(B)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)P() ＝＝. (2)設(shè)事件C表示“該選手至多進(jìn)入第三輪考核”， 則P(C)＝P(＋A1＋A1A2) ＝P()＋P(A1)＋P(A1A2) ＝＋＋＝. (3)X的可能取值為1,2,3,4. P(X＝1)＝P()＝， P(X＝2)＝P(A1)＝＝， P(X＝3)＝P(A1A2)＝＝， P(X＝4)＝P(A1A2A3)＝＝， 所以，X的概率分布為 X 1 2 3 4 P