高中數(shù)學(xué) 2_6 正態(tài)分布教案 蘇教版選修2-31

2.6　正態(tài)分布 課時(shí)目標(biāo)1.利用實(shí)際問(wèn)題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.2.了解變量落在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)的概率大小.3.會(huì)用正態(tài)分布去解決實(shí)際問(wèn)題． 1．正態(tài)密度曲線 函數(shù)P(x)＝________________________的圖象為正態(tài)密度曲線，其中μ和σ為參數(shù)(σ>0，μ∈R)．不同的μ和σ對(duì)應(yīng)著不同的正態(tài)密度曲線． 2．正態(tài)密度曲線圖象的性質(zhì)特征 (1)當(dāng)x<μ時(shí)，曲線______；當(dāng)x>μ時(shí)，曲線______；當(dāng)曲線向左右兩邊無(wú)限延伸時(shí)，以x軸為_(kāi)_______； (2)正態(tài)曲線關(guān)于直線________對(duì)稱(chēng)； (3)σ越大，正態(tài)曲線越________；σ越小，正態(tài)曲線越________； (4)在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為_(kāi)_______． 3．正態(tài)分布 若X是一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)___________________________________________________ ________________________________________________________________________， 我們就稱(chēng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)μ和σ2的正態(tài)分布，簡(jiǎn)記為_(kāi)___________． 4．3σ原則 服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取________________之間的值，簡(jiǎn)稱(chēng)為3σ原則． 具體地，隨機(jī)變量X取值 落在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)上的概率約為68.3%. 落在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率約為95.4%. 落在區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率約為99.7%. 5．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 在函數(shù)P(x)＝e－，x∈R中，μ是隨機(jī)變量X的________，σ2就是隨機(jī)變量X的________，它們分別反映X取值的平均大小和穩(wěn)定程度． 我們將正態(tài)分布________稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．通過(guò)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可以確定服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的有關(guān)概率． 一、填空題 1．設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象，且f(x)＝e－，則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是________，________. 2．已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，則P(X>2)等于________． 3．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(4，σ2)，則P(ξ>4)＝________. 4．已知某地區(qū)成年男子的身高X～N(170,72)(單位：cm)，則該地區(qū)約有99.7%的男子身高在以170 cm為中心的區(qū)間________內(nèi)． 5．下面給出了關(guān)于正態(tài)曲線的4種敘述，其中正確的是________．(填序號(hào)) ①曲線在x軸上方且與x軸不相交； ②當(dāng)x>μ時(shí)，曲線下降；當(dāng)x<μ時(shí)，曲線上升； ③當(dāng)μ一定時(shí)，σ越小，總體分布越分散；σ越大，總體分布越集中； ④曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)x＝μ時(shí)，位于最高點(diǎn)． 6. 如圖所示是三個(gè)正態(tài)分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲線，則三個(gè)隨機(jī)變量X，Y，Z對(duì)應(yīng)曲線分別是圖中的______、______、______. 7．在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)，已知ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為_(kāi)_______． 8．工人生產(chǎn)的零件的半徑ξ在正常情況下服從正態(tài)分布N(μ，σ2)．在正常情況下，取出1 000個(gè)這樣的零件，半徑不屬于(μ－3σ，μ＋3σ)這個(gè)范圍的零件約有________個(gè)． 二、解答題 9．如圖是一個(gè)正態(tài)曲線．試根據(jù)該圖象寫(xiě)出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機(jī)變量的期望和方差． 10．在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)?chǔ)畏囊粋€(gè)正態(tài)分布，即ξ～N(90，100)． (1)試求考試成績(jī)?chǔ)挝挥趨^(qū)間(70,110)上的概率是多少？ (2)若這次考試共有2 000名考生，試估計(jì)考試成績(jī)?cè)?80,100)間的考生大約有多少人？ 能力提升 11．若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則P(X≤μ)＝________. 12．某年級(jí)的一次信息技術(shù)測(cè)驗(yàn)成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(70,102)，如果規(guī)定低于60分為不及格，求： (1)成績(jī)不及格的人數(shù)占多少？ (2)成績(jī)?cè)?0～90分之間的學(xué)生占多少？ 1．要求正態(tài)分布的概率密度函數(shù)式，關(guān)鍵是理解正態(tài)分布密度曲線的概念及解析式中各字母參數(shù)的意義． 2．解正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題，一定要靈活把握3σ原則，將所求問(wèn)題向P(μ－σ<ξ<μ＋σ)，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用特定值求出相應(yīng)概率．同時(shí)要充分利用曲線的對(duì)稱(chēng)性和曲線與x軸之間的面積為1這一特殊性質(zhì)． 2．6　正態(tài)分布 答案 知識(shí)梳理 1.e－，x∈R 2．(1)上升　下降　漸近線　(2)x＝μ　(3)扁平　尖陡　(4)1 3．任給區(qū)間(a，b]，P(a<x≤b)恰好是正態(tài)密度曲線下方和X軸上(a，b]上方所圍成的圖形的面積　X～N(μ，σ2) 4．(μ－3σ，μ＋3σ) 5．均值　方差　N(0,1) 作業(yè)設(shè)計(jì) 1．10　2 解析　f(x)可以改寫(xiě)成f(x)＝e－，對(duì)照可知μ＝10，σ＝2. 2．0.1 解析　∵X～N(0，σ2)，∴μ＝0，又P(－2≤X≤0)＝0.4，∴P(X>2)＝(1－0.42)＝0.1. 3. 解析　由正態(tài)分布圖象可知，μ＝4是該圖象的對(duì)稱(chēng)軸， ∴P(ξ<4)＝P(ξ>4)＝. 4．(149,191) 5．①②④ 6．①?、凇、? 解析　在密度曲線中，σ越大，曲線越“矮胖”；σ越小，曲線越“瘦高”． 7．0.8 解析　正態(tài)曲線關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)，∴ξ在(1,2)內(nèi)取值的概率也為0.4. 8．3 解析　半徑屬于(μ－3σ，μ＋3σ)的零件個(gè)數(shù)約有0.9971 000＝997， ∴不屬于這個(gè)范圍的零件個(gè)數(shù)約有3個(gè)． 9．解　從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝20對(duì)稱(chēng)，最大值是，所以 μ＝20， ＝，解得σ＝. 于是概率密度函數(shù)的解析式是 φμ，σ(x)＝e－，x∈R. 總體隨機(jī)變量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2. 10．解　∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝＝10. (1)由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)內(nèi)取值的概率是0.954，而該正態(tài)分布中，μ－2σ＝90－210＝70，μ＋2σ＝90＋210＝110，于是考試成績(jī)?chǔ)挝挥趨^(qū)間(70,110)內(nèi)的概率就是0.954. (2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100. 由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)取值的概率是0.683，所以考試成績(jī)?chǔ)挝挥趨^(qū)間(80,100)內(nèi)的概率是0.683.一共有2 000名考生，所以考試成績(jī)?cè)?80,100)間的考生大約有 2 0000.683＝1 366(人)． 11. 解析　由于隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，其概率密度函數(shù)關(guān)于x＝μ對(duì)稱(chēng)，故P(x≤μ)＝. 12．解　(1)設(shè)學(xué)生的得分情況為隨機(jī)變量X， X～N(70,102)，則μ＝70，σ＝10. 分析成績(jī)?cè)?0～80之間的學(xué)生所的比為P(70－10<X≤70＋10)＝0.683， 所以成績(jī)不及格的學(xué)生的比為：(1－0.683)＝0.158 5，即成績(jī)不及格的學(xué)生占15.85%. (2)成績(jī)?cè)?0～90之間的學(xué)生的比為 [P(70－210<X≤70＋210)－P(60<x≤80)] ＝(0.954－0.683)＝0.135 5. 即成績(jī)?cè)?0～90之間的學(xué)生占13.55%.