（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學二輪復習 專題五 數(shù)列 第23講 數(shù)列的遞推公式及等差、等比數(shù)列的判定與證明練習

第23講 數(shù)列的遞推公式及等差、等比數(shù)列的判定與證明 A級——高考保分練 1．已知數(shù)列{an}中，a1＝1且＝＋(n∈N*)，則a10＝________. 解析：∵＝＋，∴－＝， ∴是以＝1為首項，為公差的等差數(shù)列， ∴＝＋(10－1)×＝1＋3＝4，故a10＝. 答案： 2．設Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________. 解析：由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，兩邊同時除以Sn＋1Sn，得－＝－1，故數(shù)列是以－1為首項，－1為公差的等差數(shù)列，則＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－. 答案：－ 3．已知數(shù)列{an}滿足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，則log(a5＋a7＋a9)＝________. 解析：因為log3an＋1＝log3an＋1，所以an＋1＝3an， 所以數(shù)列{an}是公比q＝3的等比數(shù)列， 所以a2＋a4＋a6＝a2(1＋q2＋q4)＝9， 所以a5＋a7＋a9＝a5(1＋q2＋q4)＝a2q3(1＋q2＋q4)＝9×33＝35， 所以log(a5＋a7＋a9)＝－log335＝－5. 答案：－5 4．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn＋1，則S4＝________. 解析：an＋1＝3Sn＋1①，an＝3Sn－1＋1(n≥2)②， ①－②得：an＋1＝4an(n≥2)， 又a1＝1，a2＝3a1＋1＝4， ∴{an}是首項為1，公比為4的等比數(shù)列， ∴S4＝＝85. 答案：85 5．(2019·宿遷期末)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an＋1－2an＝1，a1＝1，則S9＝________. 解析：由an＋1－2an＝1，得an＋1＋1＝2(an＋1)，即＝2，所以數(shù)列{an＋1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，設bn＝an＋1的前n項和為Tn，則T9＝＝1 022，S9＝T9－9＝1 013. 答案：1 013 6．設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝4，an＋1＝Sn，n∈N*，則a5＝________. 解析：法一：由an＋1＝Sn，得Sn＋1－Sn＝Sn，則Sn＋1＝2Sn，又S1＝a1＝4，所以數(shù)列{Sn}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，所以Sn＝4·2n－1＝2n＋1，則a5＝S5－S4＝26－25＝32. 法二：當n≥2時，由an＋1＝Sn，得an＝Sn－1，兩式相減，得an＋1－an＝an，即an＋1＝2an，所以數(shù)列{an}是從第2項開始，公比為2的等比數(shù)列．又a2＝S1＝4，所以a5＝a2·23＝4×23＝32. 答案：32 7．若數(shù)列{an}滿足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，則使ak·ak＋1＜0的k值為________． 解析：因為3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以數(shù)列{an}是首項為15，公差為－的等差數(shù)列，所以an＝15－·(n－1)＝－n＋，令an＝－n＋＞0，得n＜23.5，所以使ak·ak＋1＜0的k值為23. 答案：23 8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝，若an(an－1＋2an＋1)＝3an－1·an＋1(n≥2，n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項an＝________. 解析：由an(an－1＋2an＋1)＝3an－1·an＋1， 得anan－1－an－1an＋1＝2an－1·an＋1－2anan＋1， －＝2， 所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列， 所以－＝2·2n－1＝2n， 所以－＝2，－＝4，…，－＝2n－1， 所以－＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2， 所以＝2n－2＋＝2n－1，所以an＝. 答案： 9．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為________． 解析：因為an＋1＝(n∈N*)，所以＝＋1，設＋t＝3，所以3t－t＝1，解得t＝，所以＋＝3，又＋＝1＋＝，所以數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以＋＝×3n－1＝，所以＝，所以an＝. 答案：an＝ 10．(2019·南通、泰州、揚州一調(diào))已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，有下列四個命題： ①數(shù)列{|an|}是等比數(shù)列； ②數(shù)列{anan＋1}是等比數(shù)列； ③數(shù)列是等比數(shù)列； ④數(shù)列{lg a}是等比數(shù)列． 其中正確的命題有________個． 解析：設等比數(shù)列{an}的公比為q， 對于①中數(shù)列{|an|}，＝|q|，且首項|a1|≠0， 所以為等比數(shù)列； 對于②中數(shù)列，＝q2，且首項a1a2≠0，所以為等比數(shù)列； 對于③中數(shù)列，＝，且首項≠0，所以為等比數(shù)列； 對于④中數(shù)列，若a1＝1，則lg a1＝0，所以不是等比數(shù)列． 故正確的命題有3個． 答案：3 11．已知數(shù)列{an}，{bn}均為各項都不相等的數(shù)列，Sn為{an}的前n項和，an＋1bn＝Sn＋1(n∈N*)． (1)若a1＝1，bn＝，求a4的值； (2)若{an}是公比為q的等比數(shù)列，求證：存在實數(shù)λ，使得{bn＋λ}為等比數(shù)列． 解：(1)由a1＝1，bn＝，知a2＝4，a3＝6，a4＝8. (2)證明：因為an＋1bn＝Sn＋1，① 所以當n≥2時，anbn－1＝Sn－1＋1，② ①－②得，an＋1bn－anbn－1＝an，③ 由③得，bn＝bn－1＋＝bn－1＋， 所以bn＋＝. 又bn＋≠0(否則{bn}為常數(shù)數(shù)列，與題意不符)， 所以存在實數(shù)λ＝，使得{bn＋λ}為等比數(shù)列． 12．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足a1＝2，Sn＝λnan＋μan－1，其中n≥2，n∈N*，λ，μ∈R. (1)若λ＝0，μ＝4，bn＝an＋1－2an(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； (2)若a2＝3，且λ＋μ＝，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 解：(1)證明：若λ＝0，μ＝4，則Sn＝4an－1(n≥2)， 所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝4(an－an－1)， 即an＋1－2an＝2(an－2an－1)， 所以bn＝2bn－1. 又由a1＝2，a1＋a2＝4a1， 得a2＝3a1＝6，a2－2a1＝2≠0，即bn≠0， 所以＝2，故數(shù)列{bn}是等比數(shù)列． (2)證明：令n＝2，則S2＝2λa2＋μa1， 即a1＋a2＝2λa2＋μa1.又a1＝2，a2＝3，得5＝6λ＋2μ. 又λ＋μ＝，解得λ＝，μ＝1. 所以Sn＝an＋an－1. 令n＝3，則S3＝a3＋a2，即a1＋a2＋a3＝a3＋a2. 由a1＝2，a2＝3，得5＋a3＝a3＋3，所以a3＝4， 所以a1，a2，a3成等差數(shù)列． 由Sn＝an＋an－1，得Sn＋1＝an＋1＋an， 兩式相減得an＋1＝an＋1－an＋an－an－1， 即(n－1)an＋1－(n－2)an－2an－1＝0， 所以nan＋2－(n－1)an＋1－2an＝0， 兩式相減得nan＋2－2(n－1)an＋1＋(n－2)an－2an＋2an－1＝0， 所以n(an＋2－2an＋1＋an)＋2(an＋1－2an＋an－1)＝0， 所以an＋2－2an＋1＋an＝－(an＋1－2an＋an－1)＝(an－2an－1＋an－2)＝…＝(a3－2a2＋a1)． 因為a1－2a2＋a3＝0，所以an＋2－2an＋1＋an＝0， 即數(shù)列{an}是等差數(shù)列． B級——難點突破練 1．(2019·海安中學期末)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝________. 解析：當n＝1時，S1＝a1＝2a2，則a2＝.當n≥2時，Sn－1＝2an，則Sn－Sn－1＝an＝2an＋1－2an，所以＝，所以當n≥2時，數(shù)列{an}是公比為的等比數(shù)列，所以an＝所以Sn＝1＋＋×＋…＋×n－2＝1＋＝n－1. 答案：n－1 2．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，Sn＋1＝4an＋2，則a12＝________. 解析：由S2＝4a1＋2，得a1＋a2＝4a1＋2，聯(lián)立a1＝2，解得a2＝8.又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an，∴an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，∴數(shù)列{an＋1－2an}是以a2－2a1＝4為首項，以2為公比的等比數(shù)列，∴an＋1－2an＝4×2n－1＝2n＋1，∴＝1，∴－＝1，∴數(shù)列是以＝1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，∴＝1＋(n－1)＝n，∴an＝n·2n，∴a12＝12×212＝49 152. 答案：49 152 3．已知等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn. (1)若S3，S9，S6成等差數(shù)列，求證：a2，a8，a5成等差數(shù)列； (2)若am＋2是am＋1和am的等差中項，則Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差數(shù)列嗎？ 解：(1)證明：由S3，S9，S6成等差數(shù)列，得S3＋S6＝2S9. 若q＝1，則3a1＋6a1＝18a1，解得a1＝0，這與{an}是等比數(shù)列矛盾，所以q≠1， 于是有＋＝， 整理得q3＋q6＝2q9. 因為q≠0且q≠1，所以q3＝－， 所以a8＝a2q6＝a2，a5＝a2q3＝－a2， 所以2a8＝a2＋a5，即a8－a2＝a5－a8， 故a2，a8，a5成等差數(shù)列． (2)依題意，得2am＋2＝am＋1＋am， 則2a1qm＋1＝a1qm＋a1qm－1. 在等比數(shù)列{an}中，a1≠0，q≠0， 所以2q2＝q＋1，解得q＝1或q＝－. 當q＝1時，Sm＋Sm＋1＝ma1＋(m＋1)a1＝(2m＋1)a1，Sm＋2＝(m＋2)a1. 因為a1≠0，所以2Sm＋2≠Sm＋Sm＋1， 此時Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差數(shù)列． 當q＝－時， Sm＋2＝ ＝ ＝ ， Sm＋Sm＋1＝＋＝ ＝， 所以2Sm＋2＝Sm＋Sm＋1. 故當q＝1時，Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差數(shù)列； 當q＝－時，Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差數(shù)列． 4．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1－，(n＋2)cn＝－，其中n∈N*. (1)若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{cn}的通項公式； (2)若存在實數(shù)λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 解：(1)因為數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列， 所以an＝a1＋2(n－1)，＝a1＋n－1. 因為(n＋2)cn＝－(a1＋n－1)＝n＋2， 所以cn＝1. (2)證明：由(n＋1)bn＝an＋1－， 得n(n＋1)bn＝nan＋1－Sn， (n＋1)(n＋2)bn＋1＝(n＋1)an＋2－Sn＋1， 兩式相減，并化簡得an＋2－an＋1＝(n＋2)bn＋1－nbn. 從而(n＋2)cn＝－＝－[an＋1－(n＋1)bn]＝＋(n＋1)bn＝＋(n＋1)bn＝(bn＋bn＋1)， 因此cn＝(bn＋bn＋1)． 因為對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn， 所以λ≤cn＝(bn＋bn＋1)≤λ，故bn＝λ，cn＝λ. 所以(n＋1)λ＝an＋1－，① (n＋2)λ＝(an＋1＋an＋2)－，② ②－①得(an＋2－an＋1)＝λ， 即an＋2－an＋1＝2λ，故an＋1－an＝2λ(n≥2)． 又2λ＝a2－＝a2－a1，則an＋1－an＝2λ(n≥1)． 所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列． - 8 -