（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題二 立體幾何 第7講 空間線(xiàn)面關(guān)系練習(xí)

第7講 空間線(xiàn)面關(guān)系 A級(jí)——高考保分練 1．已知平面α，β和直線(xiàn)m，給出條件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β.當(dāng)滿(mǎn)足條件________時(shí)，有m⊥β.(填所選條件的序號(hào)) 解析：若m⊥α，α∥β，則m⊥β.故填②④. 答案：②④ 2.如圖，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線(xiàn)段EF的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)镋F∥平面AB1C，EF?平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，所以點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)．所以EF＝AC＝. 答案： 3．設(shè)α，β為兩個(gè)不同平面，m，n為兩條不同的直線(xiàn)，給出以下命題：①若m⊥α，n∥α，則m⊥n；②若α∥β，m?α，則m∥β；③若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n；④若m⊥n，m⊥α，n∥β，則α⊥β.則真命題個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 解析：①若m⊥α，n∥α，由線(xiàn)面平行性質(zhì)可得，過(guò)n的平面與α交于k，可得n∥k，由m⊥k，知m⊥n，故①正確；②由面面平行的性質(zhì)可知②正確；③m與n可以平行、相交或異面，故③錯(cuò)誤；④α與β可能平行或相交，故④錯(cuò)誤． 答案：2 4．設(shè)平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直線(xiàn)AB與CD交于S，若AS＝18，BS＝9，CD＝34，則CS＝ ________.　 解析：如圖①，由α∥β可知BD∥AC.∵＝，即＝，∴SC＝68.如圖②，由α∥β知AC∥BD，∴＝＝，即＝，∴SC＝. 答案：68或 5．已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2 cm，PA⊥平面ABC，A為垂足，且PA＝2 cm，那么點(diǎn)P到BC的距離為_(kāi)_______ cm. 解析：取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)AD，PD，則BC⊥AD.因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥BC，所以BC⊥平面PAD，所以PD⊥BC，則PD的長(zhǎng)度即為點(diǎn)P到BC的距離．解△PAD，可得PD＝＝ cm. 答案： 6．(2019·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝，點(diǎn)M在棱CC1上，當(dāng)MD1＋MA取得最小值時(shí)，MD1⊥MA，則棱CC1的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 解析：把長(zhǎng)方形DCC1D1展開(kāi)到長(zhǎng)方形ACC1A1所在平面，如圖，當(dāng)A，M，D1在同一條直線(xiàn)上時(shí)，MD1＋MA取得最小值，此時(shí)＝＝. 令MA＝2x，MD1＝x，CC1＝h， 則 解得h＝. 答案： 7．(2019·蘇北三市期末)如圖，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E，F(xiàn)分別是B1C1，AB，AA1的中點(diǎn)． (1)求證：EF∥平面A1BD； (2)若A1B1＝A1C1，求證：平面A1BD⊥平面BB1C1C. 證明：(1)因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，所以EF∥A1B. 因?yàn)镋F?平面A1BD，A1B?平面A1BD， 所以EF∥平面A1BD. (2)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1， 因?yàn)锳1D?平面A1B1C1，所以BB1⊥A1D. 因?yàn)锳1B1＝A1C1，且D是B1C1的中點(diǎn)， 所以A1D⊥B1C1. 因?yàn)锽B1∩B1C1＝B1，B1C1?平面BB1C1C，BB1?平面BB1C1C，所以A1D⊥平面BB1C1C. 因?yàn)锳1D?平面A1BD， 所以平面A1BD⊥平面BB1C1C. 8．(2019·宿遷期末)在四棱錐S­ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形． (1)求證：平面SAC⊥平面SBD； (2)若點(diǎn)M是棱AD的中點(diǎn)，點(diǎn)N在棱SA上，且AN＝NS，求證：SC∥平面BMN. 證明：(1)因?yàn)镾A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以SA⊥BD. 因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形， 所以AC⊥BD. 又SA?平面SAC，AC?平面SAC，且SA∩AC＝A， 所以BD⊥平面SAC. 因?yàn)锽D?平面SBD， 所以平面SAC⊥平面SBD. (2)設(shè)AC與BM的交點(diǎn)為E，連結(jié)NE. 由底面ABCD是菱形，得AD∥BC. 所以＝＝＝. 又因?yàn)锳N＝NS，所以＝＝， 所以NE∥SC. 因?yàn)镹E?平面BMN，SC?平面BMN， 所以SC∥平面BMN. 9．(2019·如皋一模)如圖，四棱錐P­ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，AD＝2BC，且∠BAD＝∠BPA＝90°，平面APB⊥底面ABCD，點(diǎn)M為PD的中點(diǎn)． (1)求證：CM∥平面PAB； (2)求證：PB⊥PD. 證明：(1)取AP的中點(diǎn)H，連結(jié)BH，HM， 因?yàn)镠，M分別為AP，DP的中點(diǎn)，所以HM＝AD且HM∥AD. 因?yàn)锳D∥BC且AD＝2BC， 所以HM＝BC且HM∥BC， 所以四邊形BCMH為平行四邊形， 所以CM∥BH， 因?yàn)镃M?平面PAB，BH?平面PAB， 所以CM∥平面PAB. (2)因?yàn)椤螧AD＝90°，所以BA⊥AD. 因?yàn)槠矫鍭PB⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，平面APB∩平面ABCD＝AB， 所以AD⊥平面APB. 因?yàn)镻B?平面PAB，所以PB⊥AD， 因?yàn)椤螧PA＝90°，所以PB⊥PA， 因?yàn)镻A∩AD＝A，PA?平面PAD，AD?平面PAD， 所以PB⊥平面PAD， 因?yàn)镻D?平面PAD，所以PB⊥PD. B級(jí)——難點(diǎn)突破練 1．已知正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M，N分別在側(cè)面ABB1A1和ACC1A1內(nèi)，BC1與B1C交于點(diǎn)P，則△MNP周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_______． 解析：設(shè)P關(guān)于側(cè)面ABB1A1和ACC1A1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為Q，R，連接QR，則當(dāng)△MNP周長(zhǎng)最小時(shí)，M，N，Q，R共線(xiàn)，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，點(diǎn)P是BC1與B1C的交點(diǎn)，所以點(diǎn)P是側(cè)面BCC1B1的中心，故△MNP周長(zhǎng)最小時(shí)M，N分別為側(cè)面ABB1A1和ACC1A1的中心，所以△MNP周長(zhǎng)的最小值為3. 答案：3 2．在正方體ABCD­A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BD1上且BP＝BD1.則下列四個(gè)說(shuō)法：①M(fèi)N∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三點(diǎn)共線(xiàn)；④平面MNQ∥平面APC.其中說(shuō)法正確的是________．(填序號(hào)) 解析：①如圖，連結(jié)MN，AC，則MN∥AC，連結(jié)AM，CN，易得AM，CN交于點(diǎn)P，即MN?平面PAC，所以MN∥平面APC錯(cuò)誤．②連結(jié)AN.由①知M，N在平面APC內(nèi)，由題易知AN∥C1Q，所以C1Q∥平面APC正確．③由①知A，P，M三點(diǎn)共線(xiàn)正確．④連結(jié)NQ，MQ.由①知MN?平面PAC，又MN?平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC錯(cuò)誤． 答案：②③ 3．(2019·常州期末)如圖，正三棱柱ABC­A1B1C1中，點(diǎn)M，N分別是棱AB，CC1的中點(diǎn)．求證： (1)CM//平面AB1N； (2)平面A1BN⊥平面AA1B1B. 證明：(1)設(shè)AB1交A1B于點(diǎn)O，連結(jié)OM，ON. 在正三棱柱ABC­A1B1C1中，BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四邊形AA1B1B是 平行四邊形， 所以O(shè)為AB1的中點(diǎn)．又因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥BB1，且OM＝BB1. 因?yàn)镹為CC1的中點(diǎn)，CN＝CC1， 所以O(shè)M＝CN，且OM∥CN， 所以四邊形CMON是平行四邊形， 所以CM∥ON. 又ON?平面AB1N，CM?平面AB1N， 所以CM∥平面AB1N. (2)在正三棱柱ABC­A1B1C1中， BB1⊥平面ABC，CM?平面ABC， 所以BB1⊥CM. 又CA＝CB，M為AB的中點(diǎn)，所以CM⊥AB. 又由(1)知CM∥ON，所以O(shè)N⊥AB，ON⊥BB1. 又因?yàn)锳B∩BB1＝B，AB?平面AA1B1B，BB1 ?平面AA1B1B，所以O(shè)N⊥平面AA1B1B. 又ON?平面A1BN， 所以平面A1BN⊥平面AA1B1B. 4．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE折起，得到如圖2所示的四棱錐D1­ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE. (1)證明：BE⊥平面D1AE； (2)設(shè)F為CD1的中點(diǎn)，在線(xiàn)段AB上是否存在一點(diǎn)M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)證明：∵四邊形ABCD為矩形且AD＝DE＝EC＝BC＝2，∴AE＝BE＝2. 又AB＝4，∴AE2＋BE2＝AB2， ∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE. 又平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，BE?平面ABCE，∴BE⊥平面D1AE. (2)＝，理由如下： 取D1E的中點(diǎn)L，連結(jié)FL，AL， ∴FL∥EC，F(xiàn)L＝EC＝1. 又EC∥AB， ∴FL∥AB，且FL＝AB，∴M，F(xiàn)，L，A四點(diǎn)共面． 若MF∥平面AD1E，則MF∥AL. ∴四邊形AMFL為平行四邊形， ∴AM＝FL＝AB，即＝. - 6 -