（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式 第21講 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用練習(xí)

第21講 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 1．幾名大學(xué)畢業(yè)生合作開設(shè)3D打印店，生產(chǎn)并銷售某種3D產(chǎn)品．已知該店每月生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)月都能銷售完，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為34元，該店的月總成本由兩部分組成：第一部分是月銷售產(chǎn)品的生產(chǎn)成本，第二部分是其他固定支出20 000元．假設(shè)該產(chǎn)品的月銷售量t(x)(件)與銷售價(jià)格x(元/件)(x∈N*)之間滿足如下關(guān)系：①當(dāng)34≤x≤60時(shí)，t(x)＝－a(x＋5)2＋10 050；②當(dāng)60≤x≤70時(shí)，t(x)＝－100x＋7 600.設(shè)該店月利潤(rùn)為M(元)，月利潤(rùn)＝月銷售總額－月總成本． (1)求M關(guān)于銷售價(jià)格x的函數(shù)關(guān)系式； (2)求該打印店月利潤(rùn)M的最大值及此時(shí)產(chǎn)品的銷售價(jià)格． 解：(1)當(dāng)x＝60時(shí)，t(60)＝1 600， 代入t(x)＝－a(x＋5)2＋10 050， 解得a＝2. ∴M(x)＝ 即M(x)＝ (2)設(shè)g(u)＝(－2u2－20u＋10 000)(u－34)－20 000,34≤u＜60，u∈R， 則g′(u)＝－6(u2－16u－1 780)． 令g′(u)＝0，解得u1＝8－2(舍去)， u2＝8＋2∈(50,51)． 當(dāng)34＜u＜50時(shí)，g′(u)＞0，g(u)單調(diào)遞增； 當(dāng)51＜u＜60時(shí)，g′(u)＜0，g(u)單調(diào)遞減． ∵x∈N*，M(50)＝44 000，M(51)＝44 226， ∴M(x)的最大值為44 226. 當(dāng)60≤x≤70時(shí)，M(x)＝100(－x2＋110x－2 584)－20 000 單調(diào)遞減， 故此時(shí)M(x)的最大值為M(60)＝21 600. 綜上所述，當(dāng)x＝51時(shí)，月利潤(rùn)M(x)有最大值44 226元． 答：該打印店店月利潤(rùn)最大為44 226元，此時(shí)產(chǎn)品的銷售價(jià)格為51元/件． 2．(2019·蘇州暑假測(cè)試)某公司設(shè)計(jì)如圖所示的環(huán)狀綠化景觀帶，該景觀帶的內(nèi)圈由兩條平行線段(圖中的AB，DC)和兩個(gè)半圓構(gòu)成，設(shè)AB＝x m，且x≥80. (1)若內(nèi)圈周長(zhǎng)為400 m，則x取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？ (2)若景觀帶的內(nèi)圈所圍成區(qū)域的面積為 m2，則x取何值時(shí)，內(nèi)圈周長(zhǎng)最?。? 解：設(shè)題中半圓的半徑為r(m)，矩形ABCD的面積為S(m2)，內(nèi)圈周長(zhǎng)為c(m)． (1)由題意知，S＝2rx，且2x＋2πr＝400，即x＋πr＝200， 于是S＝2rx＝·x·(πr)≤2＝(m2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝πr＝100(m)時(shí)，等號(hào)成立． 答：當(dāng)x＝100(m)時(shí)，矩形ABCD的面積最大． (2)由題意知，2rx＋πr2＝， 于是x＝－·r， 從而c＝2x＋2πr＝2＋2πr＝＋πr. 因?yàn)閤≥80，所以－·r≥80， 即(πr)2＋160·πr－22 500≤0， 解得－250≤πr≤90，所以0<r≤，故≥. 因?yàn)閏′＝－·＋π≤－·＋π＝－π<0， 所以關(guān)于r的函數(shù)c＝＋πr在上是單調(diào)減函數(shù)． 故當(dāng)r＝，即x＝－·＝80(m)時(shí)，內(nèi)圈周長(zhǎng)c取得最小值，且最小值為＋90＝340(m)． 故當(dāng)x＝80(m)時(shí)，內(nèi)圈周長(zhǎng)最?。? 3．圖①是一棟新農(nóng)村別墅，它由上部屋頂和下部主體兩部分組成．如圖②，屋頂由四坡屋面構(gòu)成，其中前后兩坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右兩坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．點(diǎn)F在平面ABCD和BC上的射影分別為H，M.已知HM＝5 m，BC＝10 m，梯形ABFE的面積是△FBC面積的2.2倍．設(shè)∠FMH＝θ. (1)求屋頂面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式； (2)已知上部屋頂造價(jià)與屋頂面積成正比，比例系數(shù)為k(k為正常數(shù))，下部主體造價(jià)與其高度成正比，比例系數(shù)為16k.現(xiàn)欲造一棟上、下總高度為6 m的新農(nóng)村別墅，試問：當(dāng)θ為何值時(shí)，總造價(jià)最低？ 解：(1)由題意知，F(xiàn)H⊥平面ABCD，F(xiàn)M⊥BC， 又因?yàn)镠M?平面ABCD，所以FH⊥HM. 在Rt△FHM中，HM＝5，∠FMH＝θ， 所以FM＝. 因此△FBC的面積為×10×＝. 從而屋頂面積S＝2S△FBC＋2S梯形ABFE＝2×＋2××2.2＝. 所以屋頂面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式為S＝. (2)在Rt△FHM中，F(xiàn)H＝5tan θ， 所以下部主體高度h＝6－5tan θ. 所以別墅總造價(jià)為y＝S·k＋h·16k＝ k－k＋96k＝80k·＋96k. 記f(θ)＝，0<θ<，所以f′(θ)＝， 令f′(θ)＝0，得sin θ＝，又0<θ<，所以θ＝. 當(dāng)θ變化時(shí)，f′(θ)與f(θ)的變化情況列表如下： θ f′(θ) － 0 ＋ f(θ)   所以當(dāng)θ＝時(shí)，f(θ)有最小值． 故當(dāng)θ為時(shí)，該別墅總造價(jià)最低． 4．(2019·南京、鹽城一模)鹽城市政府響應(yīng)習(xí)總書記在十九大報(bào)告中提出的“綠水青山就是金山銀山”，對(duì)環(huán)境進(jìn)行了大力整治，目前鹽城市的空氣質(zhì)量位列全國(guó)前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社組織了一個(gè)旅游團(tuán)于近期來到了黃海國(guó)家森林公園，數(shù)據(jù)顯示，近期公園中每天空氣質(zhì)量指數(shù)近似滿足函數(shù)f(x)＝mln x－x＋－6(4≤x≤22，m∈R)，其中x為每天的時(shí)刻，若凌晨6點(diǎn)時(shí)，測(cè)得空氣質(zhì)量指數(shù)為29.6. (1)求實(shí)數(shù)m的值； (2)求近期每天時(shí)段空氣質(zhì)量指數(shù)最高的時(shí)刻．(參考數(shù)值：ln 6＝1.8) 解： (1)由f(6)＝29.6，代入f(x)＝mln x－x＋－6(4≤x≤22，m∈R)， 解得m＝12. (2)由已知函數(shù)求導(dǎo)， 得f′(x)＝＋600× ＝(12－x). 令f′(x)＝0，得x＝12. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如表所示： x [4,12) 12 (12,22] f′(x) ＋ 0 － f(x)  極大值  所以函數(shù)f(x)在x＝12時(shí)取極大值，也是最大值，即每天時(shí)段空氣質(zhì)量指數(shù)最高的時(shí)刻為12時(shí)． 5．(2018·江蘇高考)記f′(x)，g′(x)分別為函數(shù)f(x)，g(x)的導(dǎo)函數(shù)．若存在x0∈R，滿足f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，則稱x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個(gè)“S點(diǎn)”． (1)證明：函數(shù)f(x)＝x與g(x)＝x2＋2x－2不存在“S點(diǎn)”； (2)若函數(shù)f(x)＝ax2－1與g(x)＝ln x存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的值； (3)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋a，g(x)＝.對(duì)任意a>0，判斷是否存在b>0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)存在“S點(diǎn)”，并說明理由． 解：(1)證明：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x，g(x)＝x2＋2x－2， 所以f′(x)＝1，g′(x)＝2x＋2. 由f(x)＝g(x)且f′(x)＝g′(x)， 得此方程組無解， 因此f(x)與g(x)不存在“S點(diǎn)”． (2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ax2－1，g(x)＝ln x， 所以f′(x)＝2ax，g′(x)＝. 設(shè)x0為f(x)與g(x)的“S點(diǎn)”， 由f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)， 得即(*) 所以ln x0＝－，即x0＝e－， 所以a＝＝. 當(dāng)a＝時(shí)，x0＝e－滿足方程組(*)， 即x0為f(x)與g(x)的“S點(diǎn)”． 所以a的值為. (3)對(duì)任意a＞0，設(shè)h(x)＝x3－3x2－ax＋a. 因?yàn)閔(0)＝a＞0，h(1)＝1－3－a＋a＝－2＜0，且h(x)的圖象是不間斷的， 所以存在x0∈(0,1)，使得h(x0)＝0. 令b＝，則b＞0. 函數(shù)f(x)＝－x2＋a，g(x)＝， 則f′(x)＝－2x，g′(x)＝. 由f(x)＝g(x)且f′(x)＝g′(x)， 得 即(**) 此時(shí)，x0滿足方程組(**)，即x0是函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間)(0,1)內(nèi)的一個(gè)“S點(diǎn)”． 因此，對(duì)任意a＞0，存在b＞0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)存在“S點(diǎn)”． - 6 -