（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 數(shù)列 第22講 等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算練習(xí)

第22講 等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算 A級(jí)——高考保分練 1．若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，n∈N*，且a1＝1，S6＝3S3，則a7的值為________． 解析：由S6＝3S3，得(1＋q3)S3＝3S3.因?yàn)镾3＝a1(1＋q＋q2)≠0，所以q3＝2，得a7＝4. 答案：4 2．(2019·常州期末)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a2a3a4＝a2＋a3＋a4，則a3的最小值為________． 解析：依題意有a2a4＝a，a2a3a4＝(a3)3＝a2＋a3＋a4≥a3＋2＝3a3，整理有a3(a－3)≥0，因?yàn)閍n>0，所以a3≥，所以a3的最小值為. 答案： 3．若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則＝________. 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q， 則a4＝－1＋3d＝8，解得d＝3； b4＝－1·q3＝8，解得q＝－2. 所以a2＝－1＋3＝2， b2＝－1×(－2)＝2， 所以＝1. 答案：1 4．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2，a3，a1成等差數(shù)列，則的值為________． 解析：設(shè){an}的公比為q且q>0，因?yàn)閍2，a3，a1成等差數(shù)列，所以a1＋a2＝2×a3＝a3，即a1＋a1q＝a1q2，因?yàn)閍1≠0，所以q2－q－1＝0，解得q＝或q＝<0(舍去)，所以＝＝q2＝. 答案： 5．(2019·蘇北三市期末)在等差數(shù)列{an}中，若a5＝，8a6＋2a4＝a2，則{an}的前6項(xiàng)和S6的值為________． 解析：設(shè)an＝a1＋(n－1)d，n∈N*， 則由得 解得 所以S6＝6a1＋d＝＋×＝. 答案： 6．(2019·海安期中)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(0＜q＜1)，前n項(xiàng)和為Sn.若存在m∈N*，使得am＋am＋2＝am＋1，且Sm＝1 022am＋1，則m的值為________． 解析：由am＋am＋2＝am＋1，得am＋amq2＝amq， 即1＋q2＝q，因?yàn)?＜q＜1，所以q＝， 又Sm＝1 022am＋1， 所以＝1 022a1m， 即m＝，所以m＝9. 答案：9 7．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為________． 解析：由題知，這十三個(gè)單音的頻率構(gòu)成首項(xiàng)為f，公比為的等比數(shù)列，則第八個(gè)單音的頻率為()7f＝f. 答案：f 8．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－1)(n∈N*)，a1a2a3＝－27，則a5＝________. 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a1a2a3＝·a2·a2q＝－27，所以a2＝－3.因?yàn)镾2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－1)，所以當(dāng)n＝1時(shí)，S2＝a1＋a2＝4a1，所以a1＝－1，q＝3，所以a5＝a1q4＝－81. 答案：－81 9．(2019·揚(yáng)州期末)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，若a4＋a3－2a2－2a1＝6，則a5＋a6的最小值為________． 解析：令a1＋a2＝t(t>0)，則a4＋a3－2a2－2a1＝6可化為tq2－2t＝6(其中q為公比)，所以a5＋a6＝tq4＝q4＝6≥6＝48(當(dāng)且僅當(dāng)q＝2時(shí)等號(hào)成立)． 答案：48 10．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝126，則n＝________. 解析：∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列． 又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6. 答案：6 11．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sm＝63，求m. 解：(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝. 由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解． 若an＝2n－1，則Sn＝＝2n－1. 由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6. 綜上，m＝6. 12．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，且數(shù)列{Sn}是以2為公比的等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1. 解：(1)∵S1＝a1＝1， 且數(shù)列{Sn}是以2為公比的等比數(shù)列， ∴Sn＝2n－1， 又當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2. 當(dāng)n＝1時(shí)a1＝1，不適合上式． ∴an＝ (2)∵a3，a5，…，a2n＋1是以2為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列， ∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝. ∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝. B級(jí)——難點(diǎn)突破練 1．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，若ma6·a7＝a－2a4·a9，且公比q∈(，2)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析：∵ma6·a7＝a－2a4·a9，a6·a7＝a4·a9，∴m＝－2＝q3－2，又q∈(，2)，∴3<m<6，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(3,6)． 答案：(3,6) 2．(2019·南通中學(xué)檢測(cè))已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，則Sn取得最大值時(shí)n的值為________． 解析：設(shè){an}的公差為d，則由題意得，解得所以an＝－2n＋17，由于a8>0，a9<0，所以Sn取得最大值時(shí)n的值是8. 答案：8 3．(2019·啟東聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比q<1，前n項(xiàng)和為Sn，若a2＝2，S3＝7. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)m∈Z，若Sn<m恒成立，求m的最小值． 解：(1)由a2＝2，S3＝7得 解得或(舍去)． 所以an＝4·n－1＝n－3. (2)由(1)可知，Sn＝＝8<8. 因?yàn)閍n>0，所以Sn單調(diào)遞增． 又S3＝7，所以當(dāng)n≥4時(shí)，Sn∈(7,8)． 因?yàn)镾n<m恒成立，m∈Z， 所以m的最小值為8. 4．已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，S4＝2S2＋4，數(shù)列{bn}中，bn＝. (1)求公差d的值； (2)若a1＝－，求數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值； (3)若對(duì)任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范圍． 解：(1)∵S4＝2S2＋4，∴4a1＋d＝2(2a1＋d)＋4， 解得d＝1. (2)∵a1＝－， ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－＋(n－1)＝n－， ∴bn＝1＋＝1＋. ∵函數(shù)f(x)＝1＋在和上分別是單調(diào)減函數(shù)， ∴b3＜b2＜b1＜1，當(dāng)n≥4時(shí)，1＜bn≤b4， ∴數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng)是b4＝3，最小項(xiàng)是b3＝－1. (3)由bn＝1＋，得bn＝1＋. 又函數(shù)f(x)＝1＋在(－∞，1－a1)和(1－a1，＋∞)上分別是單調(diào)減函數(shù)，且x＜1－a1時(shí)，y＜1； 當(dāng)x＞1－a1時(shí)，y＞1. ∵對(duì)任意的n∈N*，都有bn≤b8， ∴7＜1－a1＜8，∴－7＜a1＜－6， ∴a1的取值范圍是(－7，－6)． - 6 -