《整式的乘除與因式分解》易錯題.docx

《整式的乘除因式分解》易錯題分析 整式的乘除 例1、（﹣a）3（﹣a）2（﹣a5）=（　　） A、a10 B、﹣a10 C、a30 D、﹣a30 考點：同底數(shù)冪的乘法。 分析：根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加求解即可． 解答：解：（﹣a）3（﹣a）2（﹣a5）=（﹣a3）?a2（﹣a5）=a3+2+5=a10． 故選A． 點評：本題主要利用同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)求解，符號的運算是容易出錯的地方． 例2、已知a=8131，b=2741，c=961，則a，b，c的大小關(guān)系是（　　） A、a＞b＞c B、a＞c＞b C、a＜b＜c D、b＞c＞a 考點：冪的乘方與積的乘方。 分析：先把81，27，9轉(zhuǎn)化為底數(shù)為3的冪，再根據(jù)冪的的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘化簡．然后根據(jù)指數(shù)的大小即可比較大?。? 解答：解：∵a=813=（34）31=3124 b=2741=（33）41=3123； c=961=（32）61=3122． 則a＞b＞c． 故選A． 點評：變形為同底數(shù)冪的形式，再比較大小，可使計算簡便． 例3、下列四個算式中正確的算式有（　?。? ①（a4）4=a4+4=a8；②[（b2）2]2=b222=b8；③[（﹣x）3]2=（﹣x）6=x6；④（﹣y2）3=y6． A、0個 B、1個 C、2個 D、3個 考點：冪的乘方與積的乘方。 分析：根據(jù)冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘的性質(zhì)計算即可．（am）n=amn． 解答：解：①應(yīng)為（a4）4=a44=a16，故不對； ②[（b2）2]2=b222=b8，正確； ③[（﹣x）3]2=（﹣x）6=x6，正確； ④應(yīng)為（﹣y2）3=﹣y6，故不對． 所以②③兩項正確． 故選C． 點評：本題考查了冪的乘方的運算法則．應(yīng)注意運算過程中的符號． 例4、（2004?宿遷）下列計算正確的是（　?。? A、x2+2x2=3x4 B、a3?（﹣2a2）=﹣2a5 C、（﹣2x2）3=﹣6x6 D、3a?（﹣b）2=﹣3ab2 考點：單項式乘單項式；合并同類項；冪的乘方與積的乘方。 分析：把四個式子展開，比較計算結(jié)果即可． 解答：解：A、應(yīng)為x2+2x2=3x2； B、a3?（﹣2a2）=﹣2a5，正確； C、應(yīng)為（﹣2x2）3=﹣8x6； D、應(yīng)為3a?（﹣b）2=3ab2． 故選B． 點評：本題考查了合并同類項法則、積的乘方的性質(zhì)、單項式的乘法的法則，需熟練掌握且區(qū)分清楚，才不容易出錯． 例5、如（x+m）與（x+3）的乘積中不含x的一次項，則m的值為（　　） A、﹣3 B、3 C、0 D、1 考點：多項式乘多項式。 分析：先用多項式乘以多項式的運算法則展開求它們的積，并且把m看作常數(shù)合并關(guān)于x的同類項，令x的系數(shù)為0，得出關(guān)于m的方程，求出m的值． 解答：解：∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m， 又∵乘積中不含x的一次項， ∴3+m=0， 解得m=﹣3． 故選A． 點評：本題主要考查了多項式乘多項式的運算，根據(jù)乘積中不含哪一項，則哪一項的系數(shù)等于0列式是解題的關(guān)鍵． 例6、計算x5?x3?x2=　x10　． 考點：同底數(shù)冪的乘法。 分析：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加． 解答：解：x5?x3?x2=x5+3+2=x10． 點評：本題主要考查同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 例7、計算：（a3）2+a5的結(jié)果是　a6+a5?。? 考點：冪的乘方與積的乘方。 分析：根據(jù)冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘計算即可． 解答：解：（a3）2+a5=a32+a5=a6+a5． 點評：本題考查了冪的乘方的性質(zhì)，熟練掌握運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，要注意不是同類項的不能合并． 例8、已知a3n=4，則a6n=　16　． 考點：冪的乘方與積的乘方。 分析：運用冪的乘方的逆運算，把a6n轉(zhuǎn)化為（a3n）2，再把a3n=4，整體代入求值． 解答：解：∵a3n=4， ∴a6n=（a3n）2=42=16． 點評：本題考查冪的乘方的性質(zhì)，靈活運用冪的乘方（an）m=amn進行計算． 例9、已知：2x=4y+1，27y=3x﹣1，則x﹣y=　3?。? 考點：冪的乘方與積的乘方。 分析：在同底數(shù)冪的運算中，當(dāng)?shù)讛?shù)相等且結(jié)果相等時，其冪也相等．本題利用此知識點，借助底數(shù)冪的運算法則，進行運算，得到結(jié)果． 解答：解：∵2x=4y+1 ∴2x=2（2y+2） ∴x=2y+2 ① 又∵27x=3x﹣1∴33y=3x﹣1 ∴3y=x﹣1② 解①②組成的方程組得 ∴x﹣y=3． 點評：本題主要考查冪的乘方的性質(zhì)的逆用：amn=（am）n（a≠0，m，n為正整數(shù)）． 例10、計算： （1）（2a﹣b）（b+2a）﹣（3a+b）2=　﹣5a2﹣6ab﹣2b2?。? （2）=　3?。? （3）簡便方法計算：（﹣0.25）200942010=　﹣4?。? 考點：單項式乘單項式。 分析：（1）首先運用平方差公式和完全平方公式計算多項式的乘法和平方，再計算整式的加減運算； （2）首先運用負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪的意義計算乘方，再進行加減運算； （3）首先將42010改寫成420094，然后逆用積的乘方的運算性質(zhì)，計算（﹣0.25）200942009，即可得出結(jié)果． 解答：解：（1）原式=4a2﹣b2﹣（9a2+6ab+b2） =4a2﹣b2﹣9a2﹣6ab﹣b2 =﹣5a2﹣6ab﹣2b2； （2）原式=4﹣1=3； （3）原式=（﹣0.25）2009420094=（﹣0.254）20094=﹣14=﹣4． 點評：本題主要考查了整式及有理數(shù)的混合運算．首先確定運算順序，然后根據(jù)運算法則計算． 乘法公式使用 例1、x2+ax+144是完全平方式，那么a=（　?。? A、12 B、24 C、12 D、24 考點：完全平方式。 分析：先根據(jù)平方項確定出這兩個數(shù)是x和12，再根據(jù)完全平方式：（ab）2=a22ab+b2表示出乘積二倍項，然后求解即可． 解答：解：∵兩平方項是x2和144， ∴這兩個數(shù)是x與12， ∴ax=212?x， ∴解得a=24． 故選D． 點評：本題是完全平方公式的應(yīng)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個完全平方式．此題解題的關(guān)鍵是利用平方項確定出這兩個數(shù)． 例2、下列計算中： ①x（2x2﹣x+1）=2x3﹣x2+1；②（a+b）2=a2+b2；③（x﹣4）2=x2﹣4x+16；④（5a﹣1）（﹣5a﹣1）=25a2﹣1；⑤（﹣a﹣b）2=a2+2ab+b2，正確的個數(shù)有（　?。? A、1個 B、2個 C、3個 D、4個 考點：平方差公式；完全平方公式。 分析：根據(jù)單項式乘多項式，應(yīng)用單項式去乘多項式的每一項；完全平方公式展開應(yīng)是三項；（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；按照相應(yīng)的方法計算即可． 解答：解：①應(yīng)為x（2x2﹣x+1）=2x3﹣x2+x，故不對； ②應(yīng)為（a+b）2=a2+2ab+b2，故不對； ③應(yīng)為（x﹣4）2=x2﹣8x+16，故不對； ④應(yīng)為（5a﹣1）（﹣5a﹣1）=1﹣25a2，故不對； ⑤（﹣a﹣b）2=a2+2ab+b2，正確． 故選A． 點評：此題主要考查了整式乘法，平方差公式及完全平方公式的運用． 例3、計算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）的結(jié)果是（　　） A、a8+2a4b4+b8 B、a8﹣2a4b4+b8 C、a8+b8 D、a8﹣b8 考點：平方差公式；完全平方公式。 分析：這幾個式子中，先把前兩個式子相乘，這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)．相乘時符合平方差公式得到a2﹣b2，再把這個式子與a2+b2相乘又符合平方差公式，得到a4﹣b4，與最后一個因式相乘，可以用完全平方公式計算． 解答：解：（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）， =（a2﹣b2）（a2+b2）（a4﹣b4）， =（a4﹣b4）2， =a8﹣2a4b4+b8． 故選B． 點評：本題主要考查了平方差公式的運用，本題難點在于連續(xù)運用平方差公式后再利用完全平方公式求解． 例4已知x+y=4，且x﹣y=10，則2xy=　﹣42?。? 考點：完全平方公式。 專題：計算題。 分析：把原題中兩個式子平方后相減，即可求出xy的值． 解答：解：∵x+y=4，且x﹣y=10 ∴（x+y）2=16，（x﹣y）2=100 即x2+2xy+y2=16 ①，x2﹣2xy+y2=100 ② ①﹣②得：4xy=﹣84 所以2xy=﹣42． 點評：本題主要考查完全平方公式兩公式的聯(lián)系，兩公式相減即可消去平方項，得到乘積二倍項，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵． 解得k=1． 例5、已知a﹣b=3，a2﹣b2=9，則a=　3　，b=　0?。? 考點：平方差公式。 分析：先根據(jù)a﹣b=3和a2﹣b2=9，利用平方差公式求出a+b=3，再聯(lián)立方程組，解方程組即可． 解答：解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=9， ∴a+b=3， 聯(lián)立方程組， 解得：a=3，b=0． 點評：本題考查了平方差公式，主要是對平方差公式的靈活應(yīng)用，也考查了對二元一次方程組的解法． 因式分解 例1.a-6a+9 錯解： a-6a+9 = a-23a+3 =（a+3） 分析：完全平方公式括號里的符號根據(jù)2倍多項式的符號來定 正解：a-6a+9 = a-23a+3 =（a-3） 例2. 4m+n-4mn 錯解：4m+n-4mn =(2m+n) 分析：要先將位置調(diào)換，才能再利用完全平方公式 正解：4m+n-4mn =4m-4mn+n =（2m）-22mn+n =（2m-n） 例3.（a+2b）-10（a+2b）+25 錯解：（a+2b）-10（a+2b）+25 =（a+2b）-10（a+2b）+5 = (a+2b+5) 分析：要把a+2b看成一個整體，再運用完全平方公式 正解：（a+2b）-10（a+2b）+25 =（a+2b）-25（a+2b）+5 =（a+2b-5） 例4.2x-32 錯解：2x-32 =2(x-16) 分析：要先提取2，在運用平方差公式括號里能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分解 正解：2x-32 =2（x -16） =2（x+4）（x-4） =2（x+4）（x+2）（x-2） 例5.（x-x）-（x-1） 錯解：（x-x）-（x-1） =[（x-x）+（x-1）][ （x-x）-（x-1）] =（x-x+x-1）（x-x-x-1） =（x-1）（x-2x-1） 分析：做題前仔細分析題目，看有沒有公式，此題運用平方差公式，去括號要變號，括號里能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分解 正解：（x-x）-（x-1） =[（x-x）+（x-1）][（x-x）-（x-1）] =（x-x+x-1）（x-x-x-1） =（x-1）（x-2x+1） =（x+1）（x-1） 例6. -2ab+ab+ab 錯解：-2ab+ab+ab =-ab(-2ab+b+a) =-ab(a-b) 分析：先提公因式才能再用完全平方公式 正解：-2ab+ab+ab =-（2ab-ab-ab） =-（ab2ab-abb-aba） =-ab（2ab-b-a） =ab（b+a-2ab） =ab（a-b） 例7.24a（a-b）-18 （a-b） 錯解：24a（a-b）-18 （a-b） =（a-b）[24a-18(a-b) ] =（a-b）(24a-18a+18b) 分析：把a-b看做一個整體再繼續(xù)分解 正解： 24a（a-b）-18 a-b） = 6（a-b）4a-6（a-b）3（a-b） = 6（a-b）[4a-3（a-b）] =6（a-b）（4a-3a+3b） =6（a-b）（a+3b） 例8.（x-1）（x-3）+1 錯解：（x-1）（x-3）+1 = x+4x+3+1 = x+4x+4 =（x+2） 分析：無法直接分解時，可先乘開再分解 正解：（x-1）（x-3）+1 = x-4x+3+1 = x-4x+4 =（x-2） 例9.2（a-b）+8（b-a） 錯解：2（a-b）+8（b-a） =2(b-a) +8（b-a） = 2(b-a) [(b-a) +4] 分析：要先找出公因式再進行因式分解 正解： 2（a-b）+8（b-a） = 2（a-b）-8（a-b） = 2（a-b）（a-b）-2（a-b） = 2（a-b）[（a-b）-4] = 2（a-b）（a-b+2）(a-b-2) 例10. （x+y）-4（x+y-1） 錯解： （x+y）-4（x+y-1） =（x+y）-(4x-4y+4) =(x+2xy+y)-(4x-4y+4) 分析：無法直接分解時，要仔細觀察，找出特點，再進行分解 正解： （x+y）-4（x+y-1） =（x+y）-4（x+y）+4 =（x+y-2） 1.對于任何整數(shù)m,多項式(4m+5)2-9都能( ) A.被8整除 B.被m整除 C.被(m-1)整除 D.被(2m-1)整除 思路解析:因為(4m+5)2-9=(4m+5+3)(4m+5-3)=(4m+8)(4m+2)=8(m+2)(2m+1),所以(4m+5)2-9都能被8整除. 答案:A 2.滿足m2+n2+2m-6n+10=0的是( ) A.m=1,n=3 B.m=1,n=-3 C.m=-1,n=3 D.m=-1,n=-3 思路解析:m2+n2+2m-6n+10=(m+1)2+(n-3)2=0,所以m=-1,n=3. 答案:C 3.已知正方形的面積是9x2+6xy+y2(x>0,y>0),則該正方形的邊長為____________. 思路解析:把9x2+6xy+y2分解因式可得9x2+6xy+y2=(3x+y)2. 答案:3x+y 4.若x2+mx+n是一個完全平方式,則m,n的關(guān)系是_______. 思路解析:若x2+mx+n是一個完全平方式,則常數(shù)項n等于一次項系數(shù)m的一半的平方. 答案:m2=4n 5.已知a-2=b+c,則代數(shù)式a(a-b-c)-b(a-b-c)+c(b-a+c)的值是_______. 思路解析:因為a-2=b+c,所以a-b-c=2,所以原式=a(a-b-c)-b(a-b-c)-c(a-b-c)=a(a-b-c)-b(a-b-c)-c(a-b-c)=(a-b-c)2=4. 答案:4 6.已知x,y滿足x2+4xy+4y2-x-2y+=0,則x+2y的值為_______. 思路解析:x2+4xy+4y2-x-2y+=(x+2y)2-(x+2y)+=(x+2y-)2,由非負數(shù)性質(zhì)可得x+2y=. 答案: 7.當(dāng)x_______取時,多項式x2+4x+6取得最小值是_______. 思路解析:因為x2+4x+6=(x+2)2+2,且(x+2)2≥0,所以當(dāng)x=-2時,(x+2)2+2有最小值為2. 答案:-2 2 14.觀察下列各式x2-1=(x-1)(x+1),x3-1=(x-1)(x2+x+1),x4-1=(x-1)(x3+x2+x+1),根據(jù)前面各式的規(guī)律可猜想xn+1-1=_____________. 思路解析:觀察特點,找出其內(nèi)在的規(guī)律. 答案:(x-1)(xn+xn-1+…+x+1) 8.利用分解因式求值. (1)已知x+y=1,xy=-,利用因式分解求x(x+y)(x-y)-x(x+y)2的值; (2)已知a+b=2,ab=2,求a3b+a2b2+ab3的值 (3)(m2-m)2+(m2-m)+. 思路分析:對于(1),可將x(x+y)(x-y)-x(x+y)2提取公因式x(x+y);對于(2),先提取公因式ab,再運用公式法分解. 解:(1)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2=x(x+y)［(x-y)-(x+y)］=-2xy(x+y)=1; (2)原式=ab(a+b)2=4. (3)(m2-m)2+(m2-m)+=(m-)4 9.利用分解因式計算. (1)1915; (2). 思路分析:對于(1),可提取公因式;對于(2),可對分子、分母采取分步分解的方法進行化簡計算. 解:(1)1915=(19+15)=-26; (2) 10.n為整數(shù),試說明(n+5)2-(n-1)2的值一定能被12整除. 思路分析:要證明(n+5)2-(n-1)2的值能被12整除,只要將此式分解因式,使12成為其中的一個因式即可. 解:(n+5)2-(n-1)2=［(n+5)+(n-1)］［(n+5)-(n-1)］=(2n+4)6=2(n+2)6=12(n+2), 因為n為整數(shù),所以n+2也為整數(shù),故12(n+2)能被12整除,即(n+5)2-(n-1)2的值一定能被12整除. 11.在對某二次三項式進行因式分解時,甲同學(xué)因看錯了一次項系數(shù)而將其分解為2(x-1)(x-9),而乙同學(xué)因看錯了常數(shù)項而將其分解為2(x-2)(x-4),請你將此二次三項式進行正確的因式分解. 思路分析:解答此類問題的基本思路是“將錯就錯”,找出在錯誤的答案下,依然正確的條件,運用整式乘法與因式分解的關(guān)系進行求解. 解:2(x-1)(x-9)=2x2-20x+18,2(x-2)(x-4)=2x2-12x+16,因為甲同學(xué)看錯了一次項系數(shù),但沒有看錯常數(shù)項,乙同學(xué)看錯了常數(shù)項但沒有看錯一次項系數(shù),所以原多項式為2x2-12x+18.分解因式得2x2-12x+18=2(x2-6x+9)=2(x-3)2.