概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題解答第3章.doc

習 題 三 （A） 三、解答題 1. 設口袋中有3個球，它們上面依次標有數(shù)字1，1，2，現(xiàn)從口袋中無放回地連續(xù)摸出兩個球，以X，Y分別表示第一次與第二次摸出的球上標有的數(shù)字，求(X，Y)的分布律． 解：(X，Y)取到的所有可能值為(1，1)，(1，2)，(2，1)由乘法公式： P{X=1，Y=1}=P{X=1}P{Y=1|X=1}=2/31/2=/3， P{X=1，Y=2}= P{X=1}P{Y=2|X=1}=2/31/2=1/3， P{X=2，Y=1}= P{X=2}P{Y=1|X=2}=1/32/2=1/3. (X，Y)的分布律用表格表示如下： Y X 1 2 1 1/3 1/3 2 1/3 0 2．設盒中裝有8支圓珠筆芯，其中3支是藍的，3支是綠的，2支是紅的，現(xiàn)從中隨機抽取2支，以X，Y分別表示抽取的藍色與紅色筆芯數(shù)，試求： (1) X和Y的聯(lián)合分布律； (2) P{X，Y} A}，其中A = {(x，y)| x + y 1}． 解：X，Y所有可能取到的值是0， 1， 2 (1) P{X=i， Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i}=， i， j=0，1，2， i+j2 或者用表格表示如下： Y X 0 1 2 0 3/28 6/28 1/28 1 9/28 6/28 0 2 3/28 0 0 (2)P{(X，Y)A}=P{X+Y1}=P{X=0， Y=0}+P{X=1，Y=0}+P{X=0，Y=1}=3/28+9/28+6/28=9/14. 3．設事件滿足記X，Y分別為一次試驗中A，B發(fā)生的次數(shù)，即，，求：二維隨機變量(X，Y)的分布律． 解：因為P(A)=1/4，由P(B|A)=得P(AB)=1/8， 由P(A|B)=得P(B)=1/4. (X，Y)取到的所有可能數(shù)對為(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)，則 P{X=0，Y=0}==1-P(A)-P(B)+P(AB)=5/8, P{X=0，Y=1}==P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8, P{X=1，Y=0}==P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8, P{X=1，Y=1}=P(AB)=1/8. 4．設二維隨機變量(X，Y)的概率密度為 試求： (1) 常數(shù)A (2) P{X = Y} (3) P{X < Y} (4) (X，Y)的分布函數(shù)． 解：(1)由歸一性知： 1=-∞+∞-∞+∞fx,ydxdy=0101Axydxdy=A4， 故A=4 (2) P{X=Y}=0, (3) P{X<Y}=01x14xydydx=12. (4) F(x，y)= -∞x-∞yf(u,v)dudv=0,x<0或y<0 40x0yuvdudv,0≤x≤1,0≤y<140x01uvdudv,0≤x≤1,y>140y01uvdudv,x>1,0≤y<11,x≥1,y≥1 即F(x，y)=0，x<0或y<0x2y2,0≤x≤1,0≤y<1x2,0≤x≤1,y>1y2,x>1,0≤y<11,x≥1,y≥1 5．設二維隨機變量的聯(lián)合概率密度為 求P{X + Y 1}． 解：P{X+Y1}= 6．將一枚硬幣擲3次，以X表示前2次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示3次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，求X，Y的聯(lián)合分布律及(X，Y)的邊緣分布律． 解：X的所有可能取值為0，1，2，Y的所有可能取值為0，1，2，3. P{X=0，Y=0}=0.53=0.125; P{X=0，Y=1}=0.53=0.125 P{X=1，Y=1}=， P{X=1，Y=2}= P{X=2，Y=2}=0.53=0.125， P{X=2，Y=3}==0.53=0.125 X，Y 的分布律及邊緣分布律可用表格表示如下： Y X 0 1 2 3 Pi. 0 0.125 0.125 0 0 0.25 1 0 0.25 0.25 0 0.5 2 0 0 0.125 0.125 0.25 P.j 0.125 0.375 0.375 0.125 1 解法2： 7．設二維隨機變量(X，Y)的概率密度為 求邊緣概率密度fX(x)，fY(y)． 解： 8．設二維隨機變量(X，Y)的概率密度為 求： (1) 確定常數(shù)c (2) 邊緣概率密度fX(x)，fY(y)． 解： (1) 所以 c=21/4 (2) 9．設平面區(qū)域D由曲線及直線y = 0，x = 1，x = e2圍成，二維隨機變量(X，Y)在區(qū)域D上服從均勻分布，求邊緣概率密度fX(x)，fY(y)． 解： (X，Y)在區(qū)域D上服從均勻分布，故f(x，y)的概率密度為 10．設二維隨機變量(X，Y)的概率密度為 試求條件概率密度f(y | x)． 解： 當0<x1時， 即， 11．設二維隨機變量(X，Y)的概率密度為 求條件概率密度f(x | y)． 解： 當y0時， 當y>0時， 所以， 12．已知隨機變量的概率密度為 在給定Y = y條件下，隨機變量X的條件概率密度為 求概率P{X > 0.5}． 解：由得 13．設二維隨機變量(X，Y)的分布律為 Y X -1 0 1 0 0.05 0.15 0.2 1 0.07 0.11 0.22 2 0.04 0.07 0.09 試分別求和的分布律． 解：Z=max(X，Y)，W=min(X，Y)的所有可能取值如下表 pi 0.05 0.15 0.2 0.07 0.11 0.22 0.04 0.07 0.09 (X，Y) (0，-1) (0，0) (0，1) (1，-1) (1，0) (1，1) (2，-1) (2，0) (2，1) max(X，Y) 0 0 1 1 1 1 2 2 2 Min(X，Y) -1 0 0 -1 0 1 -1 0 1 Z=max(X，Y)，W=min(X，Y)的分布律為 Z 0 1 2 Pk 0.2 0.6 0.2 W -1 0 1 Pj 0.16 0.53 0.31 14．設X和Y是相互獨立的隨機變量，且，如果定義隨機變量Z如下： 求Z的分布律． 解： 由獨立性得X，Y的聯(lián)合概率密度為 則P{Z=1}=P{XY}= P{Z=0}=1-P{Z=1}=0.5 故Z的分布律為 Z 0 1 Pk 0.5 0.5 15．設二維隨機變量(X，Y)的概率密度為 求邊緣概率密度fX(x)，fY(y)；并問X與Y是否獨立？ 解： 同理， 顯然，，所以X與Y不相互獨立 16．設隨機變量X和Y相互獨立，試在以下情況下求的概率密度， (1) ； (2) ． 解：(1) 利用卷積公式：求fZ(z) = (2) 利用卷積公式： 17．設，且X與Y獨立，求． 解：由定理3.1（P75）知，X+Y~N(1，2)，故 18．設隨機變量(X，Y)的概率密度為 (1) 問X和Y是否相互獨立？ (2) 求的概率密度． 解：(1) (x>0) 同理， y>0 顯然，，所以X與Y不相互獨立 (2).利用公式 被積函數(shù) 所以 19. 設某系統(tǒng)L由兩個相互獨立的系統(tǒng)L1，L2聯(lián)合而成，各連接方式如圖所示．已知L1，L2的使用壽命X與Y分別服從參數(shù)為a，b 的指數(shù)分布，求以下各系統(tǒng)L使用壽命Z的分布函數(shù)及概率密度． L2 L1 L2 L1 解：并聯(lián)時，系統(tǒng)L的使用壽命Z=max{X，Y} 因X~Exp(a)，Y~Exp(b)，故 ， ， 串聯(lián)時，系統(tǒng)L的使用壽命Z=min{X，Y} （B） 1．設二維隨機變量(X，Y)的分布律為 Y X 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知隨機事件{X = 0}與{X + Y = 1}相互獨立，求a，b的值． 解：P{X=0}=a+0.4，P{X+Y=1}=P{X=1，Y=0}+P{X=0，Y=1}=a+b. P{X=0，X+Y=1}=P{X=0，Y=1}=a 由于{X=0}與{X+Y=1}相互獨立，所以 P{X=0， X+Y=1}=P{X=0} P{X+Y=1} 即 a=(a+0.4)(a+b) (1) 再由歸一性知： 0.4+a+b+0.1=1 (2) 解(1)，(2)得 a=0.4， b=0.1 2．設二維隨機變量(X，Y)的概率密度為 (1) 求P{X > 2Y} (2) 求Z = X + Y的概率密度fZ(z)． 解: (1) (2) 利用公式計算 3．設隨機變量X的概率密度為 令，為二維隨機變量(X，Y)的分布函數(shù)，求 (1) Y的概率密度； (2) ． 解：(1) FY(y)=P{Yy}=P{X2y} 當y<0時，fY(y)=0 當y0時， 從而， (2) F(-1/2，4)=P{X-1/2，Y4}= P{X-1/2，X24} =P{-2X-1/2}= 4．設(X，Y)為二維離散型隨機變量，和的邊緣分布律分別如下： X -1 0 1 pi 1/4 1/2 1/4 Y 0 1 pi 1/2 1/2 如果，試求 (1) (X，Y)的分布律； (2) 問X與Y是否獨立． 解：P{XY0}=1-P{XY=0}=0 即 P{X=-1，Y=1}+P{X=1，Y=1}=0 由概率的非負性知，P{X=-1，Y=1}=0，P{X=1，Y=1}=0 由邊緣分布律的定義，P{X=-1}= P{X=-1，Y=0}+ P{X=-1，Y=1}=1/4 得P{X=-1，Y=0}=1/4 再由P{X=1}= P{X=1，Y=0}+ P{X=1，Y=1}=1/4 得P{X=1，Y=0}=1/4 再由P{Y=1}=P{X=-1，Y=1}+ P{X=0，Y=1}+ P{X =1，Y=1}= P{X=0，Y=1} 知P{X=0，Y=1}=1/2 最后由歸一性得：P{X=0，Y=0}=0 (X，Y)的分布律用表格表示如下： Y X 0 1 P{X=i} -1 1/4 0 1/4 0 0 1/2 1/2 1 1/4 0 1/4 P{Y=j} 1/2 1/2 1 (2) 顯然，X和Y不相互獨立，因為P{X=-1，Y=0} P{X=-1}P{Y=0} 5．設隨機變量X與Y相互獨立，且，求Z = X + Y的概率密度（計算結(jié)果用標準正態(tài)分布分布函數(shù)表示）． 解：X與Y相互獨立，利用卷積公式計算 6．設二維隨機變量(X，Y)在矩形上服從均勻分布，試求邊長為X和Y的矩形面積S的概率密度． 解：(X，Y)～Ｕ(G) 設F(x)和f(s)分別表示S=XY的分布函數(shù)和密度函數(shù) F(s)=P{XY<s} s<0時，F(xiàn)S (s)=0 s0時，, 所以， 于是，S=ＸY概率密度為 7．設隨機變量X與Y相互獨立，其中X的分布律為 X 1 2 pi 0.3 0.7 而Y的概率密度為f(y)，求隨機變量的概率密度． 解：由全概率公式： FU(u)=P{Uu}={X+Yu} =P{X=1}P{X+Yu|X=1}+ P{X=2}P{X+Yu|X=2} = P{X=1}P{1+Yu}+ P{X=2}P{2+Yu} =0.3FY(u-1)+0.7FY(u-2) 所以，fU(u) =0.3fY(u-1)+0.7fY(u-2) 8．設二維隨機變量(X，Y)的概率密度為 求：(1) (X，Y)的邊緣概率密度fX(x)，fY(y)； (2) 的概率密度； 解：(1) (2) 如圖所示，當z<0時，F(xiàn)Z(z)=0; 當z2時，F(xiàn)Z(z)=1 當0z<2時: 綜上所述， 所以Z的概率密度為： 9．設隨機變量X在區(qū)間(0，1)上服從均勻分布，在X = x（0 < x < 1）的條件下，隨機變量Y在區(qū)間上服從均勻分布，求： (1) 隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度； (2) Y的概率密度； (3) 概率P{X + Y > 1}． 解：(1) (2) (3) 10. 設隨機變量X與Y相互獨立，X的分布律為，（i = – 1，0，1），Y的概率密度為，記，求： (1) 求 (2) 求Z的概率密度． 解：(1) P{Z1/2|X=0}=P{X+Y1/2|X=0}=P{Y1/2}=1/2 (2) 由全概率公式： FZ(z)=P{Zz}=P{X+Yz}=P{X=1}P{X+Yz|X=1} +P{X=0}P{X+Yz|X=0}=P{X=-1}P{X+Yz|X=-1} = P{X=1}P{1+Yz}+P{X=0}P{Yz}=P{X=-1}P{-1+Yz} =1/3[FY(z-1)+ FY(z)+ FY(z+1)] 從而，fZ(z) =1/3[fY(z-1)+ fY(z)+ fY(z+1)]= 11．設X與Y的聯(lián)合概率密度為 試求的概率密度． 解： 如圖，當z<0時，F(xiàn)Z(z)=0; 當z1時，F(xiàn)Z(z)=1 當0z<1時: 綜上得：12 Z的概率密度為 12．設X與Y獨立同分布，且都服從標準正態(tài)分布N(0，1)，試求的分布． 解： 當z<0時，F(xiàn)Z(z)=0; 當z0時， 所以，Z的概率密度為