《點集拓?fù)鋵W(xué)》第6章 §6.1,Hausdorff空間

第6章　分離性公理 §6.1　,Hausdorff空間 　　本節(jié)重點: 　　掌握空間的定義及它們之間的不同與聯(lián)系； 　　掌握各空間的充要條件； 　　熟記常見的各種空間. 　　現(xiàn)在我們回到我們在第二章中提出來的什么樣的拓?fù)淇臻g的拓?fù)淇梢杂伤哪骋粋€度量誘導(dǎo)出來這一問題．為了回答這個問題勢必要求我們對度量空間的拓?fù)湫再|(zhì)有充分的了解．讀者將會發(fā)現(xiàn)，本章中所提到的諸分離性公理，實際上是模仿度量空間的拓?fù)湫再|(zhì)逐步建立起來的．對諸分離性的充分研究使我們在§6.5中能夠?qū)τ谇笆鰡栴}作一個比較深刻的（雖然不是完全的）回答． 　　定義6.1.1　設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，如果X中的任意兩個不相同的點中必有一個點有一個開鄰域不包含另一個點（即如果x，y∈X，x≠y,則或者x有一個開鄰域U使得yU,或者y有一個開鄰域V使得xV)，則稱拓?fù)淇臻gX是一個空間． 　　拓?fù)淇臻g自然不必都是空間，例如包含著不少于兩個點的平庸空間就不是空間． 　　定理6.1.1　拓?fù)淇臻gX是一個空間當(dāng)且僅當(dāng)X中任意兩個不同的單點集有不同的閉包．（即如果x，y∈X，x≠y，則．） 　　證明　充分性:設(shè)定理中的條件成立．則對于任何x，y∈X，x≠y，由于，因此或者成立，或者成立．當(dāng)前者成立時，必定有．（因為否則).這推出x有一個不包含y的開鄰域．同理，當(dāng)后者成立時，y有一個不包含x的開鄰域．這證明X是一個空間． 　　必要性:設(shè)X是一個空間．若x，y∈X，x≠y，則或者x有一個開鄰域U使得或者y有一個開鄰域V使得．若屬前一種情形，由于，若屬后一種情形，同樣也有． 　　定義6.1.2　設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g．如果X中的任意兩個不相同的點中每一個點都有一個開鄰域不包含另一個點，則稱拓?fù)淇臻gX是一個空間． 　　空間當(dāng)然是空間．但反之不然．例如設(shè)X={0,1}，T={,{0},X},則T是X的一個拓?fù)洌⑶彝負(fù)淇臻g(X，T)是的但不是的．（請讀者自己驗證，） 　　定理6.1.2　設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，則以下條件等價： 　?。?）X是一個空間； 　?。?）X中每一個單點集都是閉集； 　?。?）X中每一個有限子集都是閉集． 　　證明?。?）蘊(yùn)涵（2）．設(shè)x∈X．當(dāng)X是一個空間時，對于任何y∈X，y≠x，點x有一個鄰域U使得，即.這證明單點集{x}是一個閉集． 　?。?）蘊(yùn)涵（3）．這是顯然的.因為有限個閉集的并仍然是閉集. 　?。?）蘊(yùn)涵（1）．設(shè)x,y∈X,x≠y,當(dāng)(3)成立時單點集{x}和{y}都是閉集．從而分別是y和x的開鄰域，前者不包含x，后者不包含y．這就證明了X是一個空間. 　　下面的兩個定理表明，空間中關(guān)于凝聚點和序列收斂的性質(zhì)和我們在數(shù)學(xué)分析中熟知的多了一些類似之處． 　　定理6.1.3　設(shè)X是一個空間．則點x∈X是X的子集A的一個凝聚點當(dāng)且僅當(dāng)x的每一個鄰域U中都含有A中的無限多個點,即U∩A是一個無限集． 　　證明　定理充分性部分是明顯的．以下證明必要性部分．假設(shè)x∈X,x∈d(A)．如果x有一個開鄰域U使得U∩A是一個有限集，則集合B=U∩A-{x}也是一個有限集，因此是一個閉集．因此U－B是一個開集，并且是x的一個鄰域．此外易見 　　(U－B)∩(A-{x})=.這蘊(yùn)含著x不是A的凝聚點,與假設(shè)矛盾． 　　定理6.1.4　設(shè)X是一個空間．則X中的一個由有限個點構(gòu)成的序列{}（即集合{|i∈Z+}是一個有限集）收斂于點x∈X當(dāng)且僅當(dāng)存在N＞0使得=x對于任何i≥N成立． 　　證明　由于X是一個空間，集合A＝{|≠x,i=1,2…}是一個有限集，所以是一個閉集．從而是x的一個開鄰域．于是存在N＞0使得當(dāng)i≥N有，因而=x. 　　定義6.1.3　設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g．如果X中任何兩個不相同的點各自有一個開鄰域使得這兩個開鄰域互不相交（即如果x，y∈X，x≠y，則點x有一個開鄰域U，點y有一個開鄰域V，使得U∩V=），則稱拓?fù)淇臻gX是一個Hausdorff空間，或空間． 　　hausdorff空間一定是空間，但反之不然． 　　例6.1.1　非Hausdorff的空間的例子． 　　設(shè)X是一個包含著無限多個點的有限補(bǔ)空間．由于X中的每一個有限子集都是閉集，因此它是一個空間．然而在拓?fù)淇臻gX中任何兩個非空的開集一定會有非空的交．這是因為X中每一個非空開集都是X中的有限子集的補(bǔ)集，而X又是一個無限集的緣故．由此易見X必然不是一個空間． 　　定理6.1.5　Hausdorff空間中的任何一個收斂序列只有一個極限點． 　　證明　設(shè){}是Hausdorff空間X中的一個序列，并且有　于是對于j＝1，2，點有一個開鄰域，使得．故存在＞O使得當(dāng)i≥時有．任意選取M＞max{}．可見，這是一個矛盾． 　　但在空間中定理6.1.5卻可以不成立．例如設(shè)拓?fù)淇臻gX如例6.1.1中所述，{}是X中的任何一個由兩兩不同的點構(gòu)成的序列，即當(dāng)i≠j時有.此時對于任何y∈X和y的任一鄰域U,由于U的補(bǔ)集是一個有限集，所以存在N＞0使得當(dāng)i≥N時有∈U．于是lim=y．也就是說，序列{}收斂于X中的任何一個點． 　　作業(yè): 　　P155　3.4.5.