概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第三章.ppt

第三章隨機變量的數(shù)學特征,分賭本問題(17世紀)甲乙兩賭徒賭技相同，各出賭注50元.無平局，誰先贏3局，則獲全部賭注.當甲嬴2局、乙羸1局時，中止了賭博.問如何分賭本?,兩種分法,1.按已賭局數(shù)分：則甲分總賭本的2/3、乙分總賭本的1/32.按已賭局數(shù)和再賭下去的“期望”分：因為再賭二局必分勝負，共四種情況：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分總賭本的3/4、乙分總賭本的1/4,“期望”所得,若按已賭局數(shù)和再賭下去的“期望”分，則甲的所得X是一個可能取值為0或100的隨機變量，其分布列為：,,,X0100,P1/43/4,甲的“期望”所得是：0?1/4+100?3/4=75.,3.1數(shù)學期望,定義3.1設離散隨機變量X的分布列為P(X=xn)=pn,n=1,2,...若級數(shù),絕對收斂，則稱該級數(shù)為X的,數(shù)學期望，記為,連續(xù)隨機變量的數(shù)學期望,定義3.2設連續(xù)隨機變量X的密度函數(shù)為p(x),若積分,絕對收斂，則稱該積分為X的,數(shù)學期望，記為,例,則,E(X)=,?10.2+00.1+10.4+20.3=0.8.,X?1012,P0.20.10.40.3,,,注意點,數(shù)學期望簡稱為期望.數(shù)學期望又稱為均值.數(shù)學期望是一種加權(quán)平均.,3.2數(shù)學期望的性質(zhì)(P64),,(1)E(c)=c,(2)E(X+b)=E(X)+b,(3)E(aX)=aE(X),(4)E(aX+b)=aE(X)+b,(5)E(X+Y)=E(X)+E(Y),(6)若X與Y獨立,則E(XY)=E(X)E(Y),數(shù)學期望的性質(zhì),定理(P66)設Y=g(X)是隨機變量X的函數(shù)，若E(g(X))存在，則,例設隨機變量X的概率分布為,求E(X2+2).,=(02+2)1/2+(12+2)1/4+(22+2)1/4,=1+3/4+6/4=13/4,解:E(X2+2),X012,P1/21/41/4,,,例,設X~p(x)=2x,0<x0,令,則有E(Y)=0,D(Y)=1.,稱Y為X的標準化.,常用離散分布的數(shù)學期望,0--1分布的數(shù)學期望=p,二項分布b(n,p)的數(shù)學期望=np,泊松分布P(?)的數(shù)學期望=?,常用離散分布的方差,0--1分布的方差=p(1?p),二項分布b(n,p)的方差=np(1?p),泊松分布P(?)的方差=?,常用連續(xù)分布的數(shù)學期望,均勻分布U(a,b):E(X)=(a+b)/2,指數(shù)分布Exp(?):E(X)=1/?,正態(tài)分布N(?,?2):E(X)=?,常用連續(xù)分布的方差,均勻分布U(a,b)的方差=(b?a)2/12,指數(shù)分布Exp(?)的方差=1/?2,正態(tài)分布N(?,?2)的方差=?2,例已知隨機變量X服從二項分布，且E(X)=2.4,D(X)=1.44,則參數(shù)n,p的值為多少？,例設X表示10次獨立重復射擊命中目標的次數(shù),每次射中目標的概率為0.4,則E(X2)的值為多少？,解：從2.4=np,1.44=np(1?p)中解得,解：因為E(X)=np=4,Var(X)=2.4,所以,n=6,p=0.4.,E(X2)=D(X)+(E(X))2=2.4+16=18.4,(三)多維隨機變量的特征數(shù),本節(jié)主要給出X與Y的相關(guān)系數(shù),數(shù)學期望與方差的運算性質(zhì),1.E(X+Y)=E(X)+E(Y),當X與Y獨立時，E(XY)=E(X)E(Y).,討論X+Y的方差,1.D(X?Y)=D(X)+D(Y)?2E[X?E(X)][Y?E(Y)],3.當X與Y獨立時，E[X?E(X)][Y?E(Y)]=0.,4.當X與Y獨立時，D(X?Y)=D(X)+D(Y).,2.E[X?E(X)][Y?E(Y)]=E(XY)?E(X)E(Y),協(xié)方差,定義3.5稱Cov(X,Y)=E[X?E(X)][Y?E(Y)],為X與Y的協(xié)方差。,協(xié)方差的性質(zhì),若X與Y獨立，則Cov(X,Y)=0.,Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y).,D(X?Y)=D(X)+D(Y)?2Cov(X,Y),課堂練習(1),X與Y獨立，Var(X)=6，Var(Y)=3，則Var(2X?Y)=().,27,課堂練習(2),X~P(2)，Y~N(?2,4)，X,Y獨立，則E(X?Y)=();E(X?Y)2=().,4,22,相關(guān)系數(shù),定義3.6稱ρ=,為X與Y的相關(guān)系數(shù)。,相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),(1)?1?Corr(X,Y)?1.,(2)Corr(X,Y)=?1,X與Y幾乎處處有線性關(guān)系。,?,P(Y=aX+b)=1,注意點,Corr(X,Y)的大小反映了X與Y之間的線性關(guān)系：,Corr(X,Y)接近于1，X與Y間正相關(guān)。,Corr(X,Y)接近于?1，X與Y間負相關(guān)。,Corr(X,Y)接近于0，X與Y間不相關(guān)。,沒有線性關(guān)系,習題,P7723,24,