高考數(shù)學(xué)人教A版（理）一輪復(fù)習(xí)：第十一篇 第7講 離散型隨機變量的均值與方差

第7講 離散型隨機變量的均值與方差 A級　基礎(chǔ)演練(時間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．(2013·西安模擬)樣本中共有五個個體，其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1，則樣本方差為 (　　)． A. B. C. D．2 解析　由題意，知a＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a＝－1. s2＝＝2. 答案　D 2．簽盒中有編號為1、2、3、4、5、6的六支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個，則X的數(shù)學(xué)期望為 (　　)． A．5 B．5.25 C．5.8 D．4.6 解析　由題意可知，X可以取3,4,5,6， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝. 由數(shù)學(xué)期望的定義可求得E(X)＝5.25. 答案　B 3．若p為非負(fù)實數(shù)，隨機變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P －p p 則E(ξ)的最大值為 (　　)． A．1 B. C. D．2 解析　由p≥0，－p≥0，則0≤p≤，E(ξ)＝p＋1≤. 答案　B 4．(2013·廣州一模)已知隨機變量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，則E(η)，D(η)分別是 (　　)． A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6 解析　由已知隨機變量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案　B 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，則y的值為________． 解析　x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6. ① 又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化簡得7x＋10y＝5.4. ② 由①②聯(lián)立解得x＝0.2，y＝0.4. 答案　0.4 (2013·溫州調(diào)研)已知離散型隨機變量X的分布列如右表，若E(X)＝0，D(X)＝1，則a＝________，b＝________. X －1　0　1　2　 P a　b　c　 解析　由題意知解得 答案　　 三、解答題(共25分) 7．(12分)若隨機事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用隨機變量X表示A在一次試驗中發(fā)生的次數(shù)． (1)求方差D(X)的最大值；(2)求的最大值． 解　隨機變量X的所有可能的取值是0.1， 并且有P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝1－p. 從而E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p， D(X)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p－p2. (1)D(X)＝p－p2＝－2＋. ∵0<p<1，∴當(dāng)p＝時，D(X)取最大值，最大值是. (2)＝＝2－. ∵0<p<1，∴2p＋≥2. 當(dāng)2p＝，即p＝時取“＝”． 因此當(dāng)p＝時，取最大值2－2. 8．(13分)(2013·汕頭一模)袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號． (1)求X的分布列、期望和方差； (2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，試求a，b的值． 解　(1)X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5. D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75. (2)由D(η)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2. 又E(η)＝aE(X)＋b， 所以當(dāng)a＝2時，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2. 當(dāng)a＝－2時，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4. ∴或即為所求． B級　能力突破(時間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a、b、c∈(0,1))，已知他投籃一次得分的均值為2，則＋的最小值為 (　　)． A. B. C. D. 解析　由已知得，3a＋2b＋0×c＝2， 即3a＋2b＝2，其中0<a<，0<b<1. 又＋＝ ＝3＋＋＋≥＋2 ＝， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝2b時取“等號”，又3a＋2b＝2，即當(dāng)a＝，b＝時，＋的最小值為，故選D. 答案　D 2．(2012·上海)設(shè)10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5＝105.隨機變量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均為0.2，隨機變量ξ2取值、、、、的概率也均為0.2.若記D(ξ1)、D(ξ2)分別為ξ1、ξ2的方差，則 (　　)． A．D(ξ1)>D(ξ2) B．D(ξ1)＝D(ξ2) C．D(ξ1)<D(ξ2) D．D(ξ1)與D(ξ2)的大小關(guān)系與x1、x2、x3、x4的取值有關(guān) 解析　利用期望與方差公式直接計算． E(ξ1)＝0.2x1＋0.2x2＋0.2x3＋0.2x4＋0.2x5 ＝0.2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)． E(ξ2)＝0.2×＋0.2×＋…＋0.2× ＝0.2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)． ∴E(ξ1)＝E(ξ2)，記作， ∴D(ξ1)＝0.2[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x5－)2] ＝0.2[x＋x＋…＋x＋52－2(x1＋x2＋…＋x5)] ＝0.2(x＋x＋…＋x－52)． 同理D(ξ2)＝0.22＋2＋…＋2－5 2. ∵2<，…，2<， ∴2＋2＋…＋2<x＋x＋x＋x＋x.∴D(ξ1)>D(ξ2)． 答案　A 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．隨機變量ξ的分布列如下： ξ －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差數(shù)列．若E(ξ)＝，則D(ξ)的值是________． 解析　根據(jù)已知條件： 解得：a＝，b＝，c＝， ∴D(ξ)＝×2＋×2＋×2＝. 答案　 4．(2013·濱州一模)設(shè)l為平面上過點(0,1)的直線，l的斜率等可能地?。?，－，－，0，，，2，用ξ表示坐標(biāo)原點到l的距離，則隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝________. 解析　當(dāng)l的斜率k為±2時，直線l的方程為±2x－y＋1＝0，此時坐標(biāo)原點到l的距離d＝；當(dāng)k為±時，d＝；當(dāng)k為±時，d＝；當(dāng)k為0時，d＝1，由古典概型的概率公式可得分布列如下： ξ 1 P 所以E(ξ)＝×＋×＋×＋1×＝. 答案　 三、解答題(共25分) 5．(12分)(2013·大連二模)甲、乙、丙三名射擊運動員射中目標(biāo)的概率分別為，a，a(0<a<1)，三人各射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)記為ξ. (1)求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望； (2)在概率P(ξ＝i)(i＝0,1,2,3)中，若P(ξ＝1)的值最大，求實數(shù)a的取值范圍． 解　(1)P(ξ)是“ξ個人命中，3－ξ個人未命中”的概率．其中ξ的可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝(1－a)2＝(1－a)2， P(ξ＝1)＝(1－a)2＋a(1－a)＋(1－a)a＝(1－a2)， P(ξ＝2)＝a2＋(1－a)a＋a(1－a)＝(2a－a2)， P(ξ＝3)＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P (1－a)2 (1－a2) (2a－a2) ξ的數(shù)學(xué)期望為 E(ξ)＝0×(1－a)2＋1×(1－a)2＋2×(2a－a2)＋3×＝. (2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝[(1－a2)－(1－a)2]＝a(1－a)， P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝[(1－a2)－(2a－a2)]＝， P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝[(1－a2)－a2]＝. 由及0<a<1，得0<a≤， 即a的取值范圍是. 6．(13分)(2013·福州模擬)隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位：萬元)為ξ. (1)求ξ的分布列； (2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即ξ的均值)； (3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%.如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？ 思維啟迪：本題在求解時，一定要分清求解的是哪一個變量的均值，理清隨機變量取值時的概率． 解　(1)由于1件產(chǎn)品的利潤為ξ，則ξ的所有可能取值為6,2,1，－2，由題意知P(ξ＝6)＝＝0.63，P(ξ＝2)＝＝0.25，P(ξ＝1)＝＝0.1，P(ξ＝－2)＝＝0.02. 故ξ的分布列為 ξ 6 2 1 －2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)1件產(chǎn)品的平均利潤為 E(ξ)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(萬元)． (3)設(shè)技術(shù)革新后三等品率為x，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為E(ξ)＝6×0.7＋2×(1－0.7－x－0.01)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x. 由E(ξ)≥4.73，得4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多為3%. 探究提高　(1)求解離散型隨機變量X的分布列的步驟：①理解X的意義，寫出X可能取的全部值；②求X取每個值的概率；③寫出X的分布列． 求離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機變量所取值對應(yīng)的概率，在求解時，要注意應(yīng)用計數(shù)原理、古典概型等知識． (2)求解離散型隨機變量X的均值與方差時，只要在求解分布列的前提下，根據(jù)均值、方差的定義求E(X)，D(X)即可. 特別提醒：教師配贈習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計·高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容.