人教A版理科數(shù)學(xué)課時試題及解析（63）離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布

課時作業(yè)(六十三)　[第63講　離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布] [時間：45分鐘　　分值：100分] 1．下面說法正確的是(　　) A．離散型隨機變量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值 B．離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平 C．離散型隨機變量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平 D．離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值 2．某班有的學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，如果從班中隨機地找出5名同學(xué)，那么其中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)X～B，則E(2X＋1)等于(　　) A. B. C．3 D. 3．一個課外興趣小組共有5名成員，其中3名女性成員、2名男性成員，現(xiàn)從中隨機選取2名成員進行學(xué)習(xí)匯報，記選出女性成員的人數(shù)為X，則X的數(shù)學(xué)期望是(　　) A. B. C. D. 4．某種摸獎活動的規(guī)則是：在一個袋子中裝有大小、質(zhì)地完全相同、編號分別為1,2,3,4的小球各一個，先從袋子中摸出一個小球，記下編號后放回袋子中，再從中取出一個小球，記下編號，若兩次編號之和大于6，則中獎．某人參加4次這種抽獎活動，記中獎的次數(shù)為X，則X的數(shù)學(xué)期望是(　　) A. B. C. D. 5．已知X～B，Y～B，且E(X)＝15，則E(Y)等于(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 6． 某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為(　　) A．100 B．200 C．300 D．400 7．已知離散型隨機變量X的概率分布列為 X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 則其方差D(X)等于(　　) A．1 B．0.6 C．2.44 D．2.4 8． 已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，則P(X>4)＝(　　) A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.1585 9．有10張卡片，其中8張標有數(shù)字2,2張標有數(shù)字5，從中任意抽出3張卡片，設(shè)3張卡片上的數(shù)字之和為X，則X的數(shù)學(xué)期望是(　　) A．7.8 B．8 C．16 D．15.6 10．某同學(xué)解答兩道試題，他能夠解出第一道題的概率為0.8，能夠解出第二道題的概率為0.6，兩道試題能夠解答與否相互獨立，記該同學(xué)解出題目的個數(shù)為隨機變量X，則X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________. 11．體育課的投籃測試規(guī)則是：一位同學(xué)投籃一次，若投中則合格，停止投籃，若投不中，則重新投籃一次，若三次投籃均不中，則不合格，停止投籃．某位同學(xué)每次投籃的命中的概率為，則該同學(xué)投籃次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________. 12．袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個，每次摸取一個球記下顏色后放回，現(xiàn)連續(xù)取球8次，記取出紅球的次數(shù)為X，則X的方差D(X)＝________. 13．據(jù)統(tǒng)計，一年中一個家庭萬元以上的財產(chǎn)被竊的概率為0.005，保險公司開辦一年期萬元以上家庭財產(chǎn)保險，交保險費100元，若一年內(nèi)萬元以上財產(chǎn)被竊，保險公司賠償a元(a>1000)，為確保保險公司有可能獲益，則a的取值范圍是________． 14．(10分) 一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個定義域為R的函數(shù)：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2. (1)現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個新函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率； (2)現(xiàn)從盒子中進行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進行，求抽取次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 15．(13分) 不透明盒中裝有10個形狀大小一樣的小球，其中有2個小球上標有數(shù)字1，有3個小球上標有數(shù)字2，還有5個小球上標有數(shù)字3.取出一球記下所標數(shù)字后放回，再取一球記下所標數(shù)字，共取兩次．設(shè)兩次取出的小球上的數(shù)字之和為X. (1)求隨機變量X的分布列； (2)求隨機變量X的期望E(X)． 16．(12分) 低碳生活成為人們未來生活的主流，某市為此制作了兩則公益廣告： (1)80部手機，一年就會增加一噸二氧化碳的排放…… (2)人們在享受汽車帶來的便捷與舒適的同時，卻不得不呼吸汽車排放的尾氣…… 活動組織者為了解市民對這兩則廣告的宣傳效果，隨機從10～60歲的人群中抽查了n人，統(tǒng)計結(jié)果如圖K63－1表示抽查的n人中，各年齡段的人數(shù)的頻率分布直方圖，下表表示抽查的n人中回答正確情況的統(tǒng)計表． 圖K63－1 廣告一 廣告二 回答正確 的人數(shù) 占本組人 數(shù)的頻率 回答正確 的人數(shù) 占本組人數(shù) 的頻率 [10,20) 90 0.5 45 a [20,30) 225 0.75 240 0.5 [30,40) 378 0.9 252 0.6 [40,50) 160 b 120 0.5 [50,60) 15 0.25 6 0.1 (1)分別寫出n，a，b的值； (2)若上表中的頻率近似值看作各年齡組正確回答廣告內(nèi)容的頻率，規(guī)定正確回答廣告一的內(nèi)容得20元，正確回答廣告二的內(nèi)容得30元，組織者隨機請一家庭的兩成員(大人45歲，孩子17歲)回答兩廣告內(nèi)容，求該家庭獲得資金的期望(各人之間，兩廣告之間相互獨立)． 課時作業(yè)(六十三) 【基礎(chǔ)熱身】 1．C　[解析] 離散型隨機變量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平，它的方差反映X取值的離散程度． 2．D　[解析] 因為X～B，所以E(X)＝，所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×＋1＝. 3．D　[解析] X＝0,1,2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以E(X)＝. 4．D　[解析] 根據(jù)乘法原理，基本事件的總數(shù)是4×4＝16，其中隨機事件“兩次編號之和大于6”含有的基本事件是(3,4)，(4,3)，(4,4)，故一次摸獎中獎的概率為.4次摸獎中獎的次數(shù)X～B，根據(jù)二項分布的數(shù)學(xué)期望公式，則E(X)＝4×＝. 【能力提升】 5．B　[解析] 因為X～B，所以E(X)＝，又E(X)＝15，則n＝30. 所以Y～B，故E(Y)＝30×＝10. 6．B　[解析] X的數(shù)學(xué)期望概率符合(n，p)分布；n＝1 000，p＝0.1，∴E(X)＝2×1 000×0.1＝200. 7．C　[解析] 因為0.5＋m＋0.2＝1，所以m＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4， D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44. 8．B　[解析] 通過正態(tài)分布對稱性及已知條件得P(X＞4)＝＝＝0.1587，故選B. 9．A　[解析] X的取值為6,9,12，相應(yīng)的概率 P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝，E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8. 10．1.4　[解析] X＝0,1,2.P(X＝0)＝0.2×0.4＝0.08，P(X＝1)＝0.8×0.4＋0.2×0.6＝0.44，P(X＝2)＝0.8×0.6＝0.48.所以E(X)＝0×0.08＋1×0.44＋2×0.48＝1.4. 11.　[解析] 試驗次數(shù)X的可能取值為1,2,3，且P(X＝1)＝， P(X＝2)＝×＝， P(X＝3)＝××＝. 隨機變量X的分布列為 X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 12．2　[解析] 每次取球時，紅球被取出的概率為，8次取球看做8次獨立重復(fù)試驗，紅球出現(xiàn)的次數(shù)X～B，故D(X)＝8××＝2. 13．(1 000,20 000)　[解析] X表示保險公司在參加保險者身上的收益，其概率分布為 X 100 100－a P 0.995 0.005 E(X)＝0.995×100＋(100－a)×0.005＝100－.若保險公司獲益，則期望大于0，解得a<20 000，所以a∈(1 000,20 000)． 14．[解答] (1)記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù)”，由題意知P(A)＝＝. (2)X可取1,2,3,4. P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝·＝， P(X＝3)＝··＝， P(X＝4)＝···＝； 故X的分布列為 X 1 2 3 4 P E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. 答：X的數(shù)學(xué)期望為. 15．[解答] (1)由題意知隨機變量X的取值為2,3,4,5,6. P(X＝2)＝×＝， P(X＝3)＝×＋×＝， P(X＝4)＝×＋×＋×＝， P(X＝5)＝×＋×＝， P(X＝6)＝×＝. 所以隨機變量X的分布列為 X 2 3 4 5 6 P (2)隨機變量X的期望為E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝. 【難點突破】 16．[解答] (1)根據(jù)頻率分布表，可知年齡在[10,20)歲的人數(shù)為＝180. 根據(jù)頻率分布直方圖可得＝0.015×10，得n＝1200， ∴a＝＝，＝1200×0.02×10，b＝. ∴n＝1200，a＝，b＝. (2)依題意：孩子正確回答廣告一、廣告二的內(nèi)容的概率分別是P1＝，P2＝. 大人正確回答廣告一、廣告二的內(nèi)容的概率分別為P3＝，P4＝. 設(shè)隨機變量X表示該家庭獲得的資金數(shù)，則X的可能取值是：0,20,30,40,50,60,70,80,100. 其分布列為 X 0 20 30 40 50 60 70 80 100 P ∴E(X)＝0×＋20×＋30×＋40×＋50×＋60×＋70×＋80×＋100×＝45. 7