函數(shù)概念 ,復(fù)合函數(shù),分段函數(shù)

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1、 函數(shù)及其表示 ◆教學(xué)目標(biāo)： 了解對應(yīng)和映射概念、理解函數(shù)的近代定義、函數(shù)三要素，以及對函數(shù)抽象符號的理解。 ◆重 難 點(diǎn)： 重 點(diǎn)：映射的概念，函數(shù)的近代概念、函數(shù)的三要素及函數(shù)符號的理解。 重 點(diǎn)：映射的概念，函數(shù)近代概念，及函數(shù)符號的理解。 教學(xué)步驟及內(nèi)容 一．知識歸納： 1．映射 （1）映射：設(shè)A、B是兩個集合，如果按照某種映射法則f，對于集合A中的任一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，則這樣的對應(yīng)（包括集合A、B以及A到B的對應(yīng)法則f）叫做集合A到集合B的映射，記作f：A→B。 （2）象與原象：如果給定一個從集合A到集合B的映射，那么集合A中的元素a對應(yīng)

2、的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象。 注意：（1）對映射定義的理解。（2）判斷一個對應(yīng)是映射的方法。 2．函數(shù) （1）函數(shù)的定義 ①原始定義：設(shè)在某變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么就稱y是x的函數(shù)，x叫作自變量。 ②近代定義：設(shè)A、B都是非空的數(shù)的集合，f：x→y是從A到B的一個對應(yīng)法則，那么從A到B的映射f：A→B就叫做函數(shù)，記作y=f(x)，其中x∈A,y∈B，原象集合A叫做函數(shù)的定義域，象集合C叫做函數(shù)的值域。 注意：①CB; ②A,B,C均非空 （2）構(gòu)成函數(shù)概念的三要素： ①定義域 ②對應(yīng)法則

3、 ③值域 3．函數(shù)的表示方法： ①解析法 ②列表法 ③圖象法 注意：強(qiáng)調(diào)分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的表示形式。 二．例題講解： 典型例題一：函數(shù)定義 例1 已知函數(shù)f(x)=3x＋5x－2,求f(3)、f(-)、f(a)、f(a+1) 例2 函數(shù)y＝與y＝3x是不是同一個函數(shù)？為什么？ 【方法、技巧】同一函數(shù)的判斷： 一般地，考查、判斷幾個函數(shù)是否相同，離不開函數(shù)的三要素，但是值域由定義域和對應(yīng)法則所確定的，因此在實(shí)際的解題過程中，往往只要判斷函數(shù)的定義域、對應(yīng)法則兩個方面即可。 兩個函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)定義域與對應(yīng)法則分別相等時，才是同一個函數(shù)，這說明： (1)定義

4、域不同，兩個函數(shù)也就不同； (2)對應(yīng)關(guān)系不同，兩個函數(shù)也是不同； (3)即使是定義域和值域都分別相同的兩個函數(shù)，它們也不一定是同一個函數(shù)。因?yàn)楹瘮?shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系。例如，y=2x+1與y=x+1 例3 判斷下列函數(shù)f（x）與g（x）是否表示同一個函數(shù)，說明理由？ A. f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 B. f ( x ) = x； g ( x ) = C．f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 D. f ( x ) = | x

5、| ；g ( x ) = 典型例題二：由解析式求函數(shù)定義域 例4 求下列函數(shù)的定義域（用區(qū)間表示） f(x)=； f(x)=； f(x)=－ 例5 f(x)＝； f(x)＝＋ 例6 ； 典型例題三：映射與函數(shù) 例7 判斷下列兩個對應(yīng)是否是集合A到集合B的映射？是不是函數(shù)？ 例8 已知函數(shù) (1)求x=2，5，8時的象f(2)，f(5)，f(8)； (2) 求f(x)=35，47時的原象。 例9 已知映射 (1)求x=-

6、3，-2，0，2，3時的象； (2)求f(x)=10，5，1時的原象。 例10 已知，按照對應(yīng)法則f，不能成為從A到B的映射的是：（ ） A. B. C. D. 三．難點(diǎn)點(diǎn)撥：（復(fù)合函數(shù)與分段函數(shù)） 復(fù)合函數(shù)定義：設(shè)y=f(u)的定義域?yàn)锳，u=g(x)的值域?yàn)锽，若A B，則y關(guān)于x函數(shù)的y=f［g(x)］叫做函數(shù)f與g的復(fù)合函數(shù)，u叫中間量. 復(fù)合函數(shù)定義域問題：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，即，所以的作用范圍為D，又f對作用，作用范圍不變，所以，解得，E為的定義域。 1. 復(fù)合函數(shù)定義域

7、： 2. 復(fù)合函數(shù)解析式： (1) 代入法。已知，求 (2)待定系數(shù)法。例如，已知是一次函數(shù)，且，求 *(3)拼湊法。例，已知 *(4)換元法。例如，已知 *(5)方程組法。已知滿足，求的解析式。 練習(xí)： 1. 已知，則=___________；=______________； 2. 已知；，求的解析式； 答案: 3. 已知是一次函數(shù)，且有，求此一次函數(shù)

8、的解析式； 4. 已知的最小值； 5. 已知，求的表達(dá)式； 答案： 6. 已知 答案： 3. 分段函數(shù)： 1、分段函數(shù)的定義 在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)法則，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)； 2、分段函數(shù)定義域，值域； 分段函數(shù)定義域各段定義域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”) 3、分段函數(shù)圖象 畫分段函數(shù)的圖象，應(yīng)在各自定義域之下畫出定義域所對應(yīng)的解析式的圖象； 例1、已知函數(shù)y=|x－1|+|x+2| (1)作出函數(shù)的圖象。 (

9、2)寫出函數(shù)的定義域和值域。 例2、某同學(xué)從甲地以每小時6千米的速度步行2小時到達(dá)乙地，在乙地耽擱1小時后，又以每小時4千米的速度步行返回甲地。寫出該同學(xué)在上述過程中，離甲地的距離S(千米)和時間t(小時)的函數(shù)關(guān)系式，并作出函數(shù)圖象。 例3、已知函數(shù)f(x)=2x2－2ax+3在區(qū)間[－1，1]上有最小值，記作g(a). (1)求g(a)的函數(shù)表達(dá)式 (2)求g(a)的最大值。 練習(xí)： 1、設(shè)函數(shù)則____,若，則____. (答案：18；或4) 2、已知函數(shù) ，求的值. (答案：1；1；

10、1) 3、畫出函數(shù)圖象： 4、若，則當(dāng)時， 5、，使等式成立的值的范圍是_________. 6、已知函數(shù)，則_______. (答案：22) *7、已知函數(shù) (1)求函數(shù)定義域； (2)化簡解析式用分段函數(shù)表示； (3)作出函數(shù)圖象 1．設(shè)f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，則g(x)等于(　　) A．2x＋1 B．2x－1 C．2x－3 D．2x＋7 2．如果二次函數(shù)的

11、圖象開口向上且關(guān)于直線x＝1對稱，且過點(diǎn)(0,0)，則此二次函數(shù)的解析式為(　　) A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝－(x－1)2＋1 C．f(x)＝(x－1)2＋1 D．f(x)＝(x－1)2－1 3．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示， 則此函數(shù)的定義域是________， 值域是________． 4．求下列函數(shù)的解析式： (1)已知f(x)＝x2＋2x，求f(2x＋1)； (2)已知f(－1)＝x＋2，求f(x)． 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．如下圖所示的圖形中，不可能是函數(shù)y＝

12、f(x)的圖象的是(　　) 2．已知函數(shù)f(x－1)＝x2－3，則f(2)的值為(　　) A．－2 B．6 C．1 D．0 3．函數(shù)y＝x2－2x的定義域?yàn)閧0,1,2,3}，那么其值域?yàn)?　　) A．{－1,0,3}　　　B．{0,1,2,3} C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3} 4．已知f(x)是一次函數(shù)，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，則f(x)＝(　　) A．3x＋2 B．3x－2 C．2x＋3 D．2x－3 二、填空題(每小題5

13、分，共10分) 5．函數(shù)f(x)＝x2－4x＋2，x∈[－4,4]的最小值是________，最大值是________． 6．已知f(x)與g(x)分別由下表給出 x 1 2 3 4 f(x) 4 3 2 1 x 1 2 3 4 g(x) 3 1 4 2 那么f(g(3))＝________. 三、解答題(每小題10分，共20分) 7．已知函數(shù)f(x)的圖象是兩條線段(如圖，不含端點(diǎn))，求f. 8．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋a，f(bx)＝9x2－6x＋2，其中x∈R，a，b為常數(shù)， 求方

14、程f(ax＋b)＝0的解集． 9．(10分)某市出租車的計價標(biāo)準(zhǔn)是：4 km以內(nèi)10元，超過4 km且不超過18 km的部分1.2元/km，超過18 km的部分1.8元/km. (1)如果不計等待時間的費(fèi)用，建立車費(fèi)與行車?yán)锍痰暮瘮?shù)關(guān)系式； (2)如果某人乘車行駛了20 km，他要付多少車費(fèi)？ 答案： 1、【答案】B； 【解析】　由題意知g(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，∴g(x)＝2x－1.故選B. 2、【答案】D； 【解析】設(shè)f(x)＝(x－1)2＋c，由于點(diǎn)(0,0)在圖象上， ∴f(0)＝(

15、0－1)2＋c＝0，∴c＝－1，∴f(x)＝(x－1)2－1.故選D. 3、【答案】[－3,3]，[－2,2]； 【解析】結(jié)合圖象知，f(x)的定義域?yàn)閇－3,3]，值域?yàn)閇－2,2]． 4、【解析】(1)f(2x＋1)＝(2x＋1)2＋2(2x＋1)＝4x2＋8x＋3. (2)方法一(拼湊法)： f(－1)＝(－1)2＋4(－1)＋3，而－1≥－1. 故所求的函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)． 方法二(換元法)： 令t＝－1，則t≥－1，且＝t＋1， ∴f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3. 故所求的函數(shù)為f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)．

16、 一、選擇題 1、【答案】C； 【解析】結(jié)合函數(shù)的定義知，對A、B、D，定義域中每一個x都有唯一函數(shù)值與之對應(yīng)，而對C，對大于0的x而言，有兩個不同值與之對應(yīng)，不符合函數(shù)定義，故選C. 2、【答案】B； 【解析】方法一：令x－1＝t，則x＝t＋1，∴f(t)＝(t＋1)2－3，∴f(2)＝(2＋1)2－3＝6. 方法二：f(x－1)＝(x－1)2＋2(x－1)－2， ∴f(x)＝x2＋2x－2，∴f(2)＝22＋2×2－2＝6. 方法三：令x－1＝2，∴x＝3，∴f(2)＝32－3＝6.故選B. 3、【答案】A； 【解析】當(dāng)x＝0時，y＝0；

17、 當(dāng)x＝1時，y＝12－2×1＝－1； 當(dāng)x＝2時，y＝22－2×2＝0； 當(dāng)x＝3時，y＝32－2×3＝3. 4、【答案】B； 【解析】設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)， ∵2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1， ∴，∴， ∴f(x)＝3x－2.故選B. 二、填空題 5、【答案】　-2，34 【解析】　f(x)＝(x－2)2－2，作出其在[－4,4]上的圖象知 f(x)min=f(2)=-2；f(x)max=f(-4)=34. 6、【答案】　1 【解析】　由表知g(3)＝4，f(g(3))＝f(4)＝1. 7、【解析】　由圖象知 f(x

18、)＝，∴f＝－1＝－，∴f＝f＝－＋1＝ 8、【答案】　?； 【解析】　∵f(x)＝x2＋2x＋a， ∴f(bx)＝(bx)2＋2(bx)＋a＝b2x2＋2bx＋a. 又∵f(bx)＝9x2－6x＋2， ∴b2x2＋2bx＋a＝9x2－6x＋2，即(b2－9)x2＋2(b＋3)x＋a－2＝0. ∵x∈R，∴，即， ∴f(ax＋b)＝f(2x－3)＝(2x－3)2＋2(2x－3)＋2＝4x2－8x＋5＝0. ∵Δ＝(－8)2－4×4×5＝－16＜0， ∴f(ax＋b)＝0的解集是?. 9、【解析】　(1)設(shè)車費(fèi)為y元，行車?yán)锍虨閤 km，則根據(jù)題意得 y＝ (2)當(dāng)x＝20時，y＝1.8×20－5.6＝30.4， 即當(dāng)乘車20 km時，要付30.4 元車費(fèi)． 4