概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題 三解析【哈工大版】

習(xí) 題 三 1．?dāng)S一枚非均質(zhì)的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為，若以表示直至擲到正、反面都出現(xiàn)時(shí)為止所需投擲次數(shù)，求的分布列。 解 表示事件：前次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)反面，或前次出現(xiàn)反面，第次出現(xiàn)正面，所以 2．袋中有個(gè)黑球個(gè)白球，從袋中任意取出個(gè)球，求個(gè)球中黑球個(gè)數(shù)的分布列。 解 從個(gè)球中任取個(gè)球共有種取法，個(gè)球中有個(gè)黑球的取法有，所以的分布列為 ，， 此乃因?yàn)椋绻?，則個(gè)球中可以全是白球，沒(méi)有黑球，即；如果則個(gè)球中至少有個(gè)黑球，此時(shí)應(yīng)從開(kāi)始。 3．一實(shí)習(xí)生用一臺(tái)機(jī)器接連生產(chǎn)了三個(gè)同種零件，第個(gè)零件是不合格品的概率，以表示三個(gè)零件中合格品的個(gè)數(shù)，求的分布列。 解 設(shè)‘第個(gè)零件是合格品’。則 ， ， ， . 即的分布列為 . 4．一汽車(chē)沿一街道行駛，需通過(guò)三個(gè)設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且每一信號(hào)燈紅綠兩種信號(hào)顯示的概率均為，以表示該汽車(chē)首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù)，求的概率分布。 解 (第一個(gè)路口即為紅燈), (第一個(gè)路口為綠燈，第二個(gè)路口為紅燈)， 依此類(lèi)推，得的分布列為 . 5．將一枚硬幣連擲次，以表示這次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，求的分布列。 解 為重貝努里試驗(yàn)中成功出現(xiàn)的次數(shù)，故，的分布列為 6．一電話交換臺(tái)每分鐘接到的呼叫次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求（1）每分鐘恰有8次呼叫的概率；（2）每分鐘的呼叫次數(shù)大于10的概率。 解 設(shè)為每分鐘接到的呼叫次數(shù)，則 （1） （2） 7．某商店每月銷(xiāo)售某種商品的數(shù)量服從參數(shù)為5的泊松分布，問(wèn)在月初至少庫(kù)存多少此種商品，才能保證當(dāng)月不脫銷(xiāo)的概率為0.99977以上。 解 設(shè)為該商品的銷(xiāo)售量，為庫(kù)存量，由題意 即 查泊松分布表知，故月初要庫(kù)存14件以上，才能保證當(dāng)月不脫銷(xiāo)的概率在0.99977以上。 8．已知離散型隨機(jī)變量的分布列為：，，試寫(xiě)出的分布函數(shù)。 解 的分布列為 所以的分布函數(shù)為 9．設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 求：（1）常數(shù)；（2）使成立的. 解 （1），； （2）， 可見(jiàn) ， 。 10．設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 ，， 求：（1）系數(shù)與；（2）；（3）的概率密度。 解 （1）由分布函數(shù)的性質(zhì) 于是 ，，所以的分布函數(shù)為 ， （2）； （3）的概率密度為 ， . 11．已知隨機(jī)變量的概率密度為 ，. 求的分布函數(shù). 解 12．設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 求的分布函數(shù). 解 的圖形為 的分布函數(shù)為 0 1 2 x (1，1) f(x) 13 13．設(shè)電子管壽命的概率密度為 若一架收音機(jī)上裝有三個(gè)這種管子，求（1）使用的最初150小時(shí)內(nèi)，至少有兩個(gè)電了管被燒壞的概率；（2）在使用的最初150小時(shí)內(nèi)燒壞的電子管數(shù)的分布列；（3）的分布函數(shù)。 解 為在使用的最初150小時(shí)內(nèi)燒壞的電子管數(shù)，，其中 ， （1）所求概率為 ； （2）的分布列為， 即 . （3）的分布函數(shù)為 14．設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 現(xiàn)對(duì)進(jìn)行次獨(dú)立重復(fù)觀測(cè)，以表示觀測(cè)值不大于0.1的觀測(cè)次數(shù)，試求隨機(jī)變量的概率分布。 解 ，其中 ， 所以的概率分布列為 . 15．設(shè)隨機(jī)變量，求方程有實(shí)根的概率. 解 設(shè)‘方程有實(shí)根’，則 發(fā)生 即 ，因，所以 發(fā)生 所以 . 16．設(shè)隨機(jī)變量，現(xiàn)對(duì)進(jìn)行3次獨(dú)立觀測(cè)，試求至少有兩次觀測(cè)值大于3的概率. 解 設(shè)為三次觀測(cè)中，觀測(cè)值大于3的觀測(cè)次數(shù)，則，其中 ， 所求概率為 . 17．設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間（單位：分），服從參數(shù)為的指數(shù)分布。若等待時(shí)間超過(guò)10分鐘，則他就離開(kāi)。設(shè)他一個(gè)月內(nèi)要來(lái)銀行5次，以表示一個(gè)月內(nèi)他沒(méi)有等到服務(wù)而離開(kāi)窗口的次數(shù)，求的分布列及。 解 由題意，其中 ， 于是的分布為 . 18．一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布。（1）求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔的概率分布；（2）求在設(shè)備已經(jīng)無(wú)故障工作了8小時(shí)的情況下，再無(wú)故障運(yùn)行8小時(shí)的概率。 解 （1）設(shè)的分布函數(shù)為，則 事件表示兩次故障的間隔時(shí)間超過(guò)，也就是說(shuō)在時(shí)間內(nèi)沒(méi)有發(fā)生故障，故，于是 ， 可見(jiàn)，的分布函數(shù)為 即服從參數(shù)為的指數(shù)分布。 （2）所求概率為 . 19．設(shè)隨機(jī)變量。求 （1）；（2）常數(shù)，使； （3）常數(shù)，使。 解 （1） ； （2），查表知 ，所以； （3） 所以 ， 查正態(tài)分布表知 ， 故 。 20．設(shè)隨機(jī)變量，且，求。 解 ， 所以 ， 。 21．某地抽樣結(jié)果表明，考生的外語(yǔ)成績(jī)（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績(jī)（即參數(shù)之值）為72分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%，試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分至84分之間的概率。 解 所求概率為 22．假設(shè)測(cè)量的隨機(jī)誤差，試求在100次重復(fù)測(cè)量中，至少有三次測(cè)量誤差的絕對(duì)值大于19.6的概率，并利用泊松分布求出的近似值。 解 設(shè)為誤差的絕對(duì)值大于19.6的測(cè)量次數(shù)，則，其中 ， 所求概率為 利用泊松定理 . 23．在電源電壓不超過(guò)，在和超過(guò)三種情況下，某種電子元件，損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2，假設(shè)電源電壓服從正態(tài)分布，試求：（1）該電子元件損壞的概率；（2）該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在200240的概率。 解 設(shè)‘電子元件損壞’，‘電源電壓在第檔’，，則 （1） （2）. 24．假設(shè)隨機(jī)變量的絕對(duì)值不大于1；，在事件出現(xiàn)的條件下，在內(nèi)任意子區(qū)間上取值的概率與該子區(qū)間的長(zhǎng)度成正比。試求：（1）的分布函數(shù)；（2）取負(fù)值的概率. 解1 設(shè)的分布函數(shù)為，則 當(dāng) 時(shí)，，且， 當(dāng) 時(shí)，， ， 當(dāng) 時(shí)，由題意 ， 而 ， 所以 。于是 此時(shí) ， 故的分布函數(shù)為 （2）. 解2 設(shè)的分布函數(shù)為，則 當(dāng) 時(shí)， 且 當(dāng) 時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，設(shè)，且，由題意 ， 即 由此得 ， 兩邊同除以得 令取極限得 兩邊積分得 ， 由及得 解之得 故 ， 綜上所述，的分布函數(shù)為 （2） 25．已知離散型隨機(jī)變量的分布列為 求的分布列. 解 的分布列為 . 26．設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 求的概率密度 解1 當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)增，反函數(shù)為，于是的概率密度為 解2 設(shè)的分布函數(shù)為，則 27．設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 求隨機(jī)變量的概率密度 解1 函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)，反函數(shù)為，則 解2 設(shè)的分布函數(shù)為，則 ， 所以 。 28．設(shè)，求（1）的概率密度；（2）的概率密度。 解 的密度為 （1）在上單調(diào)增，反函數(shù)為，所以的密度為 （2）在上單調(diào)減，反函數(shù)為，所以的密度為 29．設(shè)，求的概率密度。 解1 函數(shù)在上單調(diào)減，反函數(shù)為， 在上單調(diào)增，反函數(shù)為， 所以的密度為 即 30．設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，試證在區(qū)間上服從均勻分布。 [證] 只須證明的分布函數(shù)為 31．設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 求的概率密度. 解1 函數(shù)在上單調(diào)增，反函數(shù)為 在上單調(diào)減，反函數(shù)為. 的概率密度為： 解2 設(shè)的分布函數(shù)為，則 所以 32．設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加，求的概率密度. 解 設(shè)的分布函數(shù)為，則 ， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故 于是的概率密度為 ·34·