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1、第7章緊致性
§7.1緊致空間
本節(jié)重點(diǎn)：
掌握緊致子集的定義及判斷一個子集是緊致子集的方法．（這些方法哪些是充要條件）；掌握緊致性是否是連續(xù)映射可保留的，是否是可遺傳的、有限可積的．
在§5.3中，我們用關(guān)于開覆蓋和子覆蓋的術(shù)語刻畫了一類拓?fù)淇臻g，即空
間.現(xiàn)在來仿照這種做法，即將空間定義中的“可數(shù)子覆蓋”換成“有限子覆
蓋”，以定義緊致空間.讀者在數(shù)學(xué)分析中早已見過的一定理斷言：實(shí)數(shù)空間
R的任何一個子集為有界閉集的充分必要條件是它的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋.（在§7.3中我們將要推廣這個定理.）因此我們現(xiàn)在作的事也應(yīng)當(dāng)在意料之中.
定義7.1.1設(shè)是一個拓?fù)淇臻g.如
2、果的每一個開覆蓋有一個有限子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻g是一個緊致空間.
明顯地，每一個緊致空間都是空間.但反之不然，例如包含著無限但可數(shù)個
點(diǎn)的離散空間是一個空間，但它不是一個緊致空間.
例7.1.1實(shí)數(shù)空間R不是一個緊致空間.這是因?yàn)槿绻覀冊O(shè)
=（-n）UR|buZ+},貝I」的任何一個有限子族
},由于它的并為
a，x，}x，{，…?}
所以不是R的一個子覆蓋.因此R的開覆蓋沒有任何一個有限子覆蓋.
定義7.1.設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，是中的一個子集，如果作為的子空間是一個緊致空間，則稱是拓?fù)淇臻g的一個緊致子集.
根據(jù)定義，拓?fù)淇臻g中的一個子集是的緊致子集意味著每一個由子空間中的
3、開集構(gòu)成的的開覆蓋有一個有限子覆蓋，這并不明顯地意味著由中的開集構(gòu)成的每一個的覆蓋都有有限子覆蓋.所以陳述以下定理是必要的.
定理7.1.1設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，是中的一個子集.則是的一個緊致子集當(dāng)且僅當(dāng)每一個由中的開集構(gòu)成的的覆蓋都有有限子覆蓋.（此定理表明開覆蓋中的開子集可以是的，也可以是的）
證明必要性設(shè)Y是拓?fù)淇臻g中的一個緊致子集A是Y的一個覆蓋，它由中的開集構(gòu)成.則容易驗(yàn)證集族2=Mn/|yleA也是Y的一個覆蓋，它由Y中的開集構(gòu)成.因此A有一個有限子覆蓋，設(shè)為
于是A的有限子族心仏覆蓋丫.
充分性，假定每一個由的開集構(gòu)成的Y的覆蓋都有一個有限子覆蓋.設(shè)A是Y的一個覆蓋，它由Y中
4、的開集構(gòu)成.則對于每一個AUA存在中的一個開集卩蟲使得GY.因
中的開集構(gòu)成的Y的一個覆蓋，所以有一個有限子覆蓋，設(shè)為
此時易見A的子族凡川"4｝覆蓋y.這證明丫是的一個緊致子集.
下面介紹關(guān)于緊致性的一個等價說法.
定義設(shè)A是一個集族.如果A的每一個有限子族都有非空的交（即如果A是A
n..a0的一個有限子族，則斗），則稱A是一個具有有限交性質(zhì)的集族.
定理設(shè)是一個拓?fù)淇臻g.則是一個緊致空間當(dāng)且僅當(dāng)中的每一個具
有有限交性質(zhì)的閉集族都有非空的交.
II_II證明二設(shè)是一個緊致空間.用反證法.設(shè)是中的一個具有有限交性質(zhì)的閉
集族.設(shè)/.如果
C"Ic
5、
則令A(yù)1e}由于
5八sen
所以A是
的一個開覆蓋.
于是A有一個有限子覆蓋，設(shè)為
.從而
這說明不具有有限交性質(zhì).矛盾.
“U”，設(shè)中的每一個具有有限交性質(zhì)的閉集族都有非空的交.為證明是一個緊致空間，設(shè)A是的一個開覆蓋.我們需要證明A有一個有限子覆蓋.如果A=0,則5"C=0,這蘊(yùn)涵矽以及A的每一個子族都是的覆蓋.以下假定AM25.此時=卻|AuA便是中的一個非空閉集族，并且門心—門小丄山一21衛(wèi)）
因此，它不具有有限交性質(zhì).也就是說，它有一個有限子族其交為空集.設(shè)的這個有限子族為川農(nóng)閔'二黑，則
是的一個有限子覆蓋.
如果是緊致
6、空間的一個基,那么由中的元素構(gòu)成的的一個覆蓋當(dāng)然是一個開覆蓋，因此有有限子覆蓋.下述定理指出，為驗(yàn)證拓?fù)淇臻g的緊致性，只要驗(yàn)證由它的某一個基中的元素組成的覆蓋有有限子覆蓋.
定理1設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個基，并且的由中的元素構(gòu)成的每一個覆蓋有一個有限子覆蓋.則是一個緊致空間.
B*
證明A設(shè)是的一個開覆蓋.對于每一個AUA存在的一個子族狙使得
故凡是一個由的元素構(gòu)成的的一個覆蓋，所以有一個有限子覆蓋，設(shè)為
，對于每一個目，i=1,2,…,
于是對于A的有限于族
U川2U…LJ&二uu=X
也就是說有一個有限子覆蓋｛凡"A…九｝.這證明X
7、是一個緊致空間.
定理設(shè)X和Y是兩個拓?fù)淇臻g，f:X-Y是一個連續(xù)映射.如果是X的一
個緊致子集，則f（）是Y的一個緊致子集.
證明設(shè)C*是彳（）的一個覆蓋，它由Y中的開集組成.對于每一個CUC*,由于ff-1
是一個連續(xù)映射，』（C）是X中的一個開集
所以（C）|CUC*｝是的一個開覆蓋.由于是X的一個緊致子集，所以有
一個有限子族，設(shè)為｛｝，復(fù)蓋
-r1（G）、」廠su…=廣】?ugU-2S
ccc
即｛"'‘”｝是c*的一個子族并且覆蓋f（）.這證明彳（）是丫的一個緊致子集.
由上述定理可見，拓?fù)淇臻g的緊致性是連續(xù)映射所保持的性質(zhì)，因此是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，也是一個可商性質(zhì)
8、.
由此可見，由于實(shí)數(shù)空間不是緊致空間，而每一個開區(qū)間都是與它同胚的，所以每一個開區(qū)間（作為子空間）都不是緊致空間.
定理7.1.緊5致空間中的每一個閉子集都是緊致子集.
證明設(shè)Y是緊致空間X中的一個閉子集.如果是Y的一個覆蓋，它由X中的開集構(gòu)成.則月7*｝是x的一個開覆蓋.設(shè)是的一個有限子族并且覆蓋X.則｛'｝
便是的一個有限子族并且覆蓋Y.這證明Y是X的一個緊致子集.
定理7.1.每6一個拓?fù)淇臻g必定是某一個緊致空間的開子空間.
證明：設(shè)（X）是一個拓?fù)淇臻g.令R為任何一個不屬于X的元素.令
X*=XU{8
*U1U{X*}
其中爼{EX*X*是拓?fù)淇臻gX中的一個緊致閉集
9、}
首先驗(yàn)證*是集合X*的一個拓?fù)?略
其次.證明X**是一個緊致空間
設(shè)C*是X*的一個開覆蓋.則存在CUC*使得sue.于是CU爲(wèi)因此X*（是緊致的并且c*{C是它的一個開覆蓋.于是C*{C有一個有限子族設(shè)為C1覆蓋X*C易見C1U{C}是C*的一個有限子族并且覆蓋X*.
最后我們指出拓?fù)淇臻gX是拓?fù)淇臻gX**的一個開子空間?這是因?yàn)?**及X是X*的一個開集.
在以上定理的證明中由拓?fù)淇臻gX構(gòu)造出來的緊致空間X**通常稱為拓?fù)淇臻gX的一點(diǎn)緊化.
由于非緊致空間（它是存在的）是它的一點(diǎn)緊化的一個子空間，因此緊致性不是可遺傳的性質(zhì).但由定理7.1.可5知緊致性是閉遺傳的.
以下定理表明緊致性是可積性質(zhì).
云,兀，…瓦X---XZ
定理1設(shè)12”是三1個緊致空間.則積空間12”是一個
緊致空間.
證明略
作業(yè):
1881.
《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》第7章§7.1緊致空間
