《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》第7章§7.1緊致空間

第7章緊致性 §7.1緊致空間 本節(jié)重點(diǎn)： 掌握緊致子集的定義及判斷一個(gè)子集是緊致子集的方法．（這些方法哪些是充要條件）；掌握緊致性是否是連續(xù)映射可保留的，是否是可遺傳的、有限可積的． 在§5.3中，我們用關(guān)于開覆蓋和子覆蓋的術(shù)語刻畫了一類拓?fù)淇臻g，即空 間.現(xiàn)在來仿照這種做法，即將空間定義中的“可數(shù)子覆蓋”換成“有限子覆 蓋”，以定義緊致空間.讀者在數(shù)學(xué)分析中早已見過的一定理斷言：實(shí)數(shù)空間 R的任何一個(gè)子集為有界閉集的充分必要條件是它的每一個(gè)開覆蓋都有一個(gè)有限子覆蓋.（在§7.3中我們將要推廣這個(gè)定理.）因此我們現(xiàn)在作的事也應(yīng)當(dāng)在意料之中. 定義7.1.1設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g.如果的每一個(gè)開覆蓋有一個(gè)有限子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻g是一個(gè)緊致空間. 明顯地，每一個(gè)緊致空間都是空間.但反之不然，例如包含著無限但可數(shù)個(gè) 點(diǎn)的離散空間是一個(gè)空間，但它不是一個(gè)緊致空間. 例7.1.1實(shí)數(shù)空間R不是一個(gè)緊致空間.這是因?yàn)槿绻覀冊O(shè) =（-n）UR|buZ+},貝I」的任何一個(gè)有限子族 },由于它的并為 a，x，}x，{，…®} 所以不是R的一個(gè)子覆蓋.因此R的開覆蓋沒有任何一個(gè)有限子覆蓋. 定義7.1.設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，是中的一個(gè)子集，如果作為的子空間是一個(gè)緊致空間，則稱是拓?fù)淇臻g的一個(gè)緊致子集. 根據(jù)定義，拓?fù)淇臻g中的一個(gè)子集是的緊致子集意味著每一個(gè)由子空間中的開集構(gòu)成的的開覆蓋有一個(gè)有限子覆蓋，這并不明顯地意味著由中的開集構(gòu)成的每一個(gè)的覆蓋都有有限子覆蓋.所以陳述以下定理是必要的. 定理7.1.1設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，是中的一個(gè)子集.則是的一個(gè)緊致子集當(dāng)且僅當(dāng)每一個(gè)由中的開集構(gòu)成的的覆蓋都有有限子覆蓋.（此定理表明開覆蓋中的開子集可以是的，也可以是的） 證明必要性設(shè)Y是拓?fù)淇臻g中的一個(gè)緊致子集A是Y的一個(gè)覆蓋，它由中的開集構(gòu)成.則容易驗(yàn)證集族2=Mn/|yleA也是Y的一個(gè)覆蓋，它由Y中的開集構(gòu)成.因此A有一個(gè)有限子覆蓋，設(shè)為 于是A的有限子族心仏覆蓋丫. 充分性，假定每一個(gè)由的開集構(gòu)成的Y的覆蓋都有一個(gè)有限子覆蓋.設(shè)A是Y的一個(gè)覆蓋，它由Y中的開集構(gòu)成.則對(duì)于每一個(gè)AUA存在中的一個(gè)開集卩蟲使得GY.因 中的開集構(gòu)成的Y的一個(gè)覆蓋，所以有一個(gè)有限子覆蓋，設(shè)為 此時(shí)易見A的子族凡川"4｝覆蓋y.這證明丫是的一個(gè)緊致子集. 下面介紹關(guān)于緊致性的一個(gè)等價(jià)說法. 定義設(shè)A是一個(gè)集族.如果A的每一個(gè)有限子族都有非空的交（即如果A是A n..a0的一個(gè)有限子族，則斗），則稱A是一個(gè)具有有限交性質(zhì)的集族. 定理設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g.則是一個(gè)緊致空間當(dāng)且僅當(dāng)中的每一個(gè)具 有有限交性質(zhì)的閉集族都有非空的交. II_II證明二設(shè)是一個(gè)緊致空間.用反證法.設(shè)是中的一個(gè)具有有限交性質(zhì)的閉 集族.設(shè)/.如果 C"Ic 則令A(yù)1e}由于 5八sen 所以A是 的一個(gè)開覆蓋. 于是A有一個(gè)有限子覆蓋，設(shè)為 .從而 這說明不具有有限交性質(zhì).矛盾. “U”，設(shè)中的每一個(gè)具有有限交性質(zhì)的閉集族都有非空的交.為證明是一個(gè)緊致空間，設(shè)A是的一個(gè)開覆蓋.我們需要證明A有一個(gè)有限子覆蓋.如果A=0,則5"C=0,這蘊(yùn)涵矽以及A的每一個(gè)子族都是的覆蓋.以下假定AM25.此時(shí)=卻|AuA便是中的一個(gè)非空閉集族，并且門心—門小丄山一21衛(wèi)） 因此，它不具有有限交性質(zhì).也就是說，它有一個(gè)有限子族其交為空集.設(shè)的這個(gè)有限子族為川農(nóng)閔'二黑，則 是的一個(gè)有限子覆蓋. 如果是緊致空間的一個(gè)基,那么由中的元素構(gòu)成的的一個(gè)覆蓋當(dāng)然是一個(gè)開覆蓋，因此有有限子覆蓋.下述定理指出，為驗(yàn)證拓?fù)淇臻g的緊致性，只要驗(yàn)證由它的某一個(gè)基中的元素組成的覆蓋有有限子覆蓋. 定理1設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個(gè)基，并且的由中的元素構(gòu)成的每一個(gè)覆蓋有一個(gè)有限子覆蓋.則是一個(gè)緊致空間. B* 證明A設(shè)是的一個(gè)開覆蓋.對(duì)于每一個(gè)AUA存在的一個(gè)子族狙使得 故凡是一個(gè)由的元素構(gòu)成的的一個(gè)覆蓋，所以有一個(gè)有限子覆蓋，設(shè)為 ，對(duì)于每一個(gè)目，i=1,2,…, 于是對(duì)于A的有限于族 U川2U…LJ&二uu=X 也就是說有一個(gè)有限子覆蓋｛凡"A…九｝.這證明X是一個(gè)緊致空間. 定理設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X-Y是一個(gè)連續(xù)映射.如果是X的一 個(gè)緊致子集，則f（）是Y的一個(gè)緊致子集. 證明設(shè)C*是彳（）的一個(gè)覆蓋，它由Y中的開集組成.對(duì)于每一個(gè)CUC*,由于ff-1 是一個(gè)連續(xù)映射，』（C）是X中的一個(gè)開集 所以（C）|CUC*｝是的一個(gè)開覆蓋.由于是X的一個(gè)緊致子集，所以有 一個(gè)有限子族，設(shè)為｛｝，復(fù)蓋 -r1（G）、」廠su…=廣】©ugU-2S ccc 即｛"'‘”｝是c*的一個(gè)子族并且覆蓋f（）.這證明彳（）是丫的一個(gè)緊致子集. 由上述定理可見，拓?fù)淇臻g的緊致性是連續(xù)映射所保持的性質(zhì)，因此是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，也是一個(gè)可商性質(zhì). 由此可見，由于實(shí)數(shù)空間不是緊致空間，而每一個(gè)開區(qū)間都是與它同胚的，所以每一個(gè)開區(qū)間（作為子空間）都不是緊致空間. 定理7.1.緊5致空間中的每一個(gè)閉子集都是緊致子集. 證明設(shè)Y是緊致空間X中的一個(gè)閉子集.如果是Y的一個(gè)覆蓋，它由X中的開集構(gòu)成.則月7*｝是x的一個(gè)開覆蓋.設(shè)是的一個(gè)有限子族并且覆蓋X.則｛'｝ 便是的一個(gè)有限子族并且覆蓋Y.這證明Y是X的一個(gè)緊致子集. 定理7.1.每6一個(gè)拓?fù)淇臻g必定是某一個(gè)緊致空間的開子空間. 證明：設(shè)（X）是一個(gè)拓?fù)淇臻g.令R為任何一個(gè)不屬于X的元素.令 X*=XU{8 *U1U{X*} 其中爼{EX*X*是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)緊致閉集} 首先驗(yàn)證*是集合X*的一個(gè)拓?fù)?略 其次.證明X**是一個(gè)緊致空間 設(shè)C*是X*的一個(gè)開覆蓋.則存在CUC*使得sue.于是CU爲(wèi)因此X*（是緊致的并且c*{C是它的一個(gè)開覆蓋.于是C*{C有一個(gè)有限子族設(shè)為C1覆蓋X*C易見C1U{C}是C*的一個(gè)有限子族并且覆蓋X*. 最后我們指出拓?fù)淇臻gX是拓?fù)淇臻gX**的一個(gè)開子空間?這是因?yàn)?**及X是X*的一個(gè)開集. 在以上定理的證明中由拓?fù)淇臻gX構(gòu)造出來的緊致空間X**通常稱為拓?fù)淇臻gX的一點(diǎn)緊化. 由于非緊致空間（它是存在的）是它的一點(diǎn)緊化的一個(gè)子空間，因此緊致性不是可遺傳的性質(zhì).但由定理7.1.可5知緊致性是閉遺傳的. 以下定理表明緊致性是可積性質(zhì). 云,兀，…瓦X---XZ 定理1設(shè)12”是三1個(gè)緊致空間.則積空間12”是一個(gè) 緊致空間. 證明略 作業(yè): 1881.