二次函數(shù)圖像和性質(zhì) (2)

二次函數(shù)的圖像和性質(zhì) 一. 本周教學(xué)內(nèi)容：二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)  二、本周學(xué)習(xí)目標(biāo) 掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，能夠確定二次函數(shù)的表達(dá)式，并能夠?qū)D像進(jìn)行分析   1. 與之間關(guān)系，（）   2. 頂點(diǎn)坐標(biāo)                                   對(duì)稱軸                               （0，0）                                   y軸                         （0，k）                                   y軸                       （h，0）                                   直線x＝h                （h，k）                                   直線x＝h。   3. 二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)（，），對(duì)稱軸是直線。   4. 二次函數(shù)圖象的畫(huà)法。        （1）通過(guò)配方法，將一般式化為形式；        （2）確定拋物線的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)；        （3）在對(duì)稱軸兩側(cè)，以頂點(diǎn)為中心，左右兩側(cè)對(duì)稱描點(diǎn)。   5. 求二次函數(shù)解析式。        （1）一般式：        （2）頂點(diǎn)式：        （3）交點(diǎn)式：，其中（，0），（，0）分別為拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)。        （4）對(duì)稱點(diǎn)式：，其中（），（）為拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)。 6. 拋物線中，的作用 （1）決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與中的完全一樣. （2）和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱軸是直線 ，故：①時(shí)，對(duì)稱軸為軸；②（即、同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè)；③（即、異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè). （3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置. 當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）： ①，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn); ②，與軸交于正半軸；③，與軸交于負(fù)半軸. 以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，則 .   三、考點(diǎn)分析 二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、確定二次函數(shù)的表達(dá)式、確定二次函數(shù)圖像特征，這三點(diǎn)在中考考點(diǎn)中均是要求學(xué)生能夠熟練掌握的內(nèi)容。   【典型例題】 例1. 已知拋物線。        （1）求拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；        （2）求拋物線與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；        （3）畫(huà)出函數(shù)圖象（草圖）；        （4）根據(jù)圖象說(shuō)出：x為何值時(shí)，y隨x增大而增大？x為何值時(shí)y隨x增大而減??？函數(shù)y有最大值還是最小值？最值是多少？        分析：通過(guò)配方或利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，再利用五點(diǎn)作圖，并根據(jù)圖象回答增減性及最值。        解：（1）配方：得        ∵        ∴拋物線開(kāi)口向下        對(duì)稱軸：          頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，2）        （2）令即， 得，。 ∴它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），（，0） 再令即 ∴它與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，） （3）∵頂點(diǎn)A（，2），對(duì)稱軸，與x軸交點(diǎn)為B（，0），C（，0） 與y軸交點(diǎn)D（0，）。D關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)E（，），將E、B、A、C、D這5點(diǎn)連接成光滑曲線，即得拋物線圖象。 （4）從圖象可知，當(dāng)時(shí)，隨x增大而增大。 當(dāng)時(shí)，隨x增大而減小。 ∵拋物線開(kāi)口向下，∴頂點(diǎn)A為最高點(diǎn)，函數(shù)有最大值即當(dāng)時(shí)，＝2。 點(diǎn)撥：（1）五點(diǎn)作圖法是畫(huà)二次函數(shù)圖象的簡(jiǎn)易作圖法，這五點(diǎn)是拋物線的五個(gè)特征點(diǎn)：即頂點(diǎn)，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)及該交點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)。 （2）有時(shí)候函數(shù)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則選取作圖點(diǎn)的時(shí)候要考慮拋物線的對(duì)稱性，以對(duì)稱軸為中心對(duì)稱取點(diǎn)。   例2. 已知拋物線y＝ax+bx+c的頂點(diǎn)是A(－1，4)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，2)求其解析式。 分析：此類題型可設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，k)，故解析式為y＝a(x－m)+k.在本題中可設(shè)y＝a(x+1)+4，再將點(diǎn)(1，2)代入求得a＝－ ∴y＝－ 即y＝－ 由于題中只有一個(gè)待定的系數(shù)a，將已知點(diǎn)代入即可求出，進(jìn)而得到要求的解析式。   例3. 如圖所示，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)。 （1）觀察圖像，寫(xiě)出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出函數(shù)的解析式； （2）求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸。 分析：求函數(shù)解析式時(shí)，我們要注意考慮函數(shù)表達(dá)式的三種一般形式，并能夠根據(jù)題目條件來(lái)選取合適的表達(dá)式來(lái)求解。頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸則可以用相應(yīng)的公式來(lái)求解。 解：（1）A（，0），B（3，0），C（0，），將三點(diǎn)坐標(biāo)代入， 得      解得 ∴二次函數(shù)的解析式為。 （2）∵， ， ∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線。 點(diǎn)撥：當(dāng)給出拋物線y＝ax+bx+c上的三點(diǎn)時(shí)，可采取列方程組，求出a、b、c的值，即可求出函數(shù)的解析式。 對(duì)于本題來(lái)說(shuō)，我們還可以發(fā)現(xiàn)A、B兩點(diǎn)是圖像與x軸的交點(diǎn)，本題也可以采用交點(diǎn)式來(lái)求解，而且解法要比一般式要簡(jiǎn)單。   【模擬試題】（答題時(shí)間：30分鐘） 1. 二次函數(shù)y＝x2的圖象向右平移3個(gè)單位，得到新的圖象的函數(shù)表達(dá)式是（  ） A. y＝x2+3                   B. y＝x2－3                  C. y＝（x+3）2            D. y＝（x－3）2 2. 二次函數(shù)y＝－（x－1）2+3圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（  ） A. （－1，3）                    B. （1，3）                C. （－1，－3）                D. （1，－3） 3. 二次函數(shù)y＝x2+x－6的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（  ） A. 2和－3                   B. －2和3                  C. 2和3                      D. －2和－3 4. 二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①a>0；②c>0；③b2－4ac>0，其中正確的個(gè)數(shù)是（  ） A. 0個(gè)                         B. 1個(gè)                        C. 2個(gè)                         D. 3個(gè) 5. （2006年常德市）根據(jù)下列表格中二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的對(duì)應(yīng)值，判斷方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個(gè)解x的范圍是（  ）     x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c －0.03 －0.01 0.02 0.04 A. 6<x<6.17                                                    B. 6.17<x<6.18    C. 6.18<x<6.19                                                D. 6.19<x<6.20 6. （2006年南充市）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，b2＝ac，且x＝0時(shí)y＝－4則（  ） A. y最大＝－4                      B. y最?。剑?                C. y最大＝－3                D. y最小＝3 7. （2006年蘇州市）拋物線y＝2x2+4x+5的對(duì)稱軸是x＝______。 8. （2006年宿遷市）將拋物線y＝x2向左平移4個(gè)單位后，再向下平移2個(gè)單位，則此時(shí)拋物線的解析式是________。 9. （2006年錦州市）已知二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，且頂點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的二次函數(shù)的表達(dá)式________。 10. （2006年長(zhǎng)春市）函數(shù)y＝x2+bx－c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2），則b－c的值為_(kāi)_____。 11. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+c（a≠0）的圖象過(guò)正方形ABOC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，則ac的值是________。 12. 觀察下面的表格：     x 0 1 2    ax2   2   ax2+bx+c 4   6 （1）求a，b，c的值，并在表格內(nèi)的空格中填上正確的數(shù)； （2）求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸。 13. （2006年南通市）已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，當(dāng)x≥0時(shí)，其圖象如圖所示。 （1）求拋物線的解析式，寫(xiě)出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)； （2）畫(huà)出拋物線y＝ax2+bx+c當(dāng)x<0時(shí)的圖象； （3）利用拋物線y＝ax2+bx+c，寫(xiě)出x為何值時(shí)，y>0。 14. （2006年長(zhǎng)春市）如圖，P為拋物線y＝x2－x+上對(duì)稱軸右側(cè)的一點(diǎn)，且點(diǎn)P在x軸上方，過(guò)點(diǎn)P作PA垂直x軸于點(diǎn)A，PB垂直y軸于點(diǎn)B，得到矩形PAOB. 若AP＝1，求矩形PAOB的面積。 15. （2006年莆田市）枇杷是莆田名果之一。某果園有100棵枇杷樹(shù)，每棵平均產(chǎn)量為40千克。現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些枇杷樹(shù)以提高產(chǎn)量，但是如果多種樹(shù)，那么樹(shù)之間的距離和每一棵樹(shù)接受的陽(yáng)光就會(huì)減少。根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，每多種一棵樹(shù)，投產(chǎn)后果園中所有的枇杷樹(shù)平均每棵就會(huì)減少產(chǎn)量0.25千克。問(wèn)：增種多少棵枇杷樹(shù)，投產(chǎn)后可以使果園枇杷的總產(chǎn)量最多？最多總產(chǎn)量是多少千克？[注：拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（－，） 16. （2006年常州市）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝a（x－1）2+k的圖像與x軸相交于點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)D在這個(gè)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸上，若四邊形ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為2且有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形，求此二次函數(shù)的表達(dá)式。 【試題答案】 1. D           2. B        3. A        4. C        5. C        6. C 7. x＝－1 8. y＝（x+4）2－2（y＝x2+8x+14）  9. 答案不唯一，符合要求即可. 如：y＝x2－2  10. 1  11. －2  12. （1）a＝2，b＝－3，c＝4，0，8，3  （2）頂點(diǎn)（，）對(duì)稱軸是直線x＝ 13. （1）y＝－x2+x+2，頂點(diǎn)坐標(biāo)（，） （2）略，（3）當(dāng)－1<x<4時(shí)，y>0。 14. ∵PA⊥x軸，AP＝1，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1。當(dāng)y＝1時(shí)，x2－x+＝1， 即x2－2x－1＝0，解得x1＝1+，x2＝1－， ∵拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，點(diǎn)P在對(duì)稱軸的右側(cè)， ∴x＝1+，∴矩形PAOB的面積為（1+）個(gè)平方單位。 15. 設(shè)增種x棵時(shí)，果園的總產(chǎn)量為y千克， 根據(jù)題意得：y＝（100+x）（40－0.25x）＝4000－25x+40x－0.25x2＝－0.25x2+15x+4000， ∵a＝－0.25<0， ∴當(dāng)x＝－＝－＝30時(shí)，y最大， y最大值＝＝＝4225。 答：當(dāng)增種30棵枇杷樹(shù)時(shí)，投產(chǎn)后果園總產(chǎn)量最多，達(dá)4225千克. 16. 解：本題共四種情況，設(shè)二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)E， （1）如圖①， 當(dāng)∠CAD＝60°時(shí)，因?yàn)锳BCD為菱形，一邊長(zhǎng)為2， 所以DE＝1，BE＝，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1+，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，－1）， 解得k＝－1，a＝，所以y＝（x－1）2－1。 （2）如圖②，當(dāng)∠ACB＝60°時(shí)，由菱形性質(zhì)知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，0）， 點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，－），解得k＝－，a＝，所以y＝（x－1）2－， 同理可得：y＝－（x－1）2+1，y＝－（x－1）2+， 所以符合條件的二次函數(shù)的表達(dá)式有： y＝（x－1）2－1， y＝（x－1）2－， y＝－（x－1）2+1， y＝－（x－1）2+。