2020年中考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題 第20課 反比例函數(shù)

第 20 課 反比例函數(shù) 本節(jié)內(nèi)容考綱要求考查反比例函數(shù)圖象、性質(zhì)及幾何意義，反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用。廣 東省近 5 年試題規(guī)律：主要考查反比例函數(shù)的表達(dá)式、圖象、性質(zhì)及幾何意義，有時(shí)以選擇、 填空題出現(xiàn)，但多以一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題出現(xiàn)，可作壓軸題。 知識(shí)清單 一般地，形如 y＝ （k 為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中 x 是自變量， 知識(shí)點(diǎn)一 概念 反比例函數(shù)的概念 k x y 是 x 的函數(shù)．自變量的取值范圍是 x≠0． 知識(shí)點(diǎn)二 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì) 圖象 所在象限 性質(zhì) k＞0 一、三 在每個(gè)象限內(nèi)，y 隨 x 增大而減小. 反比例函數(shù) y＝ (k≠0)的圖象是雙曲線，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． k＜0 二、四 在每個(gè)象限內(nèi)，y 隨 x 增大而增大. k x ∵y＝  ，∴xy＝ k ，∴S＝ k . 在上圖中，易知  POM＝S△ PON＝ k ．所以過雙曲線上任意一點(diǎn)，向兩坐標(biāo)軸作 垂線，則以該點(diǎn)、一個(gè)垂足和原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為常數(shù) k . 知識(shí)點(diǎn)三 k 的幾 何意義 結(jié) 論 的 推 導(dǎo) 拓展 知識(shí)點(diǎn)四 方法 步驟 反比例函數(shù)中 k 的幾何意義 反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn) (x，y)具有兩數(shù)之積(xy＝k)為常數(shù)這一特點(diǎn)，則過雙曲線 上任意一點(diǎn)，向兩坐標(biāo)軸作垂線，兩條垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為常數(shù) k . 如圖，過雙曲線上任一點(diǎn) P 作 x 軸、y 軸的垂線 PM、PN， 所得的矩形 PMON 的面積 S＝PM· PN＝ y · x ＝ xy ． k x 1 2 1 2 確定反比例函數(shù)的解析式 待定系數(shù)法 (1)設(shè)函數(shù)解析式；(2)列方程；(3)確定 k 的值；(4)確定解析式. 1 知識(shí)點(diǎn)五 步驟 反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 (1)根據(jù)實(shí)際情況建立反比例函數(shù)模型； (2)利用待定系數(shù)或其他學(xué)科的公式等確定函數(shù)解析式； (3)根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問題. 課前小測(cè) 1．（反比例函數(shù)的概念）下列四個(gè)函數(shù)中，是反比例函數(shù)的是（ ） 2        B．y= x         C．y=3x﹣2 A．y= x 2 D．y=x2 2．（反比例函數(shù)的性質(zhì)）反比例函數(shù) y=﹣ 的圖象位于（    ） 5 x A．第一、三象限 C．第一、四象限 B．第二、四象限 D．第二、三象限 3．（求反比例函數(shù)的解析式）已知點(diǎn) A（﹣1，5）在反比例函數(shù) y= 的圖象上， k x 則該函數(shù)的解析式為（ ） x         B．y= x            C．y= A．y= 1 25 5 x D．y=5x 4． 反比例函數(shù)的幾何意義）反比例函數(shù) y=﹣   （x＜0）如圖所示，則矩形 OAPB （ 3 x 的面積是（ ） A．3 B．﹣3 C． 3 2 D．﹣ 3 2 5．（反比例函數(shù)的圖象）矩形的長(zhǎng)為 x，寬為 y，面積為 4，則 y 與 x 之間的函數(shù) 關(guān)系用圖象表示大致為（ ） A． B． C． D． 經(jīng)典回顧 考點(diǎn)一 反比例函數(shù)圖象與性質(zhì) 2 【例 1】（2018?衡陽）對(duì)于反比例函數(shù) y＝﹣ 2 x  ，下列說法不正確的是（    ） A．圖象分布在第二、四象限 B．當(dāng) x＞0 時(shí)，y 隨 x 的增大而增大 C．圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣2） D．若點(diǎn) A（x1，y1），B（x2，y2）都在圖象上，且 x1＜x2，則 y1＜y2 【點(diǎn)拔】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于反比例函數(shù) y＝ k （k≠0），（1） x k＞0，反比例函數(shù)圖象在一、三象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y 隨 x 的增大而減??； （2）k＜0，反比例函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi)，在每一個(gè)象限內(nèi)，y 隨 x 的 增大而增大． 考點(diǎn)二 反比例函數(shù)中 k 的幾何意義 【例 2】（2019?阜新）如圖，點(diǎn) A 在反比例函數(shù) y＝ 3 （x＞0）的圖象上，過點(diǎn) x A 作 AB⊥x 軸，垂足為點(diǎn) B，點(diǎn) C 在 y 軸上，則△ ABC 的面積為（ ） 2             D．1 A．3 B．2 C． 3 【點(diǎn)拔】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù) k 的幾何意義：在反比例函數(shù) y＝  k x 【例 3】 2019?廣東）如圖，一次函數(shù) y＝k1x+b 的圖象與反比例函數(shù) y＝  k 圖象中任取一點(diǎn)，過這一個(gè)點(diǎn)向 x 軸和 y 軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的 面積是定值|k|． 考點(diǎn)三 一次函數(shù)與反比例綜合 （ 2 的圖 x 象相交于 A、B 兩點(diǎn)，其中點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（﹣1，4），點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（4，n）． 2 的 x 的取值范圍； （1）根據(jù)圖象，直接寫出滿足 k1x+b＞ k x （2）求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式； （3）點(diǎn) P 在線段 AB 上，且  AOP： BOP＝1：2，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 3 【點(diǎn)拔】本題考查了反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，熟練運(yùn)用 圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圖象的解析式是本題的關(guān)鍵． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1．（2019?柳州）反比例函數(shù) y＝ A．第一、三象限 C．第一、二象限 2 x  的圖象位于（    ） B．第二、三象限 D．第二、四象限 2．（2019?赤峰）如圖，點(diǎn) P 是反比例函數(shù) y＝ （k≠0）的圖象上任意一點(diǎn)，過 k x 點(diǎn) P 作 PM⊥x 軸，垂足為 M POM 的面積等于 2，則 k 的值等于（ ） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 3．（2019?徐州）若 A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函數(shù) y＝ 2019 x 的圖象上，且 x1 線 y＝   2 （k2≠0）相交于 A，B 兩點(diǎn)，已知點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（1，2），則點(diǎn) B 的 ＜0＜x2，則（ ） A．y1＜y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＞y2 D．y1＝﹣y2 4．（2017?廣東）如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線 y＝k1x（k1≠0）與雙曲 k x 坐標(biāo)為（ ） 4 A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） 5．（2015?廣東）如圖，反比例函數(shù) y＝  k x C．（﹣1，﹣1）  D．（﹣2，﹣2） （k≠0，x＞0）的圖象與直線 y＝3x 相 交于點(diǎn) C，過直線上點(diǎn) A（1，3）作 AB⊥x 軸于點(diǎn) B，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn) D，且 AB＝3BD． （1）求 k 的值； （2）求點(diǎn) C 的坐標(biāo)； （3）在 y 軸上確定一點(diǎn) M，使點(diǎn) M 到 C、D 兩點(diǎn)距離之和 d＝MC+MD 最小， 求點(diǎn) M 的坐標(biāo)． 中考沖刺 夯實(shí)基礎(chǔ) 1．（2019?營(yíng)口）反比例函數(shù) y＝﹣ 4 x （x＞0）的圖象位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2019?上海）下列函數(shù)中，函數(shù)值 y 隨自變量 x 的值增大而增大的是（ ） A．y＝                          C．y＝ B．y＝﹣ x x 3 3 3 x D．y＝﹣ 3 x 3．（2019?哈爾濱）點(diǎn)（﹣1，4）在反比例函數(shù) y＝ k 的圖象上，則下列各點(diǎn)在 x 5 4           C．（﹣4，﹣1）  D．（ 此函數(shù)圖象上的是（ ） A．（4，﹣1） B．（﹣ 1 ，1）  1 4  ，2） 4． 2019?婁底）如圖，⊙O 的半徑為 2，雙曲線的解析式分別為 y＝  和 y＝    ， （ 1 1 x x 則陰影部分的面積是（ ） A．4π B．3π C．2π D．π 5．（2019?鎮(zhèn)江）已知點(diǎn) A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在反比例函數(shù) y＝﹣ 圖象上，則 y1 y2．（填“＞”或“＜”）  2 x  的 1 （x＞0）及 6．（2019?安順）如圖，直線 l⊥x 軸于點(diǎn) P，且與反比例函數(shù) y1＝ k x 2 （x＞0）的圖象分別交于 A、B 兩點(diǎn)，連接 OA、OB，已知△OAB 的面 y2＝ k x 積為 4，則 k1﹣k2＝ ． 函數(shù) y2＝  k  的圖象相交于 A，B 兩點(diǎn)，當(dāng) y1＞y2 時(shí)，x 的取值范圍是 1＜x＜4， 7．（2019?玉林）如圖，一次函數(shù) y1＝（k﹣5）x+b 的圖象在第一象限與反比例 x 則 k＝ ． 6 8．（2019?葫蘆島）如圖，一次函數(shù) y＝k1x+b 的圖象與 x 軸、y 軸分別交于 A，B 2 的圖象分別交于 C，D 兩點(diǎn)，點(diǎn) C（2，4）  點(diǎn) B ， 兩點(diǎn)，與反比例函數(shù) y＝ 是線段 AC 的中點(diǎn)． k x 2 的解析式； （1）求一次函數(shù) y＝k1x+b 與反比例函數(shù) y＝ k x （3）直接寫出當(dāng) x 取什么值時(shí)，k1x+b＜  k （2）求△COD 的面積； 2 ． x 能力提升 9．（2019?朝陽）若點(diǎn) A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函數(shù) y ＝﹣ 8 x 的圖象上，則 y1，y2，y3 的大小關(guān)系是（  ） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1 10．（2019?萊蕪區(qū)）如圖，直線 l 與 x 軸，y 軸分別交于 A，B 兩點(diǎn)，且與反比例 函數(shù) y＝ k x （x＞0）的圖象交于點(diǎn) C，若  AOB＝ BOC＝1，則 k＝（  ） OABC 的頂點(diǎn) A 在反比例函數(shù) y＝  1 上，頂點(diǎn) B 在反比例函數(shù) y＝  上，點(diǎn) C A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2019?雞西）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行四邊形 5 x x 在 x 軸的正半軸上，則平行四邊形 OABC 的面積是（ ） 7 2             B． 2              C．4       D．6 A． 3 5 D 為 AB 的中點(diǎn)，反比例函數(shù) y＝ （k＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn) D，且與 BC 交于點(diǎn) 12．（2019?隨州）如圖，矩形 OABC 的頂點(diǎn) A，C 分別在 y 軸、x 軸的正半軸上， k x E，連接 OD，OE，，若 ODE 的面積為 3，則 k 的值為 ． 13．（2019?黃岡）如圖，一直線經(jīng)過原點(diǎn) O，且與反比例函數(shù) y＝ k （k＞0）相 x 交于點(diǎn) A、點(diǎn) B，過點(diǎn) A 作 AC⊥y 軸，垂足為 C，連接 ．若 ABC 面積為 8， 則 k＝ ． 14．（2019?銅仁市）如圖，一次函數(shù) y＝kx+b（k，b 為常數(shù)，k≠0）的圖象與反 比例函數(shù) y＝﹣ 12 的圖象交于 A、B 兩點(diǎn)，且與 x 軸交于點(diǎn) C，與 y 軸交于點(diǎn) x D，A 點(diǎn)的橫坐標(biāo)與 B 點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是 3． （1）求一次函數(shù)的表達(dá)式； （2）求△AOB 的面積； （3）寫出不等式 kx+b＞﹣ 12 的解集． x 8 由圖象可得：k1x+b＞  k2 的 x 的取值范圍是 x＜﹣1 或 0＜x＜4； （2）∵ 反比例函數(shù) y＝ 2 的圖象過點(diǎn) A（﹣1，4），B（4，n） ∴ k ＝﹣1×4＝﹣4，k ＝4n ∵ 一次函數(shù) y＝k x+b 的圖象過點(diǎn) A，點(diǎn) B 第 20 課 反比例函數(shù) 課前小測(cè) 1．B． 2．B． 3．C． 4．A． 5．C． 經(jīng)典回顧 考點(diǎn)一 反比例函數(shù)圖象與性質(zhì) 【例 1】D． 考點(diǎn)二 反比例函數(shù)中 k 的幾何意義 【例 2】C． 考點(diǎn)三 一次函數(shù)與反比例綜合 【例 3】解：（1）∵ 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（﹣1，4），點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（4，n）． x k x 2 2 ∴ n＝﹣1 ∴ B（4，﹣1） 1 ∴ í   1 ìk + b = 4 î4k1 + b = -1  ， 9 ∵ ＝ ×3×1＝ ， 2 2 解得：k1＝﹣1，b＝3 ∴ 直線解析式 y＝﹣x+3，反比例函數(shù)的解析式為 y＝﹣ 4 ； x （3）設(shè)直線 AB 與 y 軸的交點(diǎn)為 C， ∴ C（0，3）， 1 3 AOC ＝ AOC+ BOC＝  1 2  ×3×1+ 2  ×3×4＝ 2  ， ： BOP＝1：2， AOP＝  15   1 2  × ＝ 2  ， ∴  COP＝ ﹣ 2  ＝1， 2  ×3?xP＝1， ∴  x ＝ 2 ， 3 ∴ AOB ∵ AOP 5 ∴ 3 5 3 2 ∴ 1 P ∵ 點(diǎn) P 在線段 AB 上， ∴ y＝﹣ 2 +3＝ 7 ， 3 3 ∴ P（ 2 ， 7 ）． 3 3 1 15 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1．A． 2．A． 3．A． 4．A． 5．解：（1）∵ A（1，3）， ∴ AB＝3，OB＝1， 10 解方程組 í 1  ，得： í 3  或 í     3  ， ∵ AB＝3BD， ∴ BD＝1， ∴ D（1，1） 將 D 坐標(biāo)代入反比例解析式得：k＝1； （2）由（1）知，k＝1， ∴ 反比例函數(shù)的解析式為；y＝ ， ì y = 3x ì 3 ì 3 ï ï x - ï x = - î î y =   3 î ï y = x ï ï y = - 3 ∵ x＞0， ∴ C（ 3 ， 3 ）； 3 （3）如圖，作 C 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn) C′，連接 C′D 交 y 軸于 M，則 d＝MC+MD 最小， ìïk = 3 - 2  3 ∴ í  3       ，解得： í        ， ïk + b = 1 ïb = -2 + 2  3 ∴ C′（﹣ 3 ， 3 ）， 3 設(shè)直線 C′D 的解析式為：y＝kx+b， ì 3 ï- k + b = 3 î ∴ y＝（3﹣2 3 ）x+2 3 ﹣2， 當(dāng) x＝0 時(shí)，y＝2 3 ﹣2， ∴ M（0，2 3 ﹣2）． 11 8．解：（1）∵點(diǎn) C（2，4）在反比例函數(shù) y＝   2 的圖象上， ∴y2＝  8 夯實(shí)基礎(chǔ) 1．D． 2．A． 3．A． 4．C． 5．＜． 6．8． 7．4． k x ∴k2＝2×4＝8， x ； 如圖，作 CE⊥x 軸于 E， ∵C（2，4），點(diǎn) B 是線段 AC 的中點(diǎn)， ∴B（0，2）， ∵B、C 在 y1＝k1x+b 的圖象上， ì2k + b = 4 ∴ í 1 îb = 2  ， ì x = 2   ì x = -4 （2）由 í 8    ，解得 í    或 í     ， x          î  y = 4 ïî  y = 解得 k1＝1，b＝2， ∴一次函數(shù)為 y1＝x+2； ì y = x + 2 ï î y = -2 12 ∴D（﹣4，﹣2），    COD＝    BOC+S △BOD＝  1 2  ×2×2+ ×2×4＝6； ∴ 1 2 （3）由圖可得，當(dāng) 0＜x＜2 或 x＜﹣4 時(shí)，k1x+b＜   2 ． x  ，解得：x＝﹣4， 3  ＝﹣4， k x 能力提升 9．D． 10．D． 11．C． 12．4． 13．8． 14．解：（1）∵A 點(diǎn)的橫坐標(biāo)與 B 點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是 3， ∴3＝﹣ 12 y＝﹣ 12 ∴B（﹣4，3），A（3，﹣4）， 把 A，B 點(diǎn)代入 y＝kx+b 得： î3k + b = -4  ，解得： íîb = -1 ì-4k + b = 3 ìk = -1 í  ， 則△AOB 的面積為：  1 2  ×1×3+ ×1×4＝ 2  ； 故直線解析式為：y＝﹣x﹣1； （2）y＝﹣x﹣1，當(dāng) y＝0 時(shí)，x＝﹣1， 故 C 點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣1，0）， 1 2  7 x  的解集為：x＜﹣4 或 0＜x＜3． （3）不等式 kx+b＞﹣ 12 13