全國各地2015年中考數(shù)學(xué)試卷解析分類匯編（第2期）專題39 開放性問題

開放性問題 二.填空題 1. （2015?江蘇鹽城，第13題3分）如圖，在△ABC與△ADC中，已知AD=AB，在不添加任何輔助線的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一個條件可以是　DC=BC或∠DAC=∠BAC?。? 考點： 全等三角形的判定． 專題： 開放型． 分析： 添加DC=BC，利用SSS即可得到兩三角形全等；添加∠DAC=∠BAC，利用SAS即可得到兩三角形全等． 解答： 解：添加條件為DC=BC， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）； 若添加條件為∠DAC=∠BAC， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SAS）． 故答案為：DC=BC或∠DAC=∠BAC 點評： 此題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵． 2.（2015?婁底，第13題3分）如圖，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，還需添加一個條件，你添加的條件是　∠ABD=∠CBD或AD=CD．?。ㄖ恍鑼懸粋€，不添加輔助線） 考點： 全等三角形的判定． 專題： 開放型． 分析： 由已知AB=BC，及公共邊BD=BD，可知要使△ABD≌△CBD，已經(jīng)具備了兩個S了，然后根據(jù)全等三角形的判定定理，應(yīng)該有兩種判定方法①SAS，②SSS．所以可添∠ABD=∠CBD或AD=CD． 解答： 解：答案不唯一． ①∠ABD=∠CBD． 在△ABD和△CBD中， ∵， ∴△ABD≌△CBD（SAS）； ②AD=CD． 在△ABD和△CBD中， ∵， ∴△ABD≌△CBD（SSS）． 故答案為：∠ABD=∠CBD或AD=CD． 點評： 本題主要考查了全等三角形的判定定理，能靈活運用判定進行證明是解此題的關(guān)鍵．熟記全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS． 三.解答題 1.（2015?昆明第23題，9分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側(cè)），與y軸交于點C，點A的坐標為（4，0），拋物線的對稱軸是直線x=． （1）求拋物線的解析式； （2）M為第一象限內(nèi)的拋物線上的一個點，過點M作MG⊥x軸于點G，交AC于點H，當(dāng)線段CM=CH時，求點M的坐標； （3）在（2）的條件下，將線段MG繞點G順時針旋轉(zhuǎn)一個角α（0°＜α＜90°），在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)線段MG與拋物線交于點N，在線段GA上是否存在點P，使得以P、N、G為頂點的三角形與△ABC相似？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由． 考點： 二次函數(shù)綜合題．. 專題： 綜合題． 分析： （1）首先利用對稱軸公式求出a的值，然后把點A的坐標與a的值代入拋物線的解析式，求出c的值，即可確定出拋物線的解析式． （2）首先根據(jù)拋物線的解析式確定出點C的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法，確定出直線AC解析式為y=﹣x+2；然后設(shè)點M的坐標為（m，﹣m2+m+2），H（m，﹣m+2），求出MH的值是多少，再根據(jù)CM=CH，OC=GE=2，可得MH=2EH，據(jù)此求出m的值是多少，再把m的值代入拋物線的解析式，求出y的值，即可確定點M的坐標． （3）首先判斷出△ABC為直角三角形，然后分兩種情況：①當(dāng)=時；②當(dāng)=時；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，判斷出是否存在點P，使得以P、N、G為頂點的三角形與△ABC相似即可． 解答： 解：（1）∵x=﹣=，b=， ∴a=﹣， 把A（4，0），a=﹣代入y=ax2+x+c， 可得（）×42+×4+c=0， 解得c=2， 則拋物線解析式為y=﹣x2+x+2． （2）如圖1，連接CM，過C點作CE⊥MH于點E， ， ∵y=﹣x2+x+2， ∴當(dāng)x=0時，y=2， ∴C點的坐標是（0，2）， 設(shè)直線AC解析式為y=kx+b（k≠0）， 把A（4，0）、C（0，2）代入y=kx+b， 可得， 解得：， ∴直線AC解析式為y=﹣x+2， ∵點M在拋物線上，點H在AC上，MG⊥x軸， ∴設(shè)點M的坐標為（m，﹣m2+m+2），H（m，﹣m+2）， ∴MH=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m， ∵CM=CH，OC=GE=2， ∴MH=2EH=2×[2﹣（﹣m+2）]=m， 又∵MH=﹣m2+2m， ∴﹣m2+2m=m， 即m（m﹣2）=0， 解得m=2或m=0（不符合題意，舍去）， ∴m=2， 當(dāng)m=2時， y=﹣×22+×2+2=3， ∴點M的坐標為（2，3）． （3）存在點P，使以P，N，G為頂點的三角形與△ABC相似，理由為： ∵拋物線與x軸交于A、B兩點，A（4，0），A、B兩點關(guān)于直線x=成軸對稱， ∴B（﹣1，0）， ∵AC==2，BC==，AB=5， ∴AC2+BC2=+=25，AB2=52=25， ∵AC2+BC2=AB2=25， ∴△ABC為直角三角形， ∴∠ACB=90°， 線段MG繞G點旋轉(zhuǎn)過程中，與拋物線交于點N，當(dāng)NP⊥x軸時，∠NPG=90°， 設(shè)P點坐標為（n，0）， 則N點坐標為（n，﹣n2+n+2）， ①如圖2， 當(dāng)=時， ∵∠N1P1G=∠ACB=90°， ∴△N1P1G∽△ACB， ∴=， 解得：n1=3，n2=﹣4（不符合題意，舍去）， 當(dāng)n1=3時， y=﹣×32+×3+2=2， ∴P的坐標為（3，2）． ②當(dāng)=時， ∵∠N2P2G=∠BCA=90°， ∴△N2P2G∽△BCA， ∴， 解得：n1=1，n2=1﹣（不符合題意，舍去）， 當(dāng)n1=1時， y=﹣×（1+）2+×（1）+2=， ∴P的坐標為（1，）． 又∵點P在線段GA上， ∴點P的縱坐標是0， ∴不存在點P，使得以P、N、G為頂點的三角形與△ABC相似． 點評： （1）此題主要考查了二次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力． （2）此題還考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，要熟練掌握． （3）此題還考查了相似三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，以及直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握． 2、（2015年浙江舟,19，6分）如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于點G. （1）觀察圖形，寫出圖中所有與∠AED相等的角； （2）選擇圖中與∠AED相等的任意一個角，并加以證明. 【答案】解：（1）與∠AED相等的角有. （2）選擇： 正方形ABCD中，， 又∵AF=DE，∴.∴. 【考點】開放型；正方形的性質(zhì)；平行的性質(zhì)；全等三角形的判定和性質(zhì). 【分析】（1）觀察圖形，可得 結(jié)果. （2）答案不唯一，若選擇，則由可得結(jié)論； 若選擇，則由正方形ABCD得到AB∥CD，從而得到結(jié)論；， 若選擇，則一方面，由可得，另一方面，由正方形ABCD得到AD∥BC，得到，進而可得結(jié)論