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1、開放性問題
二.填空題
1. （2015?江蘇鹽城，第13題3分）如圖，在△ABC與△ADC中，已知AD=AB，在不添加任何輔助線的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一個條件可以是 DC=BC或∠DAC=∠BAC?。?
考點： 全等三角形的判定．
專題： 開放型．
分析： 添加DC=BC，利用SSS即可得到兩三角形全等；添加∠DAC=∠BAC，利用SAS即可得到兩三角形全等．
解答： 解：添加條件為DC=BC，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
若添加條件為∠DAC=∠BAC，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△
2、ADC（SAS）．
故答案為：DC=BC或∠DAC=∠BAC
點評： 此題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解本題的關鍵．
2.（2015?婁底，第13題3分）如圖，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，還需添加一個條件，你添加的條件是 ∠ABD=∠CBD或AD=CD．?。ㄖ恍鑼懸粋€，不添加輔助線）
考點： 全等三角形的判定．
專題： 開放型．
分析： 由已知AB=BC，及公共邊BD=BD，可知要使△ABD≌△CBD，已經具備了兩個S了，然后根據全等三角形的判定定理，應該有兩種判定方法①SAS，②SSS．所以可添∠ABD=∠CBD或AD=CD．
3、
解答： 解：答案不唯一．
①∠ABD=∠CBD．
在△ABD和△CBD中，
∵，
∴△ABD≌△CBD（SAS）；
②AD=CD．
在△ABD和△CBD中，
∵，
∴△ABD≌△CBD（SSS）．
故答案為：∠ABD=∠CBD或AD=CD．
點評： 本題主要考查了全等三角形的判定定理，能靈活運用判定進行證明是解此題的關鍵．熟記全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS．
三.解答題
1.（2015?昆明第23題，9分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），與y軸交于點C，點A的坐標為（4，
4、0），拋物線的對稱軸是直線x=．
（1）求拋物線的解析式；
（2）M為第一象限內的拋物線上的一個點，過點M作MG⊥x軸于點G，交AC于點H，當線段CM=CH時，求點M的坐標；
（3）在（2）的條件下，將線段MG繞點G順時針旋轉一個角α（0°＜α＜90°），在旋轉過程中，設線段MG與拋物線交于點N，在線段GA上是否存在點P，使得以P、N、G為頂點的三角形與△ABC相似？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．
考點： 二次函數綜合題．.
專題： 綜合題．
分析： （1）首先利用對稱軸公式求出a的值，然后把點A的坐標與a的值代入拋物線的解析式，求出c的值，即可確定出
5、拋物線的解析式．
（2）首先根據拋物線的解析式確定出點C的坐標，再根據待定系數法，確定出直線AC解析式為y=﹣x+2；然后設點M的坐標為（m，﹣m2+m+2），H（m，﹣m+2），求出MH的值是多少，再根據CM=CH，OC=GE=2，可得MH=2EH，據此求出m的值是多少，再把m的值代入拋物線的解析式，求出y的值，即可確定點M的坐標．
（3）首先判斷出△ABC為直角三角形，然后分兩種情況：①當=時；②當=時；根據相似三角形的性質，判斷出是否存在點P，使得以P、N、G為頂點的三角形與△ABC相似即可．
解答： 解：（1）∵x=﹣=，b=，
∴a=﹣，
把A（4，0），a=﹣代入y=ax
6、2+x+c，
可得（）×42+×4+c=0，
解得c=2，
則拋物線解析式為y=﹣x2+x+2．
（2）如圖1，連接CM，過C點作CE⊥MH于點E，
，
∵y=﹣x2+x+2，
∴當x=0時，y=2，
∴C點的坐標是（0，2），
設直線AC解析式為y=kx+b（k≠0），
把A（4，0）、C（0，2）代入y=kx+b，
可得，
解得：，
∴直線AC解析式為y=﹣x+2，
∵點M在拋物線上，點H在AC上，MG⊥x軸，
∴設點M的坐標為（m，﹣m2+m+2），H（m，﹣m+2），
∴MH=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，
∵CM=CH，OC=GE=
7、2，
∴MH=2EH=2×[2﹣（﹣m+2）]=m，
又∵MH=﹣m2+2m，
∴﹣m2+2m=m，
即m（m﹣2）=0，
解得m=2或m=0（不符合題意，舍去），
∴m=2，
當m=2時，
y=﹣×22+×2+2=3，
∴點M的坐標為（2，3）．
（3）存在點P，使以P，N，G為頂點的三角形與△ABC相似，理由為：
∵拋物線與x軸交于A、B兩點，A（4，0），A、B兩點關于直線x=成軸對稱，
∴B（﹣1，0），
∵AC==2，BC==，AB=5，
∴AC2+BC2=+=25，AB2=52=25，
∵AC2+BC2=AB2=25，
∴△ABC為直角三角形，
8、
∴∠ACB=90°，
線段MG繞G點旋轉過程中，與拋物線交于點N，當NP⊥x軸時，∠NPG=90°，
設P點坐標為（n，0），
則N點坐標為（n，﹣n2+n+2），
①如圖2，
當=時，
∵∠N1P1G=∠ACB=90°，
∴△N1P1G∽△ACB，
∴=，
解得：n1=3，n2=﹣4（不符合題意，舍去），
當n1=3時，
y=﹣×32+×3+2=2，
∴P的坐標為（3，2）．
②當=時，
∵∠N2P2G=∠BCA=90°，
∴△N2P2G∽△BCA，
∴，
解得：n1=1，n2=1﹣（不符合題意，舍去），
當n1=1時，
y=﹣×（1+）2+×（1
9、）+2=，
∴P的坐標為（1，）．
又∵點P在線段GA上，
∴點P的縱坐標是0，
∴不存在點P，使得以P、N、G為頂點的三角形與△ABC相似．
點評： （1）此題主要考查了二次函數綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應用，考查了數形結合思想的應用，考查了從已知函數圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應的問題的能力．
（2）此題還考查了待定系數法求函數解析式的方法，要熟練掌握．
（3）此題還考查了相似三角形的性質和應用，以及直角三角形的性質和應用，要熟練掌握．
2、（2015年浙江舟,19，6分）如圖，正方形ABCD中，點E，F分別在AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于點G.
（1）觀察圖形，寫出圖中所有與∠AED相等的角；
（2）選擇圖中與∠AED相等的任意一個角，并加以證明.
【答案】解：（1）與∠AED相等的角有.
（2）選擇：
正方形ABCD中，，
又∵AF=DE，∴.∴.
【考點】開放型；正方形的性質；平行的性質；全等三角形的判定和性質.
【分析】（1）觀察圖形，可得 結果.
（2）答案不唯一，若選擇，則由可得結論；
若選擇，則由正方形ABCD得到AB∥CD，從而得到結論；，
若選擇，則一方面，由可得，另一方面，由正方形ABCD得到AD∥BC，得到，進而可得結論
全國各地2015年中考數學試卷解析分類匯編（第2期）專題39 開放性問題
