全國(guó)各地2013年中考數(shù)學(xué)試卷分類匯編 開放性問題

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1、開放性問題 一．選擇題 二．填空題 1．（2013?徐州，13，3分）請(qǐng)寫出一個(gè)是中心對(duì)稱圖形的幾何圖形的名稱：　　　． 考點(diǎn)：中心對(duì)稱圖形． 專題：開放型． 分析：常見的中心對(duì)稱圖形有：平行四邊形、正方形、圓、菱形，寫出一個(gè)即可． 解答：平行四邊形是中心對(duì)稱圖形．故答案可為：平行四邊形． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了中心對(duì)稱圖形的知識(shí)，同學(xué)們需要記憶一些常見的中心對(duì)稱圖形． 2．（2013上海市，15，4分）如圖3，在△和△中，點(diǎn)B、F、C、E在同一直線上，BF = CE，AC∥DF，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使△≌△，這個(gè)添加的條件可以是____________．（只需寫一個(gè)，不添加輔

2、助線） 3.（2013四川巴中，14，3分）如圖，已知點(diǎn)B、C、F、E在同一直線上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是　CA=FD　．（只需寫出一個(gè)） 考點(diǎn)： 全等三角形的判定． 專題： 開放型． 分析： 可選擇添加條件后，能用SAS進(jìn)行全等的判定，也可以選擇AAS進(jìn)行添加． 解答： 解：添加CA=FD，可利用SAS判斷△ABC≌△DEF． 故答案可為CA=FD． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了全等三角形的判定，解答本題關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理，本題答案不唯一． 4．（2013江西南昌，15，3分）若一個(gè)一元二次

3、方程的兩個(gè)根分別是Rt△ABC的兩條直角邊長(zhǎng)，且S△ABC=3，請(qǐng)寫出一個(gè)符合題意的一元二次方程 ． 【答案】x2－5x+6=0 【解析】先確定兩條符合條件的邊長(zhǎng)，再以它為根求作一元二次方程． 【方法指導(dǎo)】本題是道結(jié)論開放的題（答案不唯一），已知直角三角形的面積為3（直角邊長(zhǎng)未定），要寫一個(gè)兩根為直角邊長(zhǎng)的一元二次方程，我們盡量寫邊長(zhǎng)為整數(shù)的情況（即保證方程的根為整數(shù)），如直角邊長(zhǎng)分別為2、3的直角三角形的面積就是3，以2、3為根的一元二次方程為；也可以以1、6為直角邊長(zhǎng)，得方程為. 5．（2013山東菏澤，12，3分）我們規(guī)定：將一個(gè)平面圖形分成面積相等的兩

4、部分的直線叫做該平面圖形的“面線”. “面線”被這個(gè)平面圖形截得的線段叫做該圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是它的“面徑”) .已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，則它的“面徑”長(zhǎng)可以是______(寫出1個(gè)即可). 【答案】或．(寫出1個(gè)即可). 【解析】1）根據(jù)“三線合一”等可知，面徑為底邊上的高h(yuǎn)，；（2） 與一邊平行的線段（如圖），設(shè)DE=x，因?yàn)椤鰽DE與四邊形 DBCE面積要相等，根據(jù)三角形相似性質(zhì)，有. 解得x=. 綜上所述，所以符合題意的面徑只有這兩種數(shù)量關(guān)系. 【方法指導(dǎo)】根據(jù)規(guī)定內(nèi)容的定義，思考要把邊長(zhǎng)為2的等邊三角形分成面積相等的兩部分的直線存在有兩種情形：（1）高（中線

5、、角平分線）所在線；（2）與一邊平行的線.要把一個(gè)三角形面積進(jìn)行兩等份，這樣的直線有無數(shù)條，都過這個(gè)三角形三邊中線的交點(diǎn)（重心）.經(jīng)過計(jì)算無數(shù)條中等邊三角形“面徑”長(zhǎng)只有上述兩種情形. 三．解答題 1.（2013山西，25，13分）（本題13分）數(shù)學(xué)活動(dòng)——求重疊部分的面積。 問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題： 如圖，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合，DE經(jīng)過點(diǎn)C，DF交AC于點(diǎn)G。 求重疊部分（△DCG）的面積。 （1）獨(dú)立思考：請(qǐng)解答老師提出的問題。 【解

6、析】解：∵∠ACB=90°D是AB的中點(diǎn), （25題（1）） ∴DC=DB=DA,∴∠B=∠DCB 又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B ∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC∴∠AGD=∠ACB=90°∴DG⊥AC 又∵DC=DA,∴G是AC的中點(diǎn), ∴CG=AC=×8=4,DG=BC=×6=3 ∴SDCG=×CG·DG=×4×3=6 （2）合作交流：“希望”小組受此問題的啟發(fā)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥AB交AC于點(diǎn)H，DF交AC于點(diǎn)G，如圖(2)，你能求出重疊部分(△DGH)的面積嗎？請(qǐng)寫出解答過程。 （25題（2）） 【解析】解法一： ∵△ABC≌△FDE,∴

7、∠B=∠1 ∵∠C=90°,ED⊥AB,∴∠A+∠B=90°, ∠A+∠2=90°, ∴∠B=∠2,∴∠1=∠2 ∴GH=GD ∵∠A+∠2=90°,∠1+∠3=90° ∴∠A=∠3,∴AG=GD，∴AG=GH ∴點(diǎn)G是AH的中點(diǎn)， 在Rt△ABC中，AB= 10 ∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD=AB=5 在△ADH與△ACB中，∵∠A =∠A，∠ADH=∠ACB=90°, ∴△ADH∽△ACB, ∴=,=,∴DH=, ∴S△DGH＝S△ADH＝××DH·AD=××5= （25題（2）） 解法二：同解法一，G是AH的中點(diǎn)， 連接BH，∵DE⊥AB，D是AB的中點(diǎn)，∴AH=

8、BH，設(shè)AH=x則CH＝８-ｘ 在Rt△BCH中，CH2+BC2=BH2，即（8-x）2+36=x2，解得x= ∴S△ABH=AH·BC=××6= （25題（2）） ∴S△ＤＧＨ=S△ADH=× S△ABH=×=. 解法三：同解法一，∠1=∠2 連接CD，由（1）知，∠B=∠DCB=∠1，∠1=∠2=∠B=∠DCB，△DGH∽△BDC, 作DM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，∵D是AB的中點(diǎn)，∠ACB=90° ∴CD=AD=BD，∴點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，∴DM=BC=×6=3 在Rt△ABC中，AB==10，AC·BC=AB·CN， ∴CN＝. ∵△DGH∽△BDC,

9、∴, ∴= ∴ （3）提出問題：老師要求各小組向“希望”小組學(xué)習(xí)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，再提出一個(gè)求重疊部分面積的問題?！皭坌摹毙〗M提出的問題是：如圖(3)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交AC于點(diǎn)M，N，使DM=MN求重疊部分(△DMN)的面積、 任務(wù)：①請(qǐng)解決“愛心”小組所提出的問題，直接寫出△DMN的面積是 ②請(qǐng)你仿照以上兩個(gè)小組，大膽提出一個(gè)符合老師要求的問題，并在圖中畫出圖形，標(biāo)明字母，不必解答（注：也可在圖（1）的基礎(chǔ)上按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)）。 （25題（3）） （25題（4）） 【答案】① ②注：此題答案不唯一，語言表達(dá)清晰、準(zhǔn)確得1分，

10、畫圖正確得1分，重疊部分未涂陰影不扣分。示例：如圖，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥BC于點(diǎn)M，DF交AC于點(diǎn)N，求重疊部分（四邊形DMCN）的面積。 2．（2013·濰坊，24，13分）如圖，拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，與坐標(biāo)軸交于三點(diǎn)，且，點(diǎn)在拋物線上，直線是一次函數(shù)的圖象，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)． （1）求拋物線的解析式； （2）若直線平分四邊形的面積，求的值． （3）把拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線與直線交于兩點(diǎn)，問在軸正半軸上是否存在一定點(diǎn)，使得不論取何值，直線與總是關(guān)于軸對(duì)稱？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 答案：（1）因?yàn)閽佄锞€關(guān)于直線x＝1對(duì)稱

11、，AB＝4，所以A(－1，0)，B(3，0)， 由點(diǎn)D(2，1．5)在拋物線上，所以，所以3a＋3b＝1．5，即a＋b＝0．5， 又，即b＝－2a，代入上式解得a＝－0．5，b＝1，從而c＝1．5，所以． （2）由（1）知，令x＝0，得c(0，1．5)，所以CD//AB， 令kx－2＝1．5，得l與CD的交點(diǎn)F()， 令kx－2＝0，得l與x軸的交點(diǎn)E()， 根據(jù)S四邊形OEFC＝S四邊形EBDF得：OE＋CF＝DF＋BE， 即 （3）由（1）知 所以把拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線的解析式為 假設(shè)在y軸上存在一點(diǎn)P(0，t)，t＞0，使

12、直線PM與PN關(guān)于y軸對(duì)稱，過點(diǎn)M、N分別向y軸作垂線MM1、NN1，垂足分別為M1、N1，因?yàn)椤螹PO＝∠NPO，所以Rt△MPM1∽R(shí)t△NPN1， 所以，………………(1) 不妨設(shè)M(xM，yM)在點(diǎn)N(xN，yN)的左側(cè)，因?yàn)镻點(diǎn)在y軸正半軸上， 則（1）式變?yōu)椋謞M ＝k xM－2， yN＝k xN－2， 所以（t＋2）(xM ＋xN)＝2k xM xN，……(2) 把y＝kx－2(k≠0)代入中，整理得x2＋2kx－4＝0， 所以xM ＋xN＝－2k， xM xN＝－4，代入（2）得t＝2，符合條件， 故在y軸上存在一點(diǎn)P（0，2），使直線PM與PN總是關(guān)于y軸對(duì)

13、稱． 考點(diǎn)：本題是一道與二次函數(shù)相關(guān)的壓軸題，綜合考查了考查了二次函數(shù)解析式的確定，函數(shù)圖象交點(diǎn)及圖形面積的求法，三角形的相似，函數(shù)圖象的平移，一元二次方程的解法等知識(shí)，難度較大． 點(diǎn)評(píng)：本題是一道集一元二次方程、二次函數(shù)解析式的求法、相似三角形的條件與性質(zhì)以及質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題、分類討論思想于一體的綜合題，能夠較好地考查了同學(xué)們靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，解決實(shí)際問題的能力。問題設(shè)計(jì)富有梯度、由易到難層層推進(jìn)，既考查了知識(shí)掌握，也考查了方法的靈活應(yīng)用和數(shù)學(xué)思想的形成。 3．（2013江西南昌，18，6分）先化簡(jiǎn)，再求值：，在0，1，2，三個(gè)數(shù)中選一個(gè)合適的，代入求值． 【思路分析】先將分式的分子

14、分母因式分解，再將除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，約分后得到，可通分得，也可將化為求解． [解]原式=·+1 = =． 當(dāng)x=1時(shí)，原式= 【方法指導(dǎo)】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，涉及因式分解，約分等運(yùn)算知識(shí)，要求考生具有比較嫻熟的運(yùn)算技能，化簡(jiǎn)后要從三個(gè)數(shù)中選一個(gè)數(shù)代入求值，又考查了考生的細(xì)心答題的態(tài)度，這個(gè)陷阱隱蔽但不刁鉆，看到分式，必然要注意分式成立的條件． 4．（2013山東德州,22,10分）設(shè)A是由2×4個(gè)整數(shù)組成的2行4列的數(shù)表，如果某一行（或某一列）各數(shù)之和為負(fù)數(shù)，則改變?cè)撔校ɑ蛟摿校┲兴袛?shù)的符號(hào)，稱為一

15、次“操作”。 （1）數(shù)表A如表1所示，如果經(jīng)過兩次“操作”，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)，請(qǐng)寫出每次“操作”后所得的數(shù)表；（寫出一種方法即可） （2）數(shù)表A如表2所示，若經(jīng)過任意一次“操作”以后，便可使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)，求整數(shù)a的值。 【思路分析】1）根據(jù)提供信息，理解題目要達(dá)到要求，答案不唯一，屬于開放題（2）分析各行、各列上數(shù)字和情況，同時(shí)注意其和要符合非負(fù)數(shù)（≥0）. 【解】（1）法1： 法2： （寫出一種即可） （2）每一列所有數(shù)之和分別為2,0,-2,0,每一行所有數(shù)之和分別為-1,1. ①

16、如果操作第三列，則 則第一行之和為2a-1，第二行這和為5-2a， 2a-1≥0, 5-2a≥0 解得 又∵a為整數(shù)， ∴a=1 ，或a=2 ②如果操作第一行， 則每一列之和分別為2-2a,2-2a2,2a-2,2a2, 2-2a≥0, 2a-2≥0 解得a=1,此時(shí)2-2a2=0, 2a2=2. 綜上可知a=1 【方法指導(dǎo)】本題考查了新定義閱讀題、分類討論思想.本題是一道以數(shù)列為素材的新定義閱讀理解題，解這類題的關(guān)鍵是順著題意，理解題目的告訴了什么，要做什么？模仿或拓展運(yùn)用相關(guān)知識(shí)內(nèi)容解決. 本題中運(yùn)用了分類討論思想，發(fā)揮解題的多樣性與嚴(yán)謹(jǐn)性.