2014-2015學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊 第1章 第4節(jié)《角平分線》教學(xué)設(shè)計(jì)2 （新版）北師大版

角平分線 一、學(xué)生知識(shí)狀況分析 學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：通過上節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生對于角平分線性質(zhì)定理和逆定理均有一個(gè)很深的了解和理解，在此基礎(chǔ)上本節(jié)主要是通過例題來鞏固定理和逆定理的應(yīng)用，提高學(xué)生證明推理能力。 二、教學(xué)任務(wù)分析 本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是： 1．知識(shí)目標(biāo)： （1）證明與角的平分線的性質(zhì)定理和判定定理相關(guān)的結(jié)論． （2）角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的靈活運(yùn)用． 2．能力目標(biāo)： （1）進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力． （2）培養(yǎng)學(xué)生將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言、圖形語言的能力． （3）提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決問題的能力． 3．情感與價(jià)值觀要求 ①能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲． ②在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心． 4．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn) ①三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的性質(zhì)． ②綜合運(yùn)用角平分線的判定和性質(zhì)定理，解決幾何中的問題． 難點(diǎn) 角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的綜合應(yīng)用． 三、教學(xué)過程分析 本節(jié)課設(shè)計(jì)了五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：設(shè)置情境問題，搭建探究平臺(tái)；第二環(huán)節(jié)：展示思維過程，構(gòu)建探究平臺(tái)；第三環(huán)節(jié)：例題講解；第四環(huán)節(jié)：課時(shí)小結(jié);第五環(huán)節(jié)：課后作業(yè)。 第一環(huán)節(jié)：設(shè)置情境問題，搭建探究平臺(tái) 問題l 習(xí)題1．8的第1題作三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么?能證明自己發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一定正確嗎？ 于是，首先證明“三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線交于一點(diǎn)” ． 當(dāng)然學(xué)生可能會(huì)提到折紙證明、軟件演示等方式證明，但最終，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行邏輯上的證明。 第二環(huán)節(jié)：展示思維過程，構(gòu)建探究平臺(tái) 已知：如圖，設(shè)△ABC的角平分線．BM、CN相交于點(diǎn)P， 證明：P點(diǎn)在∠BAC的角平分線上． 證明：過P點(diǎn)作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足． ∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上， ∴PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等)． 同理：PE=PF． ∴PD=PF． ∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線上(在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上)． ∴△ABC的三條角平分線相交于點(diǎn)P． 在證明過程中，我們除證明了三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)外，還有什么“附帶”的成果呢? （PD=PE=PF，即這個(gè)交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等．） 于是我們得出了有關(guān)三角形的三條角平分線的結(jié)論，即定理三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等． 下面我通過列表來比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質(zhì)定理 三邊垂直平分線 三條角平分線 三角形 銳角三角形 交于三角形內(nèi)一點(diǎn) 交于三角形內(nèi)一點(diǎn) 鈍角三角形 交于三角形外一點(diǎn) 直角三角形 交于斜邊的中點(diǎn) 交點(diǎn)性質(zhì) 到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等 到三角形三邊的距離相等 問題2 如圖：直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有幾處？你如何發(fā)現(xiàn)的? 要求學(xué)生思考、交流。實(shí)況如下： [生]有一處．在三條公路的交點(diǎn)A、B、C組成的△ABC三條角平分線的交點(diǎn)處．因?yàn)槿切稳龡l角平分線交于一點(diǎn)，且這一點(diǎn)到三邊的距離相等．而現(xiàn)在要建的貨物中轉(zhuǎn)站要求它到三條公路的距離相等．這一點(diǎn)剛好符合． [生]我找到四處．(同學(xué)們很吃驚)除了剛才同學(xué)找到的三角形ABC內(nèi)部的一點(diǎn)外，我認(rèn)為在三角形外部還有三點(diǎn)．作∠ACB、∠ABC外角的平分線交于點(diǎn)P1(如下圖所示)，我們利用角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，可知點(diǎn)P1在∠CAB的角平分線上，且到l1、l2、l3的距離相等．同理還有∠BAC、∠BCA的外角的角平分線的交點(diǎn)P3；因此滿足條件共4個(gè)，分別是P、P1、P2、P3 第三環(huán)節(jié)：例題講解 [例1]如圖，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E． (1)已知CD=4 cm，求AC的長； (2)求證：AB=AC+CD． 分析：本例需要運(yùn)用前面所學(xué)的多個(gè)定理，而且將計(jì)算和證明融合在一起，目的是使學(xué)生進(jìn)一步理解、掌握這些知識(shí)和方法，并能綜合運(yùn)用它們解決問題．第(1)問中，求AC的長，需求出BC的長，而BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，DE=CD=4cm，再根據(jù)勾股定理便可求出DB的長．第(2)問中，求證AB=AC+CD．這是我們第一次遇到這種形式的證明，利用轉(zhuǎn)化的思想AB=AE+BE，所以需證AC=AE，CD=BE． (1)解：∵AD是△ABC的角平分線， ∠C=90°，DE⊥AB． ∴DE=CD=4cm(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等)． ∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC(等邊對等角)． ∵∠C=90°， ∴∠B=×90°=45°． ∴∠BDE=90°—45°＝45°． ∴BE=DE(等角對等邊)． 在等腰直角三角形BDE中 BD=2DE2.=4 2 cm(勾股定理)， ∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm． (2)證明：由(1)的求解過程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理) ∴AC=AE． ∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD． [例2]已知：如圖，P是么AOB平分線上的一點(diǎn)，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C、D． 求證：(1)OC=OD； (2)OP是CD的垂直平分線． 證明：(1)P是∠AOB角平分線上的一點(diǎn)，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC=PD(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)． 在Rt△OPC和Rt△OPD中， OP=OP，PC=PD， ∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理)． ∴OC=OD(全等三角形對應(yīng)邊相等)． (2)又OP是∠AOB的角平分線， ∴OP是CD的垂直平分線(等腰三角形“三線合一”定理)． 思考：圖中還有哪些相等的線段和角呢? 第四環(huán)節(jié)：課時(shí)小結(jié) 本節(jié)課我們利用角平分線的性質(zhì)和判定定理證明了三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，且這一點(diǎn)到三角形各邊的距離相等．并綜合運(yùn)用我們前面學(xué)過的性質(zhì)定理等解決了幾何中的計(jì)算和證明問題． 第五環(huán)節(jié)：課后作業(yè) 習(xí)題1.10第1、2題 四、教學(xué)反思 本節(jié)對學(xué)生能力的要求很高，如例1中問題作為教師要善于 利用這個(gè)典型例題，加以發(fā)揮，使例題的功能得以體現(xiàn)，達(dá)到以點(diǎn)帶線，以線帶面的功效。如果課堂時(shí)間允許還可以將該題加以改變，用多種方法證明和求解。