全國各地名校2013年中考數(shù)學(xué)5月試卷分類匯編 開放探究型問題

開放探究型問題 一、選擇題 1、（2013浙江省寧波模擬題）課題研究小組對附著在物體表面的三個微生物（課小組成員把他們分別標(biāo)號為，，）的生長情況進(jìn)行觀察記錄．這三個微生物第一天各自一分為二，產(chǎn)生新的微生物（分別被標(biāo)號為，，，，，），接下去每天都按照這樣的規(guī)律變化，即每個微生物一分為二，形成新的微生物（課題組成員用如圖所示的圖形 進(jìn)行形象的記錄）．那么標(biāo)號為的微生物會出現(xiàn)在（ ） A．第天 B．第天 C．第天 D．第天 1 12 111 101 21 20 19 18 17 16 15 14 13 5 4 9 8 7 6 2 3 （第12題圖） 答案：C A E B C D F 2、（2013山東德州特長展示）如圖，在△ABC中，點E 、D、F分別在邊AB、BC、CA上，且DE∥AC，DF∥AB．下列說法中錯誤的是( ) A．四邊形AEDF是平行四邊形 B．如果∠BAC=90 º，那么四邊形AEDF是矩形 C．如果AD⊥BC，那么四邊形AEDF是正方形 D．如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形 二、填空題 1、（2013河南沁陽市九年級第一次質(zhì)量檢測）如圖，Rt△ABC中，在AC邊上取點O畫圓使⊙O經(jīng)過A、B兩點，下列結(jié)論中：①；②；③以O(shè)為圓心，以O(shè)C為半徑的圓與AB相切；④延長BC交⊙O與D，則A、B、D是⊙O的三等分點．正確的序號是 (多填或錯填不給分)．①③④ 2、（2013年湖北省武漢市中考全真模擬）已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P為對角線AC上一點，過P作BP的垂線交直線AD于點Q，若△APQ為等腰三角形，則AP的長度為 或 . 3.6或1 三、解答題 第1題圖 1．（2013年安徽初中畢業(yè)考試模擬卷一）如圖，在中，AC=6，BC=8，AB=10，點D、E分別在AB、AC上，且DE將的周長分成相等的兩部分，設(shè)AE=，AD=，的面積為S. （1）求出與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍； （2）求出S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并判斷S是否有最大的值，若有，則求出其最大值，并指出此時的形狀；若沒有，請說明理由. 答案：（1）∵DE平分△ABC的周長，∴，即y＋x＝12 ． ∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝12－x（2≤x≤6）． （2）過點D作DF⊥AC，垂足為F F ∵，即，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90° ． ∴，即．∴． ∴ ． 故當(dāng)x＝6時，S取得最大值 ． 此時，y＝12－6＝6，即AE＝AD．因此，△ADE是等腰三角形． 2. （2013年北京房山區(qū)一模）已知，拋物線，當(dāng)1＜x＜5時，y值為正；當(dāng)x＜1或x＞5時，y值為負(fù). （1）求拋物線的解析式. （2）若直線（k≠0）與拋物線交于點A（，m）和B（4，n），求直線的解析式. （3）設(shè)平行于y軸的直線x=t和x=t+2分別交線段AB于E、F，交二次函數(shù)于H、G. ①求t的取值范圍 ②是否存在適當(dāng)?shù)膖值，使得EFGH是平行四邊形？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由. 答案：解：（1）根據(jù)題意，拋物線與x軸交點為（1,0）和（5,0）----1分 ∴，解得. ∴拋物線的解析式為. --------------------2分 （2）∵的圖象過A（，m）和B（4，n）兩點 ∴ m=，n=3 ， ∴A（，）和B（4，3） ------------ 3分 ∵直線（k≠0）過A（，）和B（4，3）兩點 ∴，解得. ∴直線的解析式為. -------------------4分 （3）①根據(jù)題意，解得t2 -------------------5分 ②根據(jù)題意E（t，），F(xiàn)（t+2，） H（t，），G（t+2，）， ∴EH=，F(xiàn)G=. 若EFGH是平行四邊形，則EH=FG，即= 解得t=， - ---------------------6分 ∵t=滿足t2. ∴存在適當(dāng)?shù)膖值，且t=使得EFGH是平行四邊形.----------7分 3. （2013年北京龍文教育一模） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)的圖象與軸交于（-1,0）、（3,0）兩點, 頂點為. (1) 求此二次函數(shù)解析式； (2) 點為點關(guān)于x軸的對稱點，過點作直線：交BD于點E，過點作直線∥交直線于點.問：在四邊形ABKD的內(nèi)部是否存在點P，使得它到四邊形ABKD四邊的距離都相等，若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由； (3) 在（2）的條件下，若、分別為直線和直線上的兩個動點，連結(jié)、、，求和的最小值. 第3題圖 答案：解:(1) ∵ 點A、B的坐標(biāo)分別為（-1,0）、（3,0）， ∴ 解得 ∴ 二次函數(shù)解析式為. ……………2分 （2）可求點C的坐標(biāo)為（1，） ∴ 點D的坐標(biāo)為（1，）. 可求 直線AD的解析式為 . 由題意可求 直線BK的解析式為. ∵ 直線的解析式為, ∴ 可求出點K的坐標(biāo)為(5,).易求 . ∴ 四邊形ABKD是菱形. ∵ 菱形的中心到四邊的距離相等， ∴ 點P與點E重合時，即是滿足題意的點，坐標(biāo)為（2， ） . ……………5分 (3) ∵ 點D、B關(guān)于直線AK對稱, ∴ 的最小值是. 過K作KF⊥x軸于F點. 過點K作直線AD的對稱點P,連接KP,交直線AD于點Q, ∴ KP⊥AD. ∵ AK是∠DAB的角平分線, ∴ . ∴的最小值是.即BP的長是的最小值. ∵ BK∥AD, ∴ . 在Rt△BKP中,由勾股定理得BP=8. ∴的最小值為8. ……………8分 4．（2013年北京順義區(qū)一模）如圖，已知拋物線與軸交于點，且經(jīng)過兩點，點是拋物線頂點，是對稱軸與直線的交點，與關(guān)于點對稱． （1）求拋物線的解析式； （2）求證：； （3）在拋物線的對稱軸上是否存在點，使與相似．若有，請求出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由． 第4題圖 答案：解：（1）將點代入得 ……………………1分 解之得， 所以拋物線的解析式為 ………2分 （2）由（1）可得拋物線頂點 …… 3分 直線的解析式為 由是對稱軸與直線的交點，則 由與關(guān)于點對稱 ，則………4分 證法一： 從點分別向?qū)ΨQ軸作垂線，交對稱軸于 在和中 ， 所以∽ 所以 …………………………………5分 證法二：直線的解析式為 點 關(guān)于對稱軸的對稱點是 將點代入可知點在直線 所以 （3）在中，三內(nèi)角不等，且為鈍角 ① 若點在點下方時， 在中，為鈍角 因為， 所以和不相等 所以，點在點下方時，兩三角形不能相似 …………………… 6分 ② 若點在點上方時， 由，要使與相似 只需（點在之間）或（點在的延長線上） 解得點的坐標(biāo)為或 ………………………………………8分 第1題圖 5．（2013年安徽初中畢業(yè)考試模擬卷一）如圖，在中，AC=6，BC=8，AB=10，點D、E分別在AB、AC上，且DE將的周長分成相等的兩部分，設(shè)AE=，AD=，的面積為S. （1）求出與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍； （2）求出S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并判斷S是否有最大的值，若有，則求出其最大值，并指出此時的形狀；若沒有，請說明理由. 答案：（1）∵DE平分△ABC的周長，∴，即y＋x＝12 ． ∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝12－x（2≤x≤6）． （2）過點D作DF⊥AC，垂足為F F ∵，即，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90° ． ∴，即．∴． ∴ ． 故當(dāng)x＝6時，S取得最大值 ． 此時，y＝12－6＝6，即AE＝AD．因此，△ADE是等腰三角形． 6. （2013年北京房山區(qū)一模）已知，拋物線，當(dāng)1＜x＜5時，y值為正；當(dāng)x＜1或x＞5時，y值為負(fù). （1）求拋物線的解析式. （2）若直線（k≠0）與拋物線交于點A（，m）和B（4，n），求直線的解析式. （3）設(shè)平行于y軸的直線x=t和x=t+2分別交線段AB于E、F，交二次函數(shù)于H、G. ①求t的取值范圍 ②是否存在適當(dāng)?shù)膖值，使得EFGH是平行四邊形？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由. 答案：解：（1）根據(jù)題意，拋物線與x軸交點為（1,0）和（5,0）----1分 ∴，解得. ∴拋物線的解析式為. --------------------2分 （2）∵的圖象過A（，m）和B（4，n）兩點 ∴ m=，n=3 ， ∴A（，）和B（4，3） ------------ 3分 ∵直線（k≠0）過A（，）和B（4，3）兩點 ∴，解得. ∴直線的解析式為. -------------------4分 （3）①根據(jù)題意，解得t2 -------------------5分 ②根據(jù)題意E（t，），F(xiàn)（t+2，） H（t，），G（t+2，）， ∴EH=，F(xiàn)G=. 若EFGH是平行四邊形，則EH=FG，即= 解得t=， - ---------------------6分 ∵t=滿足t2. ∴存在適當(dāng)?shù)膖值，且t=使得EFGH是平行四邊形.----------7分 7. （2013年北京龍文教育一模） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)的圖象與軸交于（-1,0）、（3,0）兩點, 頂點為. (1) 求此二次函數(shù)解析式； (2) 點為點關(guān)于x軸的對稱點，過點作直線：交BD于點E，過點作直線∥交直線于點.問：在四邊形ABKD的內(nèi)部是否存在點P，使得它到四邊形ABKD四邊的距離都相等，若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由； (3) 在（2）的條件下，若、分別為直線和直線上的兩個動點，連結(jié)、、，求和的最小值. 第3題圖 答案：解:(1) ∵ 點A、B的坐標(biāo)分別為（-1,0）、（3,0）， ∴ 解得 ∴ 二次函數(shù)解析式為. ……………2分 （2）可求點C的坐標(biāo)為（1，） ∴ 點D的坐標(biāo)為（1，）. 可求 直線AD的解析式為 . 由題意可求 直線BK的解析式為. ∵ 直線的解析式為, ∴ 可求出點K的坐標(biāo)為(5,).易求 . ∴ 四邊形ABKD是菱形. ∵ 菱形的中心到四邊的距離相等， ∴ 點P與點E重合時，即是滿足題意的點，坐標(biāo)為（2， ） . ……………5分 (3) ∵ 點D、B關(guān)于直線AK對稱, ∴ 的最小值是. 過K作KF⊥x軸于F點. 過點K作直線AD的對稱點P,連接KP,交直線AD于點Q, ∴ KP⊥AD. ∵ AK是∠DAB的角平分線, ∴ . ∴的最小值是.即BP的長是的最小值. ∵ BK∥AD, ∴ . 在Rt△BKP中,由勾股定理得BP=8. ∴的最小值為8. ……………8分 8．（2013年北京順義區(qū)一模）如圖，已知拋物線與軸交于點，且經(jīng)過兩點，點是拋物線頂點，是對稱軸與直線的交點，與關(guān)于點對稱． （1）求拋物線的解析式； （2）求證：； （3）在拋物線的對稱軸上是否存在點，使與相似．若有，請求出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由． 第4題圖 答案：解：（1）將點代入得 ……………………1分 解之得， 所以拋物線的解析式為 ………2分 （2）由（1）可得拋物線頂點 …… 3分 直線的解析式為 由是對稱軸與直線的交點，則 由與關(guān)于點對稱 ，則………4分 證法一： 從點分別向?qū)ΨQ軸作垂線，交對稱軸于 在和中 ， 所以∽ 所以 …………………………………5分 證法二：直線的解析式為 點 關(guān)于對稱軸的對稱點是 將點代入可知點在直線 所以 （3）在中，三內(nèi)角不等，且為鈍角 ① 若點在點下方時， 在中，為鈍角 因為， 所以和不相等 所以，點在點下方時，兩三角形不能相似 …………………… 6分 ② 若點在點上方時， 由，要使與相似 只需（點在之間）或（點在的延長線上） 解得點的坐標(biāo)為或 ………………………………………8分 9、(本題滿分15分)如圖（1），P為所在平面上一點，且，則點叫做的費(fèi)馬點． (1).如點P為銳角的費(fèi)馬點．且∠ABC＝60°，PA=3，PC=4，求PB的長。(4分) (2).如圖（2），在銳角外側(cè)作等邊′連結(jié)′． 求證：′過的費(fèi)馬點，且′＝．(6分) (3).已知銳角，∠ACB＝60°，分別以三邊為邊向形外作等邊三角形ABD,BCE,ACF,請找出的費(fèi)馬點，并探究S△ABC與S△ABD的和,S△BCE與S△ACF的和是否相等。(1+4分) A C B 圖（1） 圖（2） 解：⑴由△ABP與△BPC相似,得PB2=PA×PC,PB=2 ； （2）在BB'上取點P，使∠BPC=120°，連接AP，再在PB'上截取PE=PC，連接CE， ∵∠BPC=120°,∴∠EPC=60°，∴△PCE是正三角形。 A C B 圖（1） 圖（2） ∴PC=CE,∠PCE=60°,∠CEB'=120°. ∵△ACB'是正三角形, ∴AC=CB',∠ACB'=60°. ∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB'=60°, ∴∠PCA=∠ECB',∴△ACP≌△B'CE, ∴∠APC=∠B'EC=120°,PA=EB', ∴,P為銳角的費(fèi)馬點. ∴BB'過的費(fèi)馬點P,且BB'=EB'+PB+PE=PA+PB+PC. （3） 連接DC,BF交與點P，則P為銳角的費(fèi)馬點. 在△DAC與△BAF中,DA=BA,∠DAC=∠BAF,AC=AF, ∴△DAC≌△BAF.∴S△DAC=S△BAF, ∵∠ACB=∠CAF=60°,∴AF∥BC. ∴S△BAF=S△CAF, ∴S△DAC=S△CAF. 同理可證S△DBC=S△BEC, ∴.S△ACF+S△BCE=S△DAC+S△DBC=S△ABC+S△ABD 10. 如圖1，在面積為3的正方形ABCD中，E、F分別是BC和CD邊上的兩點，AE⊥BF于點G，且BE=1． （1）求證：△ABE≌△BCF； （2）試求△ABE和△BCF重疊部分的面積； （3）如圖2，將△ABE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到△AB＇E＇，點E落在CD邊上的點E＇處，則△ABE在旋轉(zhuǎn)前后與△BCF重疊部分的面積是否發(fā)生了變化？請說明理由． （1）證明：∵正方形ABCD中，∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC， ∴∠ABF+∠CBF=900， ∵AE⊥BF， ∴∠ABF+∠BAE=900， ∴∠BAE=∠CBF， ………………………2分 ∴△ABE≌△BCF. ………………………3分 （2）∵正方形面積為3，∴AB=. 又∵BE=1，∴tan∠BAE= ∴∠BAE=30°，∴∠CBF=30° ………………………5分 ∴GE=，GB= ∴×=. ………………………6分 （3）沒有變化. ………………………7分 由（2）可知∠BAE=30°. ∵AB’=AD, ∠AB’E’= ∠ADE’=90°,AE’公共， ∴Rt△ABE≌Rt△AB’E’ ≌Rt△ADE’ ∴∠DAE’=∠B’AE’=∠BAE=30° ∴AB’與AE在同一直線上，即G點就是AB’與BF的交點，如圖所示. 設(shè)BF與AE’的交點為H， ∴Rt△BAG≌Rt△HAG. ………………11分 ∴S四邊形HGB’E’= S△BGE 即△ABE在旋轉(zhuǎn)前后與△BCF重疊部分的面積沒有發(fā)生變化. 11. （黑龍江2013）(本題10分)如圖，平面直角坐標(biāo)系中O為坐標(biāo)原點，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，C為OA中點； （1）求直線BC解析式； （2）動點P從O出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿線段OA向終點A運(yùn)動，同時動點Q從C出發(fā)沿線段CB以每秒個單位長度的速度向終點B運(yùn)動，過點Q作QM∥AB交x軸于點M，若線段PM的長為y，點P運(yùn)動時間為t( )，求y于t的函數(shù)關(guān)系式； （3）在（2）的條件下，以PC為直徑作⊙N，求t為何值時直線QM與⊙N相切. 解：（1）∵ ∴x=0時，y=6；y=0時，x=﹣8， ∴B（0,6） A(﹣8，0) ∵C為OA中點，∴C（﹣4,0） （1分） 設(shè)BC：∴﹣4k+b=0， b=6，∴k= ∴y=x+6 （1分） （2）∵QM∥AB ∴ ∴ （1分） ∴CM=t，∴，∴，∵ （1分） ∴0＜t＜4＜時，PM= ∴（0＜t＜4）（1分） （3）過N點作NH⊥MQ交直線MQ于H點． ∵N為PC的中點，∴，MN=（1分） ∵M(jìn)Q∥AB ∴∠QMC=∠BAO ∴sin∠QMC=sin∠BAO= ∴NH=2×=（1分） ∵PC=（1分） ∴=2×=，解得，或（1分） 綜上，或時，直線QM與⊙N相切．第27題圖 12、（2013山東德州特長展示）（本小題滿分12分） 已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3 ，tan∠BAC=，將∠ABC對折，使點C的對應(yīng)點H恰好落在直線AB上，折痕交AC于點O，以點O為坐標(biāo)原點，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系 （1）求過A、B、O三點的拋物線解析式； （2）若在線段AB上有一動點P，過P點作x軸的垂線，交拋物線于M，設(shè)PM的長度等于d，試探究d有無最大值，如果有，請求出最大值，如果沒有，請說明理由． （3）若在拋物線上有一點E，在對稱軸上有一點F，且以O(shè)、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，試求出點E的坐標(biāo)． B A C O H x y 解：（1）在Rt△ABC 中，∵BC=3 ，tan∠BAC=， ∴AC=4． ∴AB=． 設(shè)OC=m，連接OH，如圖，由對稱性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°， ∴AH=AB－BH=2，OA=4－m． ∴在Rt△AOH 中， OH2+AH2=OA2，即m2+22=(4－m)2，得 m=． ∴OC=，OA=AC－OC=， ∴O（0，0） A（，0），B（－，3）．…………………………………………2分 設(shè)過A、B、O三點的拋物線的解析式為：y=ax（x－）． 把x=，y=3代入解析式，得a=． ∴y=x（x－）=． 即過A、B、O三點的拋物線的解析式為y=．…………………………4分 （2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意得： － 解之得 k= －，b=． ∴直線AB的解析式為y=．………………………………………………6分 設(shè)動點P（t，），則M（t，）．………………………………7分 ∴d=（）—（）=—= ∴當(dāng)t=時，d有最大值，最大值為2．………………………………………………8分 y B A C O H x E2 E1 E3 D (3)設(shè)拋物線y=的頂點為D． ∵y==， ∴拋物線的對稱軸x=，頂點D（，－）． 根據(jù)拋物線的對稱性，A、O兩點關(guān)于對稱軸對稱． ① 當(dāng)AO為平行四邊形的對角線時，拋物線的頂點D以及點D關(guān)于x軸對稱的點F與A、O四點為頂點的四邊形一定是平行四邊形．這時點D即為點E，所以E點坐標(biāo)為（）．……………………………………………………………………………10分 ② 當(dāng)AO為平行四邊形的邊時，由OA=，知拋物線存在點E的橫坐標(biāo)為或，即或，分別把x=和x=代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=中，得點 E（，）或E（－，）． 所以在拋物線上存在三個點：E1（，－），E2（，），E3（－，），使以O(shè)、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形．……………………………………………12分 13、(2013年福州市初中畢業(yè)班質(zhì)量檢查) (12分)如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，DE＝2，線段DE在AC邊上運(yùn)動(端點D從點A開始)，速度為每秒1個單位，當(dāng)端點E到達(dá)點C時運(yùn)動停止．F為DE中點，MF⊥DE交AB于點M，MN∥AC交BC于點N，連接DM、ME、EN．設(shè)運(yùn)動時間為t秒． (1) 求證：四邊形MFCN是矩形； (2) 設(shè)四邊形DENM的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式；當(dāng)S取最大值時，求t的值； (3) 在運(yùn)動過程中，若以E、M、N為頂點的三角形與△DEM相似，求t的值． A B C D E M F N 第21題圖 備用圖 (1) 證明：∵M(jìn)F⊥AC，∴∠MFC＝90°． …………1分 ∵M(jìn)N∥AC，∴∠MFC＋∠FMN＝180°． ∴∠FMN＝90°． …………2分 ∵∠C＝90°，∴四邊形MFCN是矩形． …………3分 (若先證明四邊形MFCN是平行四邊形，得2分，再證明它是矩形，得3分) (2) 解：當(dāng)運(yùn)動時間為t秒時，AD＝t， ∵F為DE的中點，DE＝2，∴DF＝EF＝DE＝1． ∴AF＝t＋1，F(xiàn)C＝8－(t＋1)＝7－t． A B C D E M F N ∵四邊形MFCN是矩形，∴MN＝FC＝7－t． …………4分 又∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠A＝45°． ∴在Rt△AMF中，MF＝AF＝t＋1， …………5分 ∴S＝S△MDE＋ S△MNE ＝DE·MF＋MN·MF ＝×2(t＋1)＋ (7－t)(t＋1)＝－t2＋4t＋ …………6分 ∵S＝－t2＋4t＋＝－(t－4)2＋ ∴當(dāng)t＝4時，S有最大值． …………7分 (若面積S用梯形面積公式求不扣分) (3) 解：∵M(jìn)N∥AC，∴∠NME＝∠DEM． …………8分 ① 當(dāng)△NME∽△DEM時，∴＝ ． …………9分 ∴＝1，解得：t＝5． …………10分 ② 當(dāng)△EMN∽△DEM時，∴＝ ． …………11分 ∴EM2＝NM·DE． 在Rt△MEF中，ME2＝EF2＋MF2＝1＋(t＋1)2，∴1＋(t＋1)2＝2(7－t)． 解得：t1＝2，t2＝－6(不合題意，舍去) 綜上所述，當(dāng)t為2秒或5秒時，以E、M、N為頂點的三角形與△DEM相似． ……12分 14、（2013河南沁陽市九年級第一次質(zhì)量檢測）（10分）某特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進(jìn)價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低2元，則平均每天的銷售量可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元， 請回答：（1）每千克核桃應(yīng)降價多少元？ （2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏利市場，該店應(yīng)按原售價的幾折出售？ 15、（2013河南沁陽市九年級第一次質(zhì)量檢測）（11分）以原點為圓心,為半徑的圓分別交、軸的正半軸于A、B兩點,點P的坐標(biāo)為. (1)如圖一，動點Q從點B處出發(fā)，沿圓周按順時針方向勻速運(yùn)動一周,設(shè)經(jīng)過的時間為t秒，當(dāng)時，直線PQ恰好與⊙O第一次相切，連接OQ.求此時點Q的運(yùn)動速度（結(jié)果保留）； (2)若點Q按照⑴中的方向和速度繼續(xù)運(yùn)動， ①為何值時，以O(shè)、P、Q為頂點的三角形是直角三角形； ②在①的條件下，如果直線PQ與⊙O相交，請求出直線PQ被⊙O所截的弦長. （補(bǔ)充說明：直角三角形中，如果一條直角邊長等于斜邊長的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°.） 解：（1）連接OQ，則OQ⊥PQ OQ=1，OP=2，所以，可得 所以點Q的運(yùn)動速度為/秒. 3分 (2)由（1）可知，當(dāng)t=1時， △OPQ為直角三角形 所以，當(dāng)Q’與Q關(guān)于x軸對稱時，△OPQ’為直角三角形 此時 ， 當(dāng)Q’(0，-1)或Q’(0，1)時，， 此時或 即當(dāng)，或時，△OPQ是直角三角形. 7分 當(dāng)或時，直線PQ與⊙O相交. 作OM⊥PQ，根據(jù)等面積法可知： PQ×OM=OQ×OP PQ= QM 弦長. 11分 16、（2013年湖北省武漢市中考全真模擬）（本題滿分6分）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BE⊥AC于點E，點F在線段BE上，∠1=∠2，點D在線段EC上，給出兩個條件：①DF∥BC；②BF=DF.請你從中選擇一個作為條件，證明：△AFD≌△AFB． 解：選①DF//BC.證明略 17、（2013年湖北省武漢市中考全真模擬）(本題滿分10分) 如圖1，在長方形紙片ABCD中，，其中≥1，將它沿EF折疊（點E、F分別在邊AB、CD上），使點B落在AD邊上的點M處，點C落在點N處，MN與CD相交于點P，連接EP.設(shè)，其中0＜n≤1． (1) 如圖2，當(dāng)（即M點與D點重合），=2時，則= ； （2）如圖3，當(dāng)（M為AD的中點），的值發(fā)生變化時，求證：EP=AE+DP； (3) 如圖1，當(dāng)（AB=2AD），的值發(fā)生變化時，的值是否發(fā)生變化？說明理由． 解：⑴ ⑵延長PM交EA延長線于G，則△PDM≌△GAM，△EMP≌△EMG.∴EP=EG=EA+AG=EA+DP. ⑶設(shè)AD=1,AB=2,過E作EH⊥CD于H,∵∠EFP=∠FPN=∠MPD=∠EMA.∴△EFH∽ΔEMA ∴ ∵AE的長度發(fā)生變化,∴的值將發(fā)生變化. 18、（2013年湖北省武漢市中考全真模擬）（本題滿分12分）如圖1，拋物線：與直線AB：交于x軸上的一點A，和另一點B(3，n)． (1)求拋物線的解析式； (2)點P是拋物線上的一個動點（點P在A，B兩點之間，但不包括A，B兩點），PM⊥AB于點M，PN∥y軸交AB于點N，在點P的運(yùn)動過程中，存在某一位置，使得△PMN的周長最大，求此時P點的坐標(biāo)，并求△PMN周長的最大值； (3)如圖2，將拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180°后，再作適當(dāng)平移得到拋物線，已知拋物線的頂點E在第四象限的拋物線上，且拋物線與拋物線交于點D，過D點作軸的平行線交拋物線于點F，過E點作軸的平行線交拋物線于點G，是否存在這樣的拋物線，使得四邊形DFEG為菱形？若存在，請求E點的橫坐標(biāo)；若不存在請說明理由． 、 解：⑴由題意得：A(-1,0)、B(3,2) ∴ 解得:∴拋物線的解析式為y=-x+x+2 ⑵設(shè)AB交y軸于D，則D（0，），∴OA=1，OD=，AD=，∴=， ∵PN∥y軸, ∴∠PNM=∠CDN=∠ADO, ∴Rt△ADO∽Rt△PNM. ∴.∴=×PN=PN. ∴當(dāng)PN取最大值時, 取最大值. 設(shè)P(m, -m+m+2) N(m, m+).則PN=-m+m+2-(m+)=-m+m+. ∵-1﹤m﹤3. ∴當(dāng)m=1時,PN取最大值. ∴△PNM周長的最大值為×2=.此時P(1,3). ⑶設(shè)E(n,t),由題意得:拋物線為：y=-(x-)+,為：y=(x-n) +t. ∵E在拋物線上，∴t=-(n-)+.∵四邊形DFEG為菱形. ∴DF=FE=EG=DG 連ED,由拋物線的對稱性可知,ED=EF.∴△DEG與△DEF均為正三角形.∴D為拋物線的頂點.∴D(,).∵DF∥x軸,且D、F關(guān)于直線x=n對稱.∴DF=2（n-）. ∵DEF為正三角形.∴-=×2(n-).解得：n=. ∴t=-.∴存在點E，坐標(biāo)為E(,-). 19、（2013鳳陽縣縣直義教教研中心）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時BD＝CF，BD⊥CF成立. （1）當(dāng)正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)θ（）時，如圖2，BD＝CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由. （2）當(dāng)正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°時，如圖3，延長BD交CF于點G. ① 求證：BD⊥CF； ② 當(dāng)AB＝4，AD＝時，求線段BG的長. 圖1 圖2 圖3 解（1）BD＝CF成立. 理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形， ∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°, ∵∠BAD=，∠CAF=， ∴∠BAD=∠CAF，∴△BAD≌△CAF. ∴BD＝CF.……………………………………………………………………（4分） （2）①證明：設(shè)BG交AC于點M. ∵△BAD≌△CAF（已證），∴∠ABM＝∠GCM. ∵∠BMA ＝∠CMG ，∴△BMA ∽△CMG. ∴∠BGC＝∠BAC ＝90°.∴BD⊥CF.……………………………………（7分） ②過點F作FN⊥AC于點N. ∵在正方形ADEF中，AD＝， ∴AN＝FN＝. ∵在等腰直角△ABC 中，AB＝4， ∴CN＝AC－AN＝3，BC＝. Rt△FCN∽Rt△ABM，∴ ∴AM＝. ∴CM＝AC－AM＝4－＝， .…… （9分） ∵△BMA ∽△CMG，∴. ∴. ∴CG＝.…………………………………… （11分） ∴在Rt△BGC中，. …………………….. （12分） 20、（2013鳳陽縣縣直義教教研中心）如圖，已知：直線y=-x+3交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C（1，0）三點. （1）求拋物線的解析式; （2）若點D的坐標(biāo)為（-1，0），在直線y=-x+3上有一點P，使ΔABO與ΔADP相似，求出點P的坐標(biāo)； （3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點E，使ΔADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請求出點E的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由． 解：（1）：由題意得，A（3，0），B（0，3） ∵拋物線經(jīng)過A、B、C三點，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三點分別代入得方程組 解得： ∴拋物線的解析式為 …………………………… （4分） （2）由題意可得：△ABO為等腰三角形,如圖所示， 若△ABO∽△AP1D，則 ∴DP1=AD=4 , ∴P1 若△ABO∽△ADP2 ，過點P2作P2 M⊥x軸于M，AD=4, ∵△ABO為等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形,由三線合一可得：DM=AM=2= P2M，即點M與點C重合∴P2（1，2） ……………………（8分） （3）如圖設(shè)點E ，則 ①當(dāng)P1(-1,4)時， S四邊形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE = ∴ ∴ ∵點E在x軸下方 ∴ 代入得： ,即 ∵△=(-4)2-4×7=-12<0 ∴此方程無解 ②當(dāng)P2（1，2）時，S四邊形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE = ∴ ∴ ∵點E在x軸下方 ∴ 代入得： 即 ，∵△=(-4)2-4×5=-4<0 ∴此方程無解 綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點E?！?4分） 21．（2013鄭州外國語預(yù)測卷）某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動，過程如下： 如圖1，等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏將一塊三角板中含45°角的頂點放在A上，從AB邊開始繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點D，直角邊所在的直線交直線BC于點E． （1）小敏在線段BC上取一點M，連接AM，旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)：若AD平分∠BAM，則AE也平分∠MAC．請你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結(jié)論； （2）當(dāng)0°＜α≤45°時，小敏在旋轉(zhuǎn)中還發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE之間存在如下等量關(guān)系：BD2+CE2=DE2．同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進(jìn)行解決： 小穎的想法：將△ABD沿AD所在的直線對折得到△ADF，連接EF（如圖2）； 小亮的想法：將△ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，連接EG（如圖3）； 請你從中任選一種方法進(jìn)行證明； （3）小敏繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，在探究中得出當(dāng)45°＜α＜135°且α≠90°時，等量關(guān)系BD2+CE2=DE2仍然成立，先請你繼續(xù)研究：當(dāng)135°＜α＜180°時（如圖4），等量關(guān)系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由． 答案： 解：（1）證明：∵∠BAC＝90º，∠DAE＝∠DAM＋∠MAE＝45º，∴∠BAD＋∠EAC＝45º。 又∵AD平分∠MAB，∴∠BAD＝∠DAM?！唷螹AE＝∠EAC。 ∴AE平分∠MAC。 （2）證明小穎的方法： ∵將△ABD沿AD所在的直線對折得到△ADF， ∴AF＝AB，∠AFD＝∠B＝45º，∠BAD＝∠FAD。 又∵AC=AB，∴AF＝AC。 由（1）知，∠FAE＝∠CAE。 在△AEF和△AEC中，∵AF＝ AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE， ∴△AEF≌△AEC（SAS）。∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。 ∴∠DFE＝∠AFD ＋∠AFE＝90º。 在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。 （3）當(dāng)135º＜＜180º時，等量關(guān)系BD2＋CE2＝DE2仍然成立。證明如下： 如圖，按小穎的方法作圖，設(shè)AB與EF相交于點G。 ∵將△ABD沿AD所在的直線對折得到△ADF， ∴AF＝AB，∠AFD＝∠ABC＝45º，∠BAD＝∠FAD。 又∵AC=AB，∴AF＝AC。 又∵∠CAE＝900－∠BAE＝900－（45º－∠BAD）＝45º＋∠BAD＝45º＋∠FAD ＝∠FAE。 在△AEF和△AEC中，∵AF＝ AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE， ∴△AEF≌△AEC（SAS）?！郈E＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。 又∵在△AGF和△BGE中，∠ABC＝∠AFE＝45º，∠AGF＝∠BGE， ∴∠FAG＝∠BEG。 又∵∠FDE＋∠DEF=∠FDE＋∠FAG＝（∠ADB＋∠DAB）＝∠ABC＝90º。 ∴∠DFE＝90º。 在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。 27