高等數(shù)學(xué)下冊課件

高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)下冊下冊 多元微積分的概念、理論、方法是一元微多元微積分的概念、理論、方法是一元微積分中相應(yīng)概念、理論、方法的推廣和發(fā)展，積分中相應(yīng)概念、理論、方法的推廣和發(fā)展，它們既有相似之處（概念及處理問題的思想方它們既有相似之處（概念及處理問題的思想方法）又有許多本質(zhì)的不同，要善于進(jìn)行比較，法）又有許多本質(zhì)的不同，要善于進(jìn)行比較，既要認(rèn)識到它們的共同點和相互聯(lián)系，更要注既要認(rèn)識到它們的共同點和相互聯(lián)系，更要注意它們的區(qū)別，研究新情況和新問題，深刻理意它們的區(qū)別，研究新情況和新問題，深刻理解，融會貫通。解，融會貫通。多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 在上冊中，我們討論的是一元函數(shù)微積分在上冊中，我們討論的是一元函數(shù)微積分，但實際問題中常會遇到依賴于兩個以上自變量，但實際問題中常會遇到依賴于兩個以上自變量的函數(shù)的函數(shù)多元函數(shù)，也提出了多元微積分問題。多元函數(shù)，也提出了多元微積分問題。重點重點 多元函數(shù)基本概念，偏導(dǎo)數(shù)，全微分，多元函數(shù)基本概念，偏導(dǎo)數(shù)，全微分，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，隱函數(shù)求導(dǎo)，偏導(dǎo)數(shù)的幾何復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，隱函數(shù)求導(dǎo)，偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，多元函數(shù)極值。應(yīng)用，多元函數(shù)極值。難點難點復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，多元函數(shù)極值。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，多元函數(shù)極值。函數(shù)的微分法從一元函數(shù)發(fā)展到函數(shù)的微分法從一元函數(shù)發(fā)展到 二元函數(shù)本質(zhì)上要出現(xiàn)一些新東西，但二元函數(shù)本質(zhì)上要出現(xiàn)一些新東西，但 從二元函數(shù)到二元以上函數(shù)則可以類推，從二元函數(shù)到二元以上函數(shù)則可以類推，因此這里基本上只討論二元函數(shù)。因此這里基本上只討論二元函數(shù)。（1）鄰域）鄰域 設(shè)設(shè)),(000yxP是是xoy平面上的一個點，平面上的一個點，是某是某一正數(shù)，與點一正數(shù)，與點),(000yxP距離小于距離小于 的點的點),(yxP的全體，稱為點的全體，稱為點0P的的 鄰域，記為鄰域，記為),(0 PU，),(0 PU|0PPP .)()(|),(2020 yyxxyx 0P（2）區(qū)域）區(qū)域.)(的的內(nèi)內(nèi)點點為為則則稱稱，的的某某一一鄰鄰域域一一個個點點如如果果存存在在點點是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一個個點點集集，設(shè)設(shè)EPEPUPPE 一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念.為為開開集集則則稱稱的的點點都都是是內(nèi)內(nèi)點點，如如果果點點集集EE例如，例如，41),(221 yxyxE即為開集即為開集EP 的的邊邊界界點點為為），則則稱稱可可以以不不屬屬于于，也也本本身身可可以以屬屬于于的的點點（點點也也有有不不屬屬于于的的點點，于于的的任任一一個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)既既有有屬屬如如果果點點EPEEPEEP的邊界的邊界的邊界點的全體稱為的邊界點的全體稱為 EE是連通的是連通的開集開集，則稱，則稱且該折線上的點都屬于且該折線上的點都屬于連結(jié)起來，連結(jié)起來，任何兩點，都可用折線任何兩點，都可用折線內(nèi)內(nèi)是開集如果對于是開集如果對于設(shè)設(shè)DDDDEP 例如，例如，.41|),(22 yxyx開開區(qū)區(qū)域域連連同同它它的的邊邊界界一一起起稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)域域.例如，例如，.41|),(22 yxyxxyoxyo則則稱稱為為無無界界點點集集為為有有界界點點集集，否否成成立立，則則稱稱對對一一切切即即，不不超超過過間間的的距距離離與與某某一一定定點點，使使一一切切點點如如果果存存在在正正數(shù)數(shù)對對于于點點集集EEPKAPKAPAEPKE 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域 41|),(22 yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；0|),(yxyx無界開區(qū)域無界開區(qū)域（3）聚點）聚點 設(shè)設(shè) E 是平面上的一個點集，是平面上的一個點集，P 是平面上的是平面上的一個點，如果點一個點，如果點 P 的任何一個鄰域內(nèi)總有無限的任何一個鄰域內(nèi)總有無限多個點屬于點集多個點屬于點集 E，則稱，則稱 P 為為 E 的聚點的聚點.xyo 內(nèi)點一定是聚點；內(nèi)點一定是聚點；邊界點可能是聚點；邊界點可能是聚點；例例10|),(22 yxyx(0,0)既是邊界點也是聚點既是邊界點也是聚點 點集點集E的聚點可以屬于的聚點可以屬于E，也可以不屬于，也可以不屬于E例如例如,10|),(22 yxyx(0,0)是聚點但不屬于集合是聚點但不屬于集合例如例如,1|),(22 yxyx邊界上的點都是聚點也都屬于集合邊界上的點都是聚點也都屬于集合（4）n維空間維空間 設(shè)設(shè)n為取定的一個自然數(shù)，我們稱為取定的一個自然數(shù)，我們稱n元數(shù)組元數(shù)組),(21nxxx的全體為的全體為n維空間，而每個維空間，而每個n元數(shù)元數(shù)組組),(21nxxx稱為稱為n維空間中的一個點，數(shù)維空間中的一個點，數(shù)ix稱為該點的第稱為該點的第i個坐標(biāo)個坐標(biāo).n維空間的記號為維空間的記號為;nR n維空間中兩點間距離公式維空間中兩點間距離公式),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 特殊地當(dāng)特殊地當(dāng) 時，便為數(shù)軸、平面、時，便為數(shù)軸、平面、空間兩點間的距離空間兩點間的距離3,2,1 n n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念鄰域：鄰域：nRPPPPPU ,|),(00 內(nèi)點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義內(nèi)點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義設(shè)兩點為設(shè)兩點為（5）二元函數(shù)的定義）二元函數(shù)的定義 設(shè)設(shè)D是是平平面面上上的的一一個個點點集集，如如果果對對于于每每個個點點DyxP),(，變變量量z按按照照一一定定的的法法則則總總有有確確定定的的值值和和它它對對應(yīng)應(yīng)，則則稱稱z是是變變量量yx,的的二二元元函函數(shù)數(shù)，記記為為),(yxfz （或或記記為為)(Pfz ）.類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)當(dāng)當(dāng)2 n時時，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù).多多元元函函數(shù)數(shù)中中同同樣樣有有定定義義域域、值值域域、自自變變量量、因因變變量量等等概概念念.例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域為所求定義域為.,42|),(222yxyxyxD （6）二元函數(shù)二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的定定義義域域為為D，對對于于任任意意取取定定的的DyxP),(，對對應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值為為),(yxfz ，這這樣樣，以以x為為橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)、y為為縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)、z為為豎豎坐坐標(biāo)標(biāo)在在空空間間就就確確定定一一點點),(zyxM，當(dāng)當(dāng)x取取遍遍D上上一一切切點點時時，得得一一個個空空間間點點集集),(),(|),(Dyxyxfzzyx ，這這個個點點集集稱稱為為二二元元函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形.（如右圖）（如右圖）二元函數(shù)的圖形通二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面常是一張曲面.定 義定 義 1 1 設(shè) 函 數(shù)設(shè) 函 數(shù)),(yxfz 的 定 義 域 為的 定 義 域 為),(,000yxPD是其聚點，如果對于任意給定的是其聚點，如果對于任意給定的正數(shù)正數(shù)，總存在正數(shù)，總存在正數(shù)，使得對于適合不等式，使得對于適合不等式 20200)()(|0yyxxPP的 一 切的 一 切點，都有點，都有|),(|Ayxf成立，則稱成立，則稱 A A 為函數(shù)為函數(shù)),(yxfz 當(dāng)當(dāng)0 xx，0yy 時的極限，時的極限，記為記為 Ayxfyyxx),(lim00 （或（或)0(),(Ayxf這里這里|0PP ）.二、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的極限（1）定義中）定義中 的方式可能是多種多樣的方式可能是多種多樣的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態(tài)的，的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態(tài)的，所謂極限存在是指當(dāng)動點從四面八方以可能有所謂極限存在是指當(dāng)動點從四面八方以可能有的任何方式和任何路徑趨于定點時，函數(shù)都趨的任何方式和任何路徑趨于定點時，函數(shù)都趨于同一常數(shù)。于同一常數(shù)。這是產(chǎn)生本質(zhì)差異的根本原這是產(chǎn)生本質(zhì)差異的根本原因。因。0PP（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似如局部有界性、局部保號性、夾逼準(zhǔn)則、無窮小、如局部有界性、局部保號性、夾逼準(zhǔn)則、無窮小、等價無窮小代換等，建議自行復(fù)習(xí)，寫出有關(guān)結(jié)論等價無窮小代換等，建議自行復(fù)習(xí)，寫出有關(guān)結(jié)論以鞏固和加深理解。以鞏固和加深理解。說明：說明：01sin)(lim222200 yxyxyx證證01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx ,0 ,當(dāng)當(dāng) 時，時，22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立例例2 2 求證求證 例例3 3 求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limyxu2 uuusinlim0,1 222yxyx x21,00 x.0)sin(lim22200 yxyxyx例例4 4 證明證明 不存在不存在 26300limyxyxyx 證證取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在確定極限確定極限不存在不存在的方法：的方法：（1）令令),(yxP沿沿kxy 趨趨向向于于),(000yxP，若若極極限限值值與與k有有關(guān)關(guān)，則則可可斷斷言言極極限限不不存存在在；（2）找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但兩者不相等，此時也可斷言但兩者不相等，此時也可斷言),(yxf在點在點),(000yxP處極限不存在處極限不存在 定義定義 2 2 設(shè)設(shè)n元函數(shù)元函數(shù))(Pf的定義域為點集的定義域為點集0,PD是其聚點，如果對于任意給定的正數(shù)是其聚點，如果對于任意給定的正數(shù)，總 存 在 正 數(shù)總 存 在 正 數(shù)，使 得 對 于 適 合 不 等 式，使 得 對 于 適 合 不 等 式|00PP的 一 切 點的 一 切 點DP ，都 有，都 有|)(|APf成立，則稱成立，則稱 A A 為為n元函數(shù)元函數(shù))(Pf當(dāng)當(dāng)0PP 時的極限，記為時的極限，記為 APfPP)(lim0.n元元函函數(shù)數(shù)的的極極限限利用點函數(shù)的形式有利用點函數(shù)的形式有 設(shè)設(shè)n元元函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域為為點點集集0,PD是是其其聚聚點點且且DP 0，如如果果)()(lim00PfPfPP 則則稱稱n元元函函數(shù)數(shù))(Pf在在點點0P處處連連續(xù)續(xù).設(shè)設(shè)0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域的的聚聚點點，如如果果)(Pf在在點點0P處處不不連連續(xù)續(xù)，則則稱稱0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的間間斷斷點點.例例5 5 討論函數(shù)討論函數(shù) )0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性三、多元函數(shù)的連續(xù)性三、多元函數(shù)的連續(xù)性解解取取,cos x sin y)0,0(),(fyxf)cos(sin33 2,0 ,2 當(dāng)當(dāng) 時時 220yx 2)0,0(),(fyxf),0,0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處連續(xù)處連續(xù).例例6 6 討論函數(shù)討論函數(shù) 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次（2）介值定理）介值定理 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，如上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在果在D D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D D上上取得介于這兩值之間的任何值至少一次取得介于這兩值之間的任何值至少一次多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 處處連連續(xù)續(xù)，于于是是點點在在的的定定義義域域的的內(nèi)內(nèi)點點，則則是是數(shù)數(shù)，且且是是初初等等函函時時，如如果果一一般般地地，求求多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)極限的概念（注意趨近方式的（注意趨近方式的任意性任意性）多元函數(shù)連續(xù)的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四、小結(jié)四、小結(jié) 若若點點),(yx沿沿著著無無數(shù)數(shù)多多條條平平面面曲曲線線趨趨向向于于點點),(00yx時時，函函數(shù)數(shù)),(yxf都都趨趨向向于于 A，能能否否斷斷定定Ayxfyxyx),(lim),(),(00？思考題思考題不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0,0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因為若取原因為若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41思考題解答思考題解答練練 習(xí)習(xí) 題題一一、填填空空題題:1 1、若若yxxyyxyxftan),(22 ,則則),(tytxf=_ _ _ _ _.2 2、若若xyyxyxf2),(22 ,則則 )3,2(f_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _;),1(xyf_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.3 3、若若)0()(22 yyyxxyf,則則)(xf_ _ _ _ _ _ _ _ _.4 4、若若22),(yxxyyxf ,則則),(yxf_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.函函數(shù)數(shù))1ln(4222yxyxz 的的定定義義域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.6 6、函函數(shù)數(shù)yxz 的的定定義義域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.7 7、函函數(shù)數(shù)xyzarcsin 的的定定義義域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.8 8、函函數(shù)數(shù)xyxyz2222 的的間間斷斷點點是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.二、二、求下列各極限求下列各極限:1 1、xyxyyx42lim00 ；2 2、xxyyxsinlim00；3 3、22222200)()cos(1limyxyxyxyx .三三、證證明明：0lim2200 yxxyyx.四四、證證明明極極限限yxxyyx 11lim00不不存存在在 .練習(xí)題答案練習(xí)題答案一一、1 1、),(2yxft；2 2、1213,),(yxf；3 3、xx21；4 4、yyx 112；5 5、xyyxyx4,10),(222 ；6 6、yxyxyx 2,0,0),(；7 7、xyxxyx ,0),(xyxxyx ,0),(；8 8、02),(2 xyyx.二二、1 1、41；2 2、0 0；3 3、.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則先回憶一下一元復(fù)合函數(shù)的微分法則先回憶一下一元復(fù)合函數(shù)的微分法則可可導(dǎo)導(dǎo)而而若若)()(xuufy 則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) )(xfy 對對 x 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為dxdududydxdy 這一節(jié)我們將把這一求導(dǎo)法則推廣到多元函這一節(jié)我們將把這一求導(dǎo)法則推廣到多元函數(shù)的情形，主要介紹多元復(fù)合函數(shù)的微分法和隱數(shù)的情形，主要介紹多元復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法。我們知道，求偏導(dǎo)數(shù)與求一元函函數(shù)的微分法。我們知道，求偏導(dǎo)數(shù)與求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上并沒有區(qū)別，對一元函數(shù)適用的數(shù)的導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上并沒有區(qū)別，對一元函數(shù)適用的微分法包括復(fù)合函數(shù)的微分法在內(nèi)，在多元函數(shù)微分法包括復(fù)合函數(shù)的微分法在內(nèi)，在多元函數(shù)微分法中仍然適用，那么為什么還要介紹多元微分法中仍然適用，那么為什么還要介紹多元復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法呢？復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法呢？這主要是對于沒有具體給出式子的所謂抽象函數(shù)這主要是對于沒有具體給出式子的所謂抽象函數(shù)如如),(22xyyxfz 它是由它是由),(vufz xyvyxu ,22及復(fù)合而成的復(fù)合而成的由于由于 f 沒有具體給出沒有具體給出時時在求在求yzxz ,一元復(fù)合函數(shù)的微分法則就無能為力了，為一元復(fù)合函數(shù)的微分法則就無能為力了，為此還要介紹多元復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的此還要介紹多元復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法。微分法。一、鏈?zhǔn)椒▌t一、鏈?zhǔn)椒▌t定理如果函數(shù)定理如果函數(shù))(tu 及及)(tv 都在點都在點t可可導(dǎo)，函數(shù)導(dǎo)，函數(shù)),(vufz 在對應(yīng)點在對應(yīng)點),(vu具有連續(xù)偏具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù))(),(ttfz 在對應(yīng)點在對應(yīng)點t可可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計算：導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計算：dtdvvzdtduuzdtdz 證證，獲獲得得增增量量設(shè)設(shè)tt),()(tttu 則則);()(tttv 由由于于函函數(shù)數(shù)),(vufz 在在點點),(vu有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),21vuvvzuuzz 當(dāng)當(dāng)0 u，0 v時時，01，02 tvtutvvztuuztz 21 當(dāng)當(dāng)0 t時時，0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv .lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz zuvwt以上公式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為稱為dtdz 上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：而是多元函數(shù)的情況：).,(),(yxyxfz 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在在點點),(yx具具有有對對x和和y的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且函函數(shù)數(shù)),(vufz 在在對對應(yīng)應(yīng)點點),(vu具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)),(),(yxyxfz 在在對對應(yīng)應(yīng)點點),(yx的的兩兩個個偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在，且且可可用用下下列列公公式式計計算算 xvvzxuuzxz ，yvvzyuuzyz .鏈?zhǔn)椒▌t如圖示鏈?zhǔn)椒▌t如圖示zuvxy xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 稱為標(biāo)準(zhǔn)法則或稱為標(biāo)準(zhǔn)法則或 法法則則22 這個公式的特征：這個公式的特征：函數(shù)函數(shù)),(),(yxvyxufz 有兩個自變量有兩個自變量 x 和和 y故法則中包含故法則中包含yzxz ,兩個公式；兩個公式；由于在復(fù)合過程中有兩個中間變量由于在復(fù)合過程中有兩個中間變量 u 和和 v故法則中每一個公式都是兩項之和，這兩故法則中每一個公式都是兩項之和，這兩項分別含有項分別含有 vzuz ,每一項的構(gòu)成與一元復(fù)合函數(shù)的鏈導(dǎo)法則類似，每一項的構(gòu)成與一元復(fù)合函數(shù)的鏈導(dǎo)法則類似，即即“函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)自變量的導(dǎo)數(shù)”多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則簡言之即：多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則簡言之即：“分道相加，連線相乘分道相加，連線相乘”類類似似地地再再推推廣廣，設(shè)設(shè)),(yxu 、),(yxv 、),(yxww 都都在在點點),(yx具具有有對對x和和y的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)),(),(),(yxwyxyxfz 在在對對應(yīng)應(yīng)點點),(yx的的兩兩個個偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在，且且可可用用下下列列公公式式計計算算 xwwzxvvzxuuzxz ,ywwzyvvzyuuzyz .zwvuyx特殊地特殊地),(yxufz 其中其中),(yxu 即即,),(yxyxfz 令令,xv,yw,1 xv,0 xw,0 yv.1 yw,xfxuufxz .yfyuufyz 兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別把把復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù),),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)區(qū)別類似區(qū)別類似注注 此公式可以推廣到任意多個中間變量和任此公式可以推廣到任意多個中間變量和任意多個自變量的情形意多個自變量的情形如如),(21muuufz),(21niixxxuu),2,1(mi 則則),2,1(,1njxuuzxzjimiij 從以上推廣中我們可以得出：所有公式中從以上推廣中我們可以得出：所有公式中兩兩乘積的項數(shù)等于中間變量的個數(shù)，而與自兩兩乘積的項數(shù)等于中間變量的個數(shù)，而與自變量的個數(shù)無關(guān)變量的個數(shù)無關(guān)關(guān)于多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問題關(guān)于多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問題這是一項基本技能，要求熟練掌握，尤其是求二這是一項基本技能，要求熟練掌握，尤其是求二階偏導(dǎo)數(shù)，既是重點又是難點。對求導(dǎo)公式不求階偏導(dǎo)數(shù)，既是重點又是難點。對求導(dǎo)公式不求強記，而要切實做到徹底理解。注意以下幾點將強記，而要切實做到徹底理解。注意以下幾點將會有助于領(lǐng)會和理解公式，在解題時自如地運用會有助于領(lǐng)會和理解公式，在解題時自如地運用公式公式用圖示法表示出函數(shù)的復(fù)合關(guān)系用圖示法表示出函數(shù)的復(fù)合關(guān)系函數(shù)對某個自變量的偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)構(gòu)函數(shù)對某個自變量的偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)構(gòu)（項數(shù)及項的構(gòu)成）（項數(shù)及項的構(gòu)成）的結(jié)構(gòu)是求抽象的復(fù)合函的結(jié)構(gòu)是求抽象的復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵 ),(),(vufvufvu弄清弄清 ),(),(vufvufvu仍是復(fù)合函數(shù)仍是復(fù)合函數(shù)且復(fù)合結(jié)構(gòu)與原來的且復(fù)合結(jié)構(gòu)與原來的 f(u,v)完全相同完全相同即仍是以即仍是以 u,v 為中間變量，以為中間變量，以 x,y 為自變量為自變量的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)因此求它們關(guān)于因此求它們關(guān)于 x,y 的偏導(dǎo)數(shù)時必須使鏈?zhǔn)椒▌t的偏導(dǎo)數(shù)時必須使鏈?zhǔn)椒▌t),(vufuzu uvxyxvfxufvufxxvfxufvufxvvvuvuvuuu ),(),(在具體計算中最容易出錯的地方是對在具體計算中最容易出錯的地方是對),(vufu再求偏導(dǎo)數(shù)這一步再求偏導(dǎo)數(shù)這一步 是與是與 f(u,v)具具有相同結(jié)構(gòu)的復(fù)合函數(shù)易被誤認(rèn)為僅是有相同結(jié)構(gòu)的復(fù)合函數(shù)易被誤認(rèn)為僅是 u 的的函數(shù)，從而導(dǎo)致漏掉函數(shù)，從而導(dǎo)致漏掉),(vufu這這一一項項uvf原因就是不注意原因就是不注意 求抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時，一定要設(shè)中間變量求抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時，一定要設(shè)中間變量注意引用這些公式的條件注意引用這些公式的條件外層函數(shù)可微（偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)）外層函數(shù)可微（偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)）內(nèi)層函數(shù)可導(dǎo)內(nèi)層函數(shù)可導(dǎo) vuuvff,的合并問題的合并問題視題設(shè)條件視題設(shè)條件例例 1 1 設(shè)設(shè)vezusin，而，而xyu ，yxv ，求求 xz 和和yz .解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 例例 2 2 設(shè)設(shè)tuvzsin ，而而teu ，tvcos，求求全全導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)dtdz.解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 例例3 設(shè)設(shè)),(),(),(),(),(ryyrxxyxvvyxuuvufw 均滿足復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的條件均滿足復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的條件 計算計算 wrw,（兩重復(fù)合問題）（兩重復(fù)合問題）解解由鏈?zhǔn)椒▌t由鏈?zhǔn)椒▌twuvxyrrvvwruuwrw ryyurxxuru ryyvrxxvrv 故故)()(ryyvrxxvvwryyurxxuuwrw 同理可得同理可得)()(yyvxxvvwyyuxxuuww 例例 4 4 設(shè)設(shè)),(xyzzyxfw ，f具具有有二二階階 連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，求求xw 和和zxw 2.解解令令,zyxu ;xyzv 記記,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 二、全微分形式不變性二、全微分形式不變性 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(vufz 具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則有有全全微微分分dvvzduuzdz ;當(dāng)當(dāng)),(yxu 、),(yxv 時時，有有dyyzdxxzdz .全微分形式不變形的實質(zhì)全微分形式不變形的實質(zhì)：無論無論 是自變量是自變量 的函數(shù)或中間變量的函數(shù)或中間變量 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.zvu、vu、dyyzdxxzdz dxxvvzxuuz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 利用全微分形式不變性，在逐步作微分運算的利用全微分形式不變性，在逐步作微分運算的過程中，不論變量間的關(guān)系如何錯綜復(fù)雜，都可以過程中，不論變量間的關(guān)系如何錯綜復(fù)雜，都可以不加辨認(rèn)和區(qū)分，而一律作為自變量來處理不加辨認(rèn)和區(qū)分，而一律作為自變量來處理且作微分運算的結(jié)果對自變量的微分且作微分運算的結(jié)果對自變量的微分 ,dzdydx來說是線性的來說是線性的從而為解題帶來很多方便，而且也不易出錯從而為解題帶來很多方便，而且也不易出錯uxyzxtxzxzzfxyyfxfxu xtxxy xtyfxyfxfxu 例例5 設(shè)設(shè)),(),(),(zxttxyzyxfu 各函數(shù)滿足求導(dǎo)條件各函數(shù)滿足求導(dǎo)條件求求xu 解一解一 變量間的關(guān)系如下圖所示變量間的關(guān)系如下圖所示這里變量間的關(guān)系比較混亂這里變量間的關(guān)系比較混亂用全微分來解用全微分來解由全微分定理由全微分定理dzzfdyyfdxxfdu dzzfdttdxxyfdxxf dzzfdzzdxxtdxxyfdxxf )(注意到注意到 x,z 是獨立自變量是獨立自變量 解二解二由全微分定義由全微分定義xtyfxyfxfxu zfztyfzu 注注解法二在實際計算中顯得十分靈便且不易出錯解法二在實際計算中顯得十分靈便且不易出錯dxxtyfxyfxfdu)(dzzfztyf)(故故 三、小結(jié)三、小結(jié)1、鏈?zhǔn)椒▌t、鏈?zhǔn)椒▌t（分三種情況）（分三種情況）（特別要注意課中所講的特殊情況）（特別要注意課中所講的特殊情況）2、全微分形式不變性、全微分形式不變性（理解其實質(zhì)）（理解其實質(zhì)）思考題思考題設(shè)設(shè)),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ，則則xfdxdvvfdxduufdxdz ，試試問問dxdz與與xf 是是否否相相同同？為為什什么么？思考題解答思考題解答不不相相同同.等等式式左左端端的的z是是作作為為一一個個自自變變量量x的的函函數(shù)數(shù)，而而等等式式右右端端最最后后一一項項f是是作作為為xvu,的的三三元元函函數(shù)數(shù)，寫寫出出來來為為 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 練練 習(xí)習(xí) 題題一、填空題一、填空題:1 1、設(shè)、設(shè)xyyxzcoscos,則則 xz_；yz_.2 2、設(shè)設(shè)22)23ln(yyxxz ,則則 xz_；yz_._.3 3、設(shè)、設(shè)32sinttez ,則則 dtdz_._.二二、設(shè)設(shè)uvuez ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz ,.三、設(shè)三、設(shè))arctan(xyz ,而而xey ,求求dxdz.四、設(shè)四、設(shè)),(22xyeyxfz (其其具具中中f有一階連續(xù)偏導(dǎo)有一階連續(xù)偏導(dǎo) 數(shù)數(shù)),求求yzxz ,.五、設(shè)五、設(shè))(xyzxyxfu ,(,(其其具具中中f有一階連續(xù)偏導(dǎo)有一階連續(xù)偏導(dǎo) 數(shù)數(shù)),),求求.,zuyuxu 六、設(shè)六、設(shè)),(yxxfz ,(,(其其具具中中f有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)),),求求 22222,yzyxzxz .七、設(shè)七、設(shè),)(22yxfyz 其中為可導(dǎo)函數(shù)其中為可導(dǎo)函數(shù),驗證驗證:211yzyzyxzx .八、設(shè)八、設(shè) ,),(其中其中yyxxz 具有二階導(dǎo)數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù),求求 .,2222yzxz 練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ；2 2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx 2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx ；3 3、.)43(1)41(3232ttt 二、二、,)(22222222yxxyeyyxyxyxxz )(22222)(22yxxyeyxxyxyyz .三、三、xxexxedxdz221)1(.四、四、.2,22121fxef yyzfyefxxzxyxy 五、五、.),(),1(fxyzuxzxfyuyzyfxu 六、六、,12222121122fyfyfxz ,1)1(22221222fyfyfyxyxz .222422322fyxfyxyz 八八、,)1(121122 xz 222111221122)(yz.偏偏 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù) 我們已經(jīng)知道一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一個很重我們已經(jīng)知道一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一個很重要的概念，是研究函數(shù)的有力工具，它反映了該要的概念，是研究函數(shù)的有力工具，它反映了該點處函數(shù)隨自變量變化的快慢程度。對于多元函點處函數(shù)隨自變量變化的快慢程度。對于多元函數(shù)同樣需要討論它的變化率問題。雖然多元函數(shù)數(shù)同樣需要討論它的變化率問題。雖然多元函數(shù)的自變量不止一個，但實際問題常常要求在其它的自變量不止一個，但實際問題常常要求在其它自變量不變的條件下，只考慮函數(shù)對其中一個自自變量不變的條件下，只考慮函數(shù)對其中一個自變量的變化率，因此這種變化率依然是一元函數(shù)變量的變化率，因此這種變化率依然是一元函數(shù)的變化率問題，這就是偏導(dǎo)數(shù)概念，對此給出如的變化率問題，這就是偏導(dǎo)數(shù)概念，對此給出如下定義。下定義。定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx的某一鄰的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在固定在0y而而x在在0 x處有增量處有增量x 時，相應(yīng)地函數(shù)有增量時，相應(yīng)地函數(shù)有增量 ),(),(0000yxfyxxf ，如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，則稱存在，則稱此極限為函數(shù)此極限為函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對x的的偏導(dǎo)數(shù)，記為偏導(dǎo)數(shù)，記為00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法同同理理可可定定義義函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx處處對對y的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，為為yyxfyyxfy ),(),(lim00000 記記為為00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy.如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在區(qū)區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)任任一一點點),(yx處處對對x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在，那那么么這這個個偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)就就是是x、y的的函函數(shù)數(shù)，它它就就稱稱為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 對對自自變變量量x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，記記作作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.hyxfyhxfyxfhx),(),(lim),(0 同同理理可可以以定定義義函函數(shù)數(shù)),(yxfz 對對自自變變量量y的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，記記作作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.hyxfhyxfyxfhy),(),(lim),(0 偏導(dǎo)數(shù)的求法偏導(dǎo)數(shù)的求法 由偏導(dǎo)數(shù)的定義可知，求二元函數(shù)的由偏導(dǎo)數(shù)的定義可知，求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)并不需要新的方法偏導(dǎo)數(shù)并不需要新的方法求求 時把時把 y 視為常數(shù)而對視為常數(shù)而對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)xf 求求 時把時把 x 視為常數(shù)而對視為常數(shù)而對 y 求導(dǎo)求導(dǎo)yf 這仍然是一元函數(shù)求導(dǎo)問題這仍然是一元函數(shù)求導(dǎo)問題如如 在在 處處 ),(zyxfu),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)一般地一般地 設(shè)設(shè)),(21nxxxfw ininiixixxxxfxxxxfxwi ),(),(lim110 ),2,1(ni 例例 1 1 求求 223yxyxz 在在點點)2,1(處處的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 例例 2 2 設(shè)設(shè)yxz )1,0(xx，求求證證 zyzxxzyx2ln1 .證證 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立例例 3 3 設(shè)設(shè)22arcsinyxxz ，求，求xz ，yz .解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx|)|(2yy .|22yxy yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0(y00 yxyz不存在不存在例例 4 4 已知理想氣體的狀態(tài)方程已知理想氣體的狀態(tài)方程RTpV （R為常數(shù)），求證：為常數(shù)），求證：1 pTTVVp.證證 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV pVRT .1 有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點說明：有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點說明：、偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xu 是是一一個個整整體體記記號號，不不能能拆拆分分;、求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；定義求；計算計算 f x (x0 ,y0)時可先將時可先將 y=y0 代入代入 f(x,y)再對再對 x 求導(dǎo)然后代入求導(dǎo)然后代入 x=x0 計算計算 f y (x0 ,y0 )時同理時同理).0,0(),0,0(,),(,yxffxyyxfz求求設(shè)設(shè)例例如如 解解xxfxx0|0|lim)0,0(0 0).0,0(yf 3、4、偏導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)仍是一元函數(shù)求導(dǎo)問題，具體偏導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)仍是一元函數(shù)求導(dǎo)問題，具體求導(dǎo)時要弄清是對哪個變量求導(dǎo)，其余均視為常求導(dǎo)時要弄清是對哪個變量求導(dǎo)，其余均視為常量，但由于變量較多，易產(chǎn)生混亂量，但由于變量較多，易產(chǎn)生混亂-重要的是重要的是區(qū)分清函數(shù)的類型區(qū)分清函數(shù)的類型這是出錯的主要原因。這是出錯的主要原因。5、若若 f(x,y)=f(y,x)則稱則稱 f(x,y)關(guān)于關(guān)于 x,y 具有輪換對稱性具有輪換對稱性在求在求 時時22,yuyu 只需將所求的只需將所求的 22,xuxu 中的中的 x,y 互換即可互換即可6、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系一元函數(shù)中在某點可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點可導(dǎo) 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，例例如如,函函數(shù)數(shù) 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,依依定定義義知知在在)0,0(處處，0)0,0()0,0(yxff.但函數(shù)在該點處并不連續(xù)但函數(shù)在該點處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù).7、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,),(),(,(00000上上一一點點為為曲曲面面設(shè)設(shè)yxfzyxfyxM 如圖如圖幾何意義幾何意義:偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)),(00yxfx就就是是曲曲面面被被平平面面0yy 所所截截得得的的曲曲線線在在點點0M處處的的切切線線xTM0對對 x軸軸的的斜斜率率.偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)),(00yxfy就就是是曲曲面面被被平平面面0 xx 所所截截得得的的曲曲線線在在點點0M處處的的切切線線yTM0對對 y軸軸的的斜斜率率.二、高階偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy 純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù).例例 5設(shè)設(shè)13323 xyxyyxz，求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz .22xz ,62xy 33xz ,62y 22yz ;1823xyx yxz 2,19622 yyxxyz 2.19622 yyx觀察上例中原函數(shù)、偏導(dǎo)函數(shù)與二階混合偏導(dǎo)觀察上例中原函數(shù)、偏導(dǎo)函數(shù)與二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系：函數(shù)圖象間的關(guān)系：原函數(shù)圖形原函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形二階混合偏二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖形導(dǎo)函數(shù)圖形例例 6 6 設(shè)設(shè)byeuaxcos，求求二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 問題：問題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？相等？定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的兩兩個個二二階階混混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xyz 2及及yxz 2在在區(qū)區(qū)域域 D D 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，那那末末在在該該區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)這這兩兩個個二二階階混混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)必必相相等等例例 7 7 驗驗證證函函數(shù)數(shù)22ln),(yxyxu 滿滿足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程 解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu .0 三、小結(jié)三、小結(jié)偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的定義（偏增量比的極限）（偏增量比的極限）偏導(dǎo)數(shù)的計算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的計算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)（相等的條件）（相等的條件）思考題思考題若函數(shù)若函數(shù)),(yxf在 點在 點),(000yxP連連續(xù)，能否斷定續(xù)，能否斷定),(yxf在點在點),(000yxP的偏導(dǎo)數(shù)必定存在？的偏導(dǎo)數(shù)必定存在？思考題解答思考題解答不能不能.例如例如,),(22yxyxf 在在)0,0(處處連連續(xù)續(xù),但但 )0,0()0,0(yxff 不不存存在在.練練 習(xí)習(xí) 題題一一、填填空空題題:1 1、設(shè)設(shè)yxztanln,則則 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _;yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.2 2、設(shè)設(shè) xzyxezxy則則),(_ _ _ _ _ _ _ _;yz_ _ _ _ _ _ _ _ _.3 3、設(shè)設(shè),zyxu 則則 xu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _;yu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _;zu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.4 4、設(shè)設(shè),arctanxyz 則則 22xz_ _ _ _ _ _ _ _ _;22yz_ _ _ _ _ _ _ _;yxz2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.5 5、設(shè)、設(shè)zyxu)(,則則 yzu2_.二、二、求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù):1 1、yxyz)1(；2 2、zyxu)arctan(.三、三、曲線曲線 4422yyxz,在點在點(2,4,5)(2,4,5)處的切線與正向處的切線與正向x軸所成的傾角是多少軸所成的傾角是多少?四、四、設(shè)設(shè)xyz ,求求.,22222yxzyzxz 和和五、設(shè)五、設(shè))ln(xyxz ,求求yxz 23和和23yxz .六、六、驗證驗證:1 1、)11(yxez ,滿足滿足zyzyxzx222 ；2 2、222zyxr 滿足滿足 rzzryrxr 222222.七、設(shè)七、設(shè) 0,00,arctanarctan),(22xyxyyxyxyxyxf 求求xyxff,.練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、yxyxyxy2csc2,2csc22；2 2、)1(2 yxyexy,)1(2 xxyexy；3 3、xxzxzyzyzyln1,1,xxzyzyln2；4 4、22222222222)(,)(2,)(2yxxyyxxyyxxy ；5 5、)ln1()(yxyzyyxz .二、二、1 1、xyxyxyxyyzxyyxzyy1)1ln()1(,)1(12;2 2、zzyxyxzxu21)(1)(,)(1)(21zzyxyxzyu zyxyxyxzu2)(1)ln()(.三三、4.四四、,)1(,ln222222 xxyxxyzyyxz )1ln(12 yxyyxzx.五五、223231,0yyxzyxz .七七、0,0;0,00,0,0,arctan2yxyxyxyxyyxyxfx,0,0,10,0,12222yxxyyxyxxfxy.全全 微微 分分一、全微分的定義一、全微分的定義由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),(二二元元函函數(shù)數(shù) 對對x和和對對y的的偏偏增增量量 二二元元函函數(shù)數(shù) 對對x和和對對y的的偏偏微微分分 全增量的概念全增量的概念 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，并并設(shè)設(shè)),(yyxxP 為為 這這 鄰鄰 域域 內(nèi)內(nèi) 的的 任任 意意 一一 點點，則則 稱稱 這這 兩兩 點點 的的 函函 數(shù)數(shù) 值值 之之差差 ),(),(yxfyyxxf 為為函函數(shù)數(shù)在在點點P對對應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量增增量量yx ,的的全全增增量量，記記為為z，即即 z=),(),(yxfyyxxf 一一 般般 來來 講講，全全 增增 量量z 與與yx ,的的 相相 依依 關(guān)關(guān) 系系 是是 比比 較較 復(fù)復(fù) 雜雜 的的，因因 此此 我我 們們 希希望望能能象象一一元元函函數(shù)數(shù)的的微微分分那那樣樣，用用yx ,的的 線線 性性 函函 數(shù)數(shù)yBxA 來來 近近 似似 表表示示，并并給給出出誤誤差差估估計計。由由此此引引出出如如下下定定義義：全微分的定義全微分的定義 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示為可以表示為)(oyBxAz ，其中，其中BA,不依賴于不依賴于yx ,而僅與而僅與yx,有關(guān)，有關(guān)，22)()(yx ，則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx可微分，可微分，yBxA 稱為函數(shù)稱為函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx的的全微分全微分，記為，記為dz，即，即 dz=yBxA .函函數(shù)數(shù)若若在在某某區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)各各點點處處處處可可微微分分，則則稱稱這這函函數(shù)數(shù)在在 D 內(nèi)內(nèi)可可微微分分.如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx可微分可微分,則則函數(shù)在該點連續(xù)函數(shù)在該點連續(xù).事實上事實上),(oyBxAz ,0lim0 z),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx處處連連續(xù)續(xù).二、可微的條件二、可微的條件 定定理理 1 1（必必要要條條件件）如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx可可微微分分，則則該該函函數(shù)數(shù)在在點點),(yx的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xz 、yz 必必存存在在，且且函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx的的全全微微分分為為 yyzxxzdz 證證如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yxP可可微微分分,),(yyxxPP的的某某個個鄰鄰域域)(oyBxAz 總成立總成立,當(dāng)當(dāng)0 y時時，上上式式仍仍成成立立，此時此時|x ,),(),(yxfyxxf|),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在微分存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在全微分存在例如例如.000),(222222 yxyxyxxyyxf在點在點)0,0(處有處有0)0,0()0,0(yxff)0,0()0,0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考慮慮點點),(yxP 沿沿著著直直線線xy 趨趨近近于于)0,0(，則則 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 說說明明它它不不能能隨隨著著0 而而趨趨于于 0,0 當(dāng)當(dāng) 時時),()0,0()0,0(oyfxfzyx 函函數(shù)數(shù)在在點點)0,0(處處不不可可微微.說明說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全 微分存在，微分存在，定理定理（充分條件）如果函數(shù)（充分條件）如果函數(shù)),(yxfz 的偏的偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)xz 、yz 在點在點),(yx連續(xù)，則該函數(shù)在點連續(xù)，則該函數(shù)在點),(yx可微分可微分證證),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf 在在第第一一個個方方括括號號內(nèi)內(nèi)，應(yīng)應(yīng)用用拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1)10(1 xxyxfx 1),(（依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）（依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）其其中中1 為為yx ,的的函函數(shù)數(shù),且且當(dāng)當(dāng)0,0 yx時時，01.同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 當(dāng)當(dāng)0 y時時，02,z xxyxfx 1),(yyyxfy 2),(2121 yx,00 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx處處可可微微.習(xí)慣上，記全微分為習(xí)慣上，記全微分為.dyyzdxxzdz 通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況例例 1 1 計計算算函函數(shù)數(shù)xyez 在在點點)1,2(處處的的全全微微分分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1,2(exz ,22)1,2(eyz 所求全微分所求全微分.222dyedxedz 例例2 2 求求函函數(shù)數(shù))2cos(yxyz ，當(dāng)當(dāng)4 x，y，4 dx，dy時時的的全全微微分分.解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4().74(82 例例 3 3 計計算算函函數(shù)數(shù)yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解,1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 例例 4 4 試證函數(shù)試證函數(shù) )0,0(),(,0)0,0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在在點點)0,0(連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)在點連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)在點)0,0(不連續(xù)，而不連續(xù)，而f在點在點)0,0(可微可微.思思路路：按按有有關(guān)關(guān)定定義義討討論論；對對于于偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)需需分分 )0,0(),(yx，)0,0(),(yx討討論論.證證令令,cos x,sin y則則22)0,0()