高中物理 第5章 萬有引力定律及其應(yīng)用 習(xí)題課 萬有引力定律及其應(yīng)用學(xué)案 魯科版必修2-魯科版高一必

r T GT R G GT R GT 習(xí)題課  萬有引力定律及其應(yīng)用 [學(xué)生用書 P80] 一、公式推論 1．萬有引力公式： Mm F＝G [G＝6.67×10－11 r2  m3/(kg·s2)]． 2．“黃金代換”公式：GM＝gR2. 3．萬有引力充當(dāng)向心力公式： GMm v2 4π2 ＝m ＝mω2r＝m ·r＝ma. r2 r T2 4．天體質(zhì)量的估算 GMm 4π2 4π2r3 (1)已知環(huán)繞天體的周期 T、軌道半徑 r 可得中心天體質(zhì)量. ＝m r? M＝ . 2 2 2 (2)已知中心天體半徑 R 及表面重力加速度 g 可得中心天體質(zhì)量． GMm gR2 ＝mg? M＝ . 2 5．天體密度的估算 (1)利用天體表面的重力加速度來求天體的自身密度 Mm 4 3g 由 mg＝G 和 M＝ρ· πR3，得 ρ＝ ，其中 g 為天體表面的重力加速度，R 為天 R2 3 4πGR 體半徑． (2)利用天體的衛(wèi)星來求天體的自身密度 Mm 4π2 設(shè)衛(wèi)星繞天體運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為 r，周期為 T，天體半徑為 R，則可列出方程 G ＝mr ， r2 T2 4 M＝ρ· πR3 3  ， 4π  2r3 M GT2 得 ρ＝ ＝ 4 4 πR3 πR3 3 3 3πr3 ＝ . 2 3 (3)當(dāng)天體的衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道半徑 r 等于天體半徑 R，則天體密度 ρ 3π ＝ . 2 r a b b c a c 二、天體運(yùn)動(dòng)的分析技巧 1．建立模型：不論是自然天體(如地球、月球等)還是人造天體(如衛(wèi)星、飛船等)，只 要它們是在繞某一中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)，就可以將其簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型． 2．列方程求解：根據(jù)中心天體對(duì)環(huán)繞天體的萬有引力提供向心力，列出合適的向心力 表達(dá)式進(jìn)行求解． Mm v2 4π2 F ＝F ＝ma＝G ＝m ＝mrω2＝m r. 向 萬 r2 r T2 [學(xué)生用書 P80] 衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及其應(yīng)用 如圖所示，a、b、c 是大氣層外圓形軌道上運(yùn)行的三顆人造地球衛(wèi)星，a、b 質(zhì)量相同且 小于 c 的質(zhì)量，下列說法中正確的是( ) A．b、c 的線速度大小相等且大于 a 的線速度 B．b、c 的向心加速度不相等且均小于 a 的向心加速度 C．b、c 的周期相等且大于 a 的周期 D．b、c 的向心力相等且大于 a 的向心力 [解析] a、b、c 三顆人造地球衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力都是由地球?qū)λ鼈兊娜f有 Mm v2 4π2 引力提供．由牛頓第二定律得 G ＝m ＝mr ＝ma(M 為地球的質(zhì)量，m 為衛(wèi)星的質(zhì)量)， r2 r T2 所以 v＝  GM ∝  1 GM ，與衛(wèi)星質(zhì)量無關(guān)，由題圖知 r ＝r >r ，則 v ＝v <v ，A 錯(cuò)誤；a＝ r b c a b c a r2 1 ∝ ，與衛(wèi)星質(zhì)量無關(guān)，由 r ＝r >r ，得 a ＝a <a ，B 錯(cuò)誤；T＝ r2 b c a b c a  4π2r3 ∝ r3，與衛(wèi)星 GM Mm m 質(zhì)量無關(guān)，由 r ＝r >r 得 T ＝T >T ，C 正確；F ＝G ∝ ，與質(zhì)量 m 和半徑 r 有關(guān)，由 m b c a b c a 向 r2 r2 a m m m m m m ＝m <m ，r ＝r >r 知 > ，即 F >F ， < ，即 F <F ， 與 無法比較，D 錯(cuò)誤． b c b c a r2 r2 向 a 向 b r2 r2 向 b 向 c r2 r2 a b b c a c 1 1 1 2 2 2 1 3 [答案] C 1.若兩顆人造地球衛(wèi)星的周期之比為 T ∶T ＝2∶1，則它們的軌道半 1 2 徑之比 R ∶R ＝______，向心加速度之比 a ∶a ＝________． 1 2 1 2 3 GMm 4π2 R T2 3 解析：由 ＝m· ·R 得 ＝ ＝ 4 R2 T2 R 2 3 T2 2 3 3 GMm a R2 T4 4 由 ＝ma 得 ＝ ＝ ＝ . R2 a R2 4 T4 1 3 3 答案： 4∶1 4∶4 “赤道物體”與“同步衛(wèi)星”“近地衛(wèi)星”的比較 有 a、b、c、d 四顆地球衛(wèi)星，衛(wèi)星 a 還未發(fā)射，在地球赤道上隨地球一起轉(zhuǎn)動(dòng)， 衛(wèi)星 b 在地面附近近地軌道上正常運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星 c 是地球同步衛(wèi)星，衛(wèi)星 d 是高空探測(cè)衛(wèi)星， 各衛(wèi)星排列位置如圖所示，則有( ) A．衛(wèi)星 a 的向心加速度等于重力加速度 g π B．衛(wèi)星 c 在 4 h 內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角是 6 C．在相同時(shí)間內(nèi)衛(wèi)星 b 轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)最長(zhǎng) D．衛(wèi)星 d 的運(yùn)動(dòng)周期有可能是 23 h [解析] 地球赤道上靜止的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度小于重力加速度 g，選項(xiàng) A 錯(cuò) 2π π 誤；同步衛(wèi)星 c 在 4 h 內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角 φ＝ ×4＝ ，選項(xiàng) B 錯(cuò)誤；相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的 24 3 弧長(zhǎng) s 由線速度 v 決定，衛(wèi)星 b 的線速度最大，因此相同時(shí)間內(nèi)衛(wèi)星 b 轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)最長(zhǎng)，選 項(xiàng) C 正確；衛(wèi)星 d 的軌道比同步衛(wèi)星 c 的高，周期比同步衛(wèi)星 c 的大，則其周期一定大于 24 h，選項(xiàng) D 錯(cuò)誤． [答案] C (1)赤道上的物體與同步衛(wèi)星具有相同的角速度和周期，如同一圓盤上不同半徑的兩個(gè) GM 點(diǎn)，由 v＝ωr 和 a＝ω2r 可分別判斷線速度，向心加速度的關(guān)系． GMm v2 (2)不同軌道上的衛(wèi)星向心力來源相同，即萬有引力提供向心力，由 ＝ma＝m ＝mω2 r2 r  r 4π2 GM ＝mr 可分別得到 a＝ 、v＝ T2 r2  GM 、ω＝ r  GM 及 T＝2π r3  r3  ，故可以看出，軌道 半徑越大，a、v、ω 越小，T 越大． 2. 如圖所示，赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體 A、赤道上空的近地衛(wèi)星 B、地球的同步衛(wèi)星 C， 它們的運(yùn)動(dòng)都可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，比較三個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)情況，以下判斷正確的是( ) A．三者的周期關(guān)系為 T >T >T A B C B．三者向心加速度的大小關(guān)系為 a >a >a A B C C．三者角速度的大小關(guān)系為 ω >ω >ω A C B D．三者線速度的大小關(guān)系為 v <v <v A C B 解析：選 D.衛(wèi)星 C 為同步衛(wèi)星，周期與 A 物體周期相等，故 A 錯(cuò)誤；A、C 比較，角速 度相等，由 a＝ω2r 可知，a <a ，故 B 錯(cuò)誤；衛(wèi)星 C 與 A 物體周期相等，角速度也相等，因 A C 而 C 錯(cuò)誤；A、C 比較，角速度相等，由 v＝ωr，可知 v <v ，B、C 比較，同為衛(wèi)星，由人造 A C 衛(wèi)星的速度公式 v＝  GM ，可知 v <v ，因而 v <v <v ，故 D 正確． r C B A C B 衛(wèi)星變軌問題 (多選) 2013 年 12 月 2 日 1 時(shí) 30 分，西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用“長(zhǎng)征三號(hào)乙”運(yùn)載 火箭成功將“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器發(fā)射升空．衛(wèi)星由地面發(fā)射后，進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道，經(jīng)過P 點(diǎn)時(shí)變軌進(jìn)入距離月球表面 100 千米的圓形軌道Ⅰ，在軌道Ⅰ上經(jīng)過 Q 點(diǎn)時(shí)變軌進(jìn)入橢圓軌 道Ⅱ，軌道Ⅱ與月球相切于 M 點(diǎn)，“玉兔號(hào)”月球車將在 M 點(diǎn)著陸月球表面，如圖所示．下 列的說法正確的是( ) A．“嫦娥三號(hào)”在軌道Ⅰ上的運(yùn)動(dòng)速度比月球的第一宇宙速度小 B．“嫦娥三號(hào)”在地月轉(zhuǎn)移軌道上經(jīng)過 P 點(diǎn)的速度比在軌道Ⅰ上經(jīng)過 P 點(diǎn)時(shí)大 r C．“嫦娥三號(hào)”在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)周期比在軌道Ⅰ上短 D．“嫦娥三號(hào)”在軌道Ⅰ上經(jīng)過 Q 點(diǎn)時(shí)的加速度小于在軌道Ⅱ上經(jīng)過 Q 點(diǎn)時(shí)的加速度 [解析 ]  月球的第一宇宙速度是衛(wèi)星貼近月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度， “嫦娥三 mM v2 號(hào)”在軌道Ⅰ上的半徑大于月球半徑，根據(jù) G ＝m ，得線速度 v＝ r2 r  GM ，可知“嫦娥三 號(hào)”在軌道Ⅰ上的運(yùn)動(dòng)速度比月球的第一宇宙速度小，故 A 正確；“嫦娥三號(hào)”在軌道Ⅰ上 經(jīng)過 P 點(diǎn)若要進(jìn)入軌道Ⅰ需減速，故 B 正確；根據(jù)開普勒第三定律得衛(wèi)星在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)軌 道的半長(zhǎng)軸比在軌道Ⅰ上的軌道半徑小，所以衛(wèi)星在軌道Ⅱ上的運(yùn)動(dòng)周期比在軌道Ⅰ上短， 故 C 正確；“嫦娥三號(hào)”無論在哪個(gè)軌道上經(jīng)過 Q 點(diǎn)時(shí)的加速度都為該點(diǎn)的萬有引力加速度， 故萬有引力在此點(diǎn)產(chǎn)生的加速度相等，故 D 錯(cuò)誤． [答案] ABC 衛(wèi)星變軌問題的幾點(diǎn)注意 (1)當(dāng)衛(wèi)星由于某種原因速度改變時(shí)，萬有引力不再等于向心力，衛(wèi)星將做變軌運(yùn)行． Mm v2 ①當(dāng)衛(wèi)星的速度突然增加時(shí)，G <m ，即萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心 r2 r 運(yùn)動(dòng)． Mm v2 ②當(dāng)衛(wèi)星的速度突然減小時(shí)，G >m ，即萬有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做近 r2 r 心運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星的回收就是利用這一原理． (2)衛(wèi)星到達(dá)橢圓軌道與圓軌道的切點(diǎn)時(shí)，衛(wèi)星受到的萬有引力相同，所以加速度相同． (3)飛船對(duì)接問題：兩飛船實(shí)現(xiàn)對(duì)接前應(yīng)處于高低不同的兩軌道上，目標(biāo)船處于較高軌 道，在較低軌道上運(yùn)動(dòng)的對(duì)接船通過合理地加速，做離心運(yùn)動(dòng)而追上目標(biāo)船與其完成對(duì)接． 3.如圖所示，在發(fā)射地球同步衛(wèi)星的過程中，衛(wèi)星首先進(jìn)入橢圓軌道 Ⅰ，然后在 Q 點(diǎn)通過改變衛(wèi)星速度，讓衛(wèi)星進(jìn)入地球同步軌道Ⅱ，則( ) A．該衛(wèi)星的發(fā)射速度必定大于 11.2 km/s B．衛(wèi)星在同步軌道Ⅱ上的運(yùn)行速度大于 7.9 km/s C．在軌道Ⅰ上，衛(wèi)星在 P 點(diǎn)的速度小于在 Q 點(diǎn)的速度 D．衛(wèi)星在 Q 點(diǎn)通過加速實(shí)現(xiàn)由軌道Ⅰ進(jìn)入軌道Ⅱ 解析：選 D.11.2 km/s 是第二宇宙速度，若大于此值就會(huì)飛出地球引力范圍了，故選項(xiàng) æ ö è ω ø A 錯(cuò)；7.9 km/s 是最大環(huán)繞速度，在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度一定小于 7.9 km/s，所以選項(xiàng) B 錯(cuò)；從 P 到 Q 的運(yùn)動(dòng)中引力做負(fù)功，動(dòng)能減小，所以選項(xiàng) C 錯(cuò)；從橢圓軌道Ⅰ到同步軌道Ⅱ， 衛(wèi)星在 Q 點(diǎn)是做逐漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動(dòng)，要實(shí)現(xiàn)這個(gè)運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星所需向心力大于萬有引力，所以 應(yīng)給衛(wèi)星加速，增加所需的向心力，所以衛(wèi)星在 Q 點(diǎn)通過加速實(shí)現(xiàn)由軌道Ⅰ進(jìn)入軌道Ⅱ，故 選項(xiàng) D 正確． [學(xué)生用書 P81] 1．(多選)如圖所示，飛船從軌道 1 變軌至軌道 2.若飛船在兩軌道上都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)， 不考慮質(zhì)量變化，相對(duì)于在軌道 1 上，飛船在軌道 2 上的( ) A．動(dòng)能大 B．向心加速度大 C．運(yùn)行周期長(zhǎng) D．角速度小 解析：選 CD.飛船繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，即 F ＝F ，所 引 向 GMm mv2 4π2mr GM 1 GMm 以 ＝ma ＝ ＝ ＝mrω2，即 a ＝ ，E ＝ mv2＝ ，T＝ r2 向 r T2 向 r2 k 2 2r  4π2r3 ，ω＝ GM  GM r3 2π ç或用公式T＝ 求解÷.因?yàn)?r <r ，所以 E >E ，a >a ，T <T ，ω >ω ，選項(xiàng) C、D 正確． 1 2 k1 k2 向 1 向 2 1 2 1 2 2．“北斗”衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)由地球靜止軌道衛(wèi)星(同步衛(wèi)星)、中軌道衛(wèi)星和傾斜同 步衛(wèi)星組成．地球靜止軌道衛(wèi)星和中軌道衛(wèi)星都在圓軌道上運(yùn)行，它們距地面的高度分別約 為地球半徑的 6 倍和 3.4 倍．下列說法正確的是( ) A．靜止軌道衛(wèi)星的周期約為中軌道衛(wèi)星的 2 倍 B．靜止軌道衛(wèi)星的線速度大小約為中軌道衛(wèi)星的 2 倍 1 C．靜止軌道衛(wèi)星的角速度大小約為中軌道衛(wèi)星的 7 1 D．靜止軌道衛(wèi)星的向心加速度大小約為中軌道衛(wèi)星的 7 Mm 4π2 解析：選 A.根據(jù) G ＝m r，可得 T＝2π r2 T2  r3 Mm v2 ，代入數(shù)據(jù)，A 正確；根據(jù) G ＝m ， GM r2 r r r g 可得 v＝  GM Mm ，代入數(shù)據(jù)，B 錯(cuò)誤；根據(jù) G ＝mω2r，可得 ω＝ r r2  GM ，代入數(shù)據(jù)，C 錯(cuò)誤； 3 Mm GM 根據(jù) G ＝ma，可得 a＝ ，代入數(shù)據(jù)，D 錯(cuò)誤． r2 r2 3．(多選)“北斗”導(dǎo)航系統(tǒng)中兩顆工作衛(wèi)星均繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑均為 r.如圖所示，某時(shí)刻兩顆工作衛(wèi)星分別位于同一軌道上的 A、B 位置．若衛(wèi)星均順時(shí)針運(yùn)行， 地球表面處的重力加速度為 g，地球半徑為 R，則下列說法中正確的是( ) R2g A．這兩顆衛(wèi)星的加速度大小均為 2 B．衛(wèi)星甲向后噴氣就一定能追上衛(wèi)星乙 π C．衛(wèi)星甲由位置 A 運(yùn)動(dòng)到位置 B 所需的時(shí)間為 3R  r3 g D．該時(shí)刻，這兩顆衛(wèi)星的線速度相同 解析：選 AC.設(shè)地球的質(zhì)量為 M，地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力， Mm Mm 得 G ＝ma，在地球表面，物體所受的重力近似等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，則 G ＝mg， r2 R2 R2g 由以上兩式解得兩衛(wèi)星的加速度 a＝ ，選項(xiàng) A 正確；衛(wèi)星甲向后噴氣后，其速度變大，地 r2 球?qū)πl(wèi)星甲的萬有引力不足以提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，衛(wèi)星甲將做離心運(yùn)動(dòng)，不可能追 4π2r 2π 上衛(wèi)星乙，選項(xiàng) B 錯(cuò)誤；由 a＝ω2r＝ ，解得 T＝ T2 R  r3 ，衛(wèi)星甲由位置 A 運(yùn)動(dòng)到位 g 60° π 置 B 所需時(shí)間 t＝ T＝ 360° 3R  r3 ，選項(xiàng) C 正確；因兩顆衛(wèi)星在同一軌道上運(yùn)行，線速度 大小相等，但方向不同，選項(xiàng) D 錯(cuò)誤． 4．兩顆人造地球衛(wèi)星都繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知它們的軌道半徑之比 4∶1，求這兩顆衛(wèi)星的  r ∶r ＝ 1 2 (1)線速度大小之比； (2)角速度之比； (3)向心加速度大小之比． 解析：(1)地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，設(shè)地球的質(zhì) ü ï 1 1 ý ï þ 2 2 1 v 2 r v ü 1 r 1 ý 1 1 2 ω v r 2 4 8 v 2 2 1 2 1 1 1 a r ω2 1 2 月 è T ø r 月 2 量為 M，兩衛(wèi)星的質(zhì)量分別為 m 、m ，線速度大小分別為 v 、v ，由牛頓第二定律得 1 2 1 2 Mm v2 G ＝m r2 1r 1 1 Mm v2 G ＝m r2 2r 2 2  v 可得 ＝ 2  r 1  ＝  1 1 ＝ . 4 2 v (2)由角速度與線速度的關(guān)系 ω＝ ，得兩衛(wèi)星的角速度分別為 r ω ＝ ï 1 ω v r 1 1 1 可得 ＝ ＝ × ＝ . ω2＝r ïþ 2 (3)由向心加速度的公式 a＝rω2，得兩衛(wèi)星的向心加速度大小分別為 a1＝r1ω12üï a r ω2 æ1ö ý可得 ＝ ＝ç÷ a2＝r2ω2ïþ 2 2 2 è8ø  2 ×4＝ . 16 答案：(1)1∶2 (2)1∶8 (3)1∶16 5．某載人航天飛船在探月過程中， (1)若已知地球半徑為 R，地球表面重力加速度為 g，月球繞地球近似做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的 周期為 T，求月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑 r； (2)若航天員在登月飛船到達(dá)月球后，在月球表面某處以速度 v 豎直向上拋出一個(gè)小球， 0 經(jīng)過時(shí)間 t，小球落回拋出點(diǎn)，已知月球半徑為 R ，引力常量為 G，請(qǐng)求出月球的質(zhì)量 M ； 月 月 (3)若飛船開始在離月球表面高 h 處繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試求該飛船繞月球運(yùn)行的 周期 T. 解析：(1)根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得： MM æ2πö G ＝M ç ÷r 2 月 Mm 質(zhì)量為 m 的物體在地球表面時(shí)有 mg＝G R2 聯(lián)立得 r＝  3  gR2T2 . 4π2 g t (2)設(shè)月球表面處的重力加速度為 g ，根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有：v ＝ . 月 0 根據(jù)萬有引力等于重力得 GM ＝g R2 ， 月 月 月 0 月 月 è T′ø r 0 月 G 2v R2 聯(lián)立得 M ＝ . 月 Gt M m æ2πö (3)飛船繞月球運(yùn)行的軌道半徑為 r ＝R ＋h，由萬有引力提供向心力得 G ＝mç ÷ 1 月 2 1  2 r 1 所以該飛船繞月球運(yùn)行的周期 T′＝2π  （R ＋h）3 月 2v R2 0 月  t . 答案：(1)  3  gR2T2 4π2 2v R2 (2) (3)2π  （R ＋h）3 月 2v R2 0 月  t