全國各地名校2013年中考數(shù)學(xué)5月試卷分類匯編 探索規(guī)律型問題

探索規(guī)律型問題 一、選擇題 1．（2013年安徽初中畢業(yè)考試模擬卷一）在平面直角坐標(biāo)系中，對于平面內(nèi)任一點(diǎn)（m,n），規(guī)定以下兩種變換： ①，如；② ，如．按照以上變換有：，那么等于 （ ）． A．（3，2） B．（3，－2） C．（－3，2） D．（－3，－2） 答案：A 2、圖1 圖2 圖3 （2013浙江省寧波模擬題）圖1是一個(gè)八角星形紙板，圖中有八個(gè)直角，八個(gè)相等的鈍角,每條邊都相等.如圖2將紙板沿虛線進(jìn)行切割，無縫隙無重疊的拼成圖3所示的大正方形,其面積為8+4，則圖3中線段的長為 . 答案：+1 第18題 3.（2013浙江省寧波模擬題） 如圖，已知A1，A2，A3，…，An是x軸上的點(diǎn)，且OA1= A1A2= A 2 A 3=…= An An+1=1，分別過點(diǎn)A1，A2，A 3，…，A n+1作x軸的垂線交一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)B1，B2，B3，…，B n+1，連結(jié)A1 B2，B1 A2，A2 B3，B2 A3，…，An B n+1，Bn A n+1依次產(chǎn)生交點(diǎn)P1，P2，P3，…，Pn，則Pn的橫坐標(biāo)是 ． 答案： 或 4.（2013浙江錦繡·育才教育集團(tuán)一模）如圖，將正△ABC分割成m個(gè)邊長為1的小正三角形和一個(gè)黑色菱形，這個(gè)黑色菱形可分割成n個(gè) 邊長為1的小三角形，若，則△ABC的周長是 ▲ . (第16題)圖)圖) 答案：15 5、(2013年江蘇南京一模)小明用棋子擺放圖形來研究數(shù)的規(guī)律．圖1中棋子圍成三角形，其顆數(shù)3，6，9，12，…成為三角形數(shù)，類似地，圖2中的4，8，12，16，… 稱為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（ ▲ ） … … 3 6 9 … 4 8 12 … 圖1 圖2 A.2010 B.2012 C.2014 D.2016 答案：D 6、（2013杭州江干區(qū)模擬）已知兩直線、為正整數(shù)），設(shè)這兩條直線與軸所圍成的三角形的面積為，則的值是 A． B． C． D． 【答案】D 7、(2013年廣東省佛山市模擬)如圖，在Rt⊿ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，過B作BA1⊥AC，過A1作A1B1⊥BC，得陰影Rt⊿A1B1B；再過B1作B1A2⊥AC，過A2作A2B2⊥BC，得陰影Rt⊿A2B2B1；……如此下去，請猜測這樣得到的所有陰影三角形的面積之和為( ) （模擬改編） A. B. C. D. 答案：D 8、（2013年廣東省珠海市一模）如圖是與楊輝三角形有類似性質(zhì)的三角形數(shù)壘，a，b是某行的前兩個(gè)數(shù)，當(dāng)a=7時(shí)，b等于 　 A .20 B． 21 C． 22 D． 23 答案：C 9、（2013鳳陽縣縣直義教教研中心）如圖，將邊長為cm的正方形ABCD沿直線l向右翻動(dòng)（不滑動(dòng)），當(dāng)正方形連續(xù)翻動(dòng)8次后，正方形的中心O經(jīng)過的路線長是（ ）cm． A．8 B．8 C．3π D．4π D 10、（2013年湖北省武漢市中考全真模擬）觀察下列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第20個(gè)圖形共有★ ( ). A．63個(gè) B．57個(gè) C．68個(gè) D．60個(gè) D 11、（2013寧波五校聯(lián)考一模）觀察圖(1)，容易發(fā)現(xiàn)圖(2)中的∠1=∠2+∠3．把圖(2)推廣到圖(3)，其中有8個(gè)角：∠1，∠2，…，∠8．可以驗(yàn)證∠1=∠2+∠5+∠8成立．除此之外，恰好還有一組正整數(shù)x，y，z，滿足2≤x≤y≤z≤8，使得∠1=∠x+∠y+∠z，那么這組正整數(shù)(x，y，z)= ( ) A．（3，4，7） B.（3，5，7） C. （3，3，7） D.（4，6，7） 答案：C 12. （2013寧波五校聯(lián)考二模）黑板上寫有共100個(gè)數(shù)字．每次操作先從黑板上的數(shù)中選取2個(gè)數(shù)，然后刪去，并在黑板上寫上數(shù)，則經(jīng)過99次操作后，黑板上剩下的數(shù)是（ ）． （A）2012 （B）101 （C）100 （D）99 答案：C 13、（2013年廣西梧州地區(qū)一模）已知：(x≠0且x≠－1)，，，…， ，則等于 (A) x (B) x＋1 ( C) ( D) 答案：Ｂ 14、（2013年湖北武漢模擬）將正方體骰子（相對面上的點(diǎn)數(shù)分別為1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如圖6－1．在圖6－2中，將骰子向右翻滾90°，然后在桌面上按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，則完成一次變換．若骰子的初始位置為圖6－1所示的狀態(tài)，那么按上述規(guī)則連續(xù)完成10次變換后，骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)是________ 圖6－1 圖6－2 向右翻滾90° 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90° 答案：5 二、填空題 1．（2013年北京順義區(qū)一模）如圖，邊長為1的菱形中，，則菱形的面積是 ，連結(jié)對角線，以為邊作第二個(gè)菱形，使；連結(jié)，再以為邊作第三個(gè)菱形，使；……，按此規(guī)律所作的第個(gè)菱形的面積為___________． 答案：， 第1題圖 2、(2013年安徽省模擬八)如圖，△ABC中，AB=BC=CA=8．一電子跳蚤開始時(shí)在BC邊的P0處，BP0=3．跳蚤第一步從P0跳到AC邊的P1（第1次落點(diǎn)）處，且CP1= CP0；第二步從P1跳到AB邊的P2（第2次落點(diǎn)）處，且AP2= AP1；第三步從P2跳到BC邊的P3（第3次落點(diǎn)）處，且BP3= BP2；…；跳蚤按照上述規(guī)則一直跳下去，第n次落點(diǎn)為Pn（n為正整數(shù)），則點(diǎn)P2012與點(diǎn)P2013之間的距離為 ． 答案：5 第2題圖 3、(2013年湖北荊州模擬6)如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形．取BC邊中點(diǎn)E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四邊形EDAF，它的面積記作S1；取BE中點(diǎn)E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四邊形E1D1FF1，它的面積記作S2．照此規(guī)律作下去，則S2012= ▲ . 答案： 4、(2013年湖北荊州模擬6)已知a≠0，，，，…，，則　 ▲ (用含a的代數(shù)式表示)． 答案： 5、（2013年上海長寧區(qū)二模)已知邊長為1的正方形，按如圖所示的方式分割，第1次分割后的陰影部分面積S1=，第2次分割后的陰影部分面積S2=，第3次分割后的陰影部分面積S3=，…….按照這樣的規(guī)律分割，則第n(n為正整數(shù))次分割后的陰影部分面積可用n表示為Sn = . 答案：1－ 6、(2013年江蘇南京一模)如圖，，過上到點(diǎn)的距離分別為的 點(diǎn)作的垂線與相交，得到并標(biāo)出一組黑色梯形，它們的面積 分別為．觀察圖中的規(guī)律，第n(n為正整數(shù)) 個(gè)黑色梯形的面積 ． 答案：8n－4 7、(2013年江蘇南京一模)若有一列數(shù)依次為：，，，， ……，則第n個(gè)數(shù)可以表示為 ▲ ． 答案： 8、（2013云南勐捧中學(xué)一模）用形狀和大小相同的黑色棋子按下圖所示的方式排列，按照這樣的規(guī)律，第n個(gè)圖形需要棋子　 　枚．（用含n的代數(shù)式表示） 【答案】3n+1 Y O x y (2,0) (4,0) (6,0) (8,0) (10,0) (12,0) (1,1) (5,1) (9,1) (3,2) (7,2) (11,2) 9、（2013云南勐捧中學(xué)二模）如圖，動(dòng)點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，第1次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(1，1)，第2次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(2，0)，第3次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(3，2)，……，按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，經(jīng)過第2012次運(yùn)動(dòng)后， 動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是_ 　　 ． 【答案】(2012，0) 第14題圖 10、（2013云南勐捧中學(xué)三模）下列圖案由邊長相等的黑白兩色正方形按一定規(guī)律拼接而成，依此規(guī)律，第n個(gè)圖案中白色的正方形個(gè)數(shù)為 ． 第一個(gè) 第二個(gè) 第三個(gè) … 【答案】5n 11、（2013年廣州省惠州市模擬）如圖，是由形狀相同的正六邊形和正三角形鑲嵌而成的一組有規(guī)律的圖案，則第n個(gè)圖案中陰影小三角形的個(gè)數(shù)是__________. 答案：4n﹣2 x y O A B 第1題圖 O 3 x 2 y 12、（2013山東德州特長展示）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠AOB=30°，點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0）．過A作 AA1⊥OB，垂足為點(diǎn)A1；過點(diǎn)A1作A1A2⊥x軸，垂足為點(diǎn)A2；再過點(diǎn)A2作A2A3⊥OB，垂足為點(diǎn)A3；再過點(diǎn)A3作A3A4⊥x軸，垂足為點(diǎn)A4；……；這樣一直作下去，則A2013的縱坐標(biāo)為 ． 13．（2013鄭州外國語預(yù)測卷）用形狀相同的兩種菱形拼成如上圖所示的圖案，用an表示第n個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)，則an=___________（用含n的式子表示）． …… 答案：6n-2 14. （2013遼寧葫蘆島一模）如圖，在第1個(gè)△ABA1中，∠B=20°,AB=A1B,在A1B上取一點(diǎn)C，延長AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一點(diǎn)D，延長A1A2到A3，使得A2A3=A2D；……，按此做法進(jìn)行下去，第n個(gè)三角形的以An為頂點(diǎn)的內(nèi)角的度數(shù)為 ． 答案： 15.（2013年唐山市二模）根據(jù)以下等式：，…． 17題 對于正整數(shù)n (n≥4)，猜想：l+2+…+(n一1)+ n+(n一l)+…+2+1= . 答案：4． 16. （2013年廣西欽州市四模）古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1，3，6，10，15，21……叫做三角形數(shù)，它有一定的規(guī)律性.若把第一個(gè)三角形數(shù)記為，第二個(gè)三角形數(shù)記為，……，第個(gè)三角形數(shù)記為，計(jì)算……，由此推算，____________，__________. 答案：100（1分） 5050（2分） 17．（2013年杭州拱墅區(qū)一模）在平面坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），延長CB交x軸于點(diǎn)A1，作正方形A1B1C1C，延長C1B1交x軸于點(diǎn)A2，作正方形A2B2C2C1，…，按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2013個(gè)正方形的面積為 . 答案： 18、 （2013年江蘇東臺(tái)第二學(xué)期階段檢測）如圖所示，已知直線與x、y軸交于B、C兩點(diǎn),，在內(nèi)依次作等邊三角形，使一邊在軸上，另一個(gè)頂點(diǎn)在邊上，作出的等邊三角形分別是第1個(gè)，第2個(gè)，第3個(gè)，……則第個(gè)等邊三角形的邊長等于 . 答案： 三、解答題 1．（2013年安徽初中畢業(yè)考試模擬卷一）給出下列命題： 命題1：點(diǎn)（1，1）是直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)； 命題2：點(diǎn)（2，4）是直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)； 命題3：點(diǎn)（3，9）是直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)； …… （1）請觀察上面命題，猜想出命題（是正整數(shù)）； （2）證明你猜想的命題是正確的． 答案：命題：點(diǎn)（,）是直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)． 證明：當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)（,）在直線上，同理點(diǎn)（,）也在雙 曲線上，故點(diǎn)（,）是直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)． 2、(2013年安徽省模擬六)下圖中，圖（1）是一個(gè)⊿AOB，將其作如下劃分： 第一次劃分：如圖（2）所示，過OA的中點(diǎn)A1作A1B1∥AB，交OB于點(diǎn)B1，再作∠AOB的平分線OC，交A1B1于點(diǎn)C1，得到三角形的總數(shù)為6個(gè)，分別為：⊿AOB、⊿AOC、⊿COB、⊿A1OB1，⊿A1OC1，⊿C1OB1； 第二次劃分：如圖（3）所示，在⊿扇形C1OB1中，按上述劃分方式繼續(xù)劃分，可以得到三角形的總數(shù)為11個(gè)； 第三次劃分：如圖（4）所示；… 依次劃分下去． （1）根據(jù)題意，完成下表： （2）根據(jù)上表，請你判斷按上述劃分方式，能否得到三角形的總數(shù)為2013個(gè)？為什么？ 第1題圖
答案：解： （1）從上至下依次填16，21，5n+1； （6分） （2）不能夠得到2013個(gè)扇形，因?yàn)闈M足5n+1=2013的正整數(shù)n不存在． （8分） 3、(2013年安徽省模擬七)我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例.如圖，這個(gè)三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了
（n為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律.例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)
展開式中的系數(shù);第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對應(yīng)著
展開式中的系數(shù)等等. 第2題圖 （1）根據(jù)上面的規(guī)律，寫出
的展開式. （2）利用上面的規(guī)律計(jì)算：
. 答案：解：⑴
（3分） ⑵原式=
=
=1 （8分） 注：第（2）問不用以上規(guī)律計(jì)算不給分 4、．(2013年安徽省模擬八)觀察下列等式： 第1個(gè)等式：a1=
=×（1﹣）； 第2個(gè)等式：a2=
=×（﹣）； 第3個(gè)等式：a3=
=×（﹣）； 第4個(gè)等式：a4=
=×（﹣）； … 請解答下列問題： （1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：a5=
=
； （2）用含有n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式： an=
=
（n為正整數(shù)）； （3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值． 答案： 解：根據(jù)觀察知答案分別為： （1）
；
； （2）
；
； （3）a1+a2+a3+a4+…+a100的 =×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×
=（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+
﹣
） =（1﹣
） =×
=
． 5、如圖， 一個(gè)4×2的矩形可以用3種不同的方式分割成2或5或8個(gè)小正方形． （1） 一個(gè)3×2的矩形用不同的方式分割后, 小正方形的個(gè)數(shù)可以是__________________； 一個(gè)5×2的矩形用不同的方式分割后, 小正方形的個(gè)數(shù)可以是__________________； （2） 一個(gè)n×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的個(gè)數(shù)最少是___________________。 （以上均直接填寫結(jié)果）． 實(shí)踐探究 圖(1) E D C F B A 圖(4) 圖(2) 圖(3) A B C D （1）在圖(2)中，E、F分別為矩形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，則
之間滿足的關(guān)系式為 ； （2）在圖(3)中，E、F分別為平行四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，則
之間滿足的關(guān)系式為 ； （3）在圖(4)中，E、F分別為任意四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，則
之間滿足的關(guān)系式為 ； 解決問題： 圖(5) （4）在圖(5)中，E、G、F、H分別為任意四邊形ABCD的邊AD、AB、BC、CD的中點(diǎn)，并且圖中陰影部分的面積為20平方米，求圖中四個(gè)小三角形的面積和，即S1+ S2+ S3+ S4=？ (1)
（2分） （2）
（2分） (3)
（2分） （4）由上得
，
， ∴S1+x+S2+S3+y+S4
．S1+m+S4+S2+n+S3
， ∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2 +n+S3）
． ∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）=S1+x+S2+n+S3+y+S4+m+S陰 ∴S1+S2+S3+S4=S陰=20． （4分） 7、（2013鳳陽縣縣直義教教研中心） 對于正數(shù)
，規(guī)定
，例如：
，
，求
…+
…
解：當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=
； 當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=
，當(dāng)x=
時(shí)，f（
）=
，f（2）＋f（
）=1； ……………（2分） 當(dāng)x=3時(shí)，f（3）=
，當(dāng)x=
時(shí)，f（
）=
，f（3）＋f（
）=1； ······……………（4分） 當(dāng)x= n時(shí)，f（3）=
，當(dāng)x=
時(shí)，f（
）=
，f（
）＋f（
）=1。 ……………（6分） ∴
。 ∴當(dāng)x= 2013時(shí),
…
…
=2012.5 ……………（8分） 8、（2013寧波五校聯(lián)考二模）已知質(zhì)數(shù)p、q使得代數(shù)式
和
都是自然數(shù)，試求p2q的值. 答案：先設(shè)
，則有
。于是，只能
，即
， 此時(shí)
，要使
是自然數(shù)，只能有
，從而
； 再設(shè)p＜q,這時(shí)
，可分為以下兩種情況： （1）
，q=2p+1，此時(shí)，
，得p=1（不合題意） （2）
，即2p+1=2q，左邊為奇數(shù)，而右邊為偶數(shù)，矛盾。 故滿足條件的
、
，于是
。 9、(2013珠海市文園中學(xué)一模） （1）觀察一列數(shù)2，4，8，16，32，…，發(fā)現(xiàn)從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)是 ；根據(jù)此規(guī)律，如果
（
為正整數(shù)）表示這個(gè)數(shù)列的第
項(xiàng)，那么
，
； （2）如果欲求
的值，可令
……………………………………………………① 將①式兩邊同乘以3，得 …………………………② 由②減去①式，得
． （3）用由特殊到一般的方法知：若數(shù)列
，從第二項(xiàng)開始每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比的常數(shù)為
，則
（用含
的代數(shù)式表示），如果這個(gè)常數(shù)
，那么
（用含
的代數(shù)式表示）． 答案：（1）2（1分）　218（1分）　2n(1分) （2）3S＝3＋32＋33＋34＋…＋321（1分）　S＝
（1分） （3）a1qn-1(2分)　
(2分)