3、 】
A． B． C． D．
答案：A
7、(2013年安徽省模擬七)二次函數(shù)的圖象如圖，若一元二次方程有實數(shù)根，則m的最大值為……【 】
A．－3 B．3 C．－5 D．9
答案：B
第2題圖
第3題圖
第5題圖
x
y
A
8、(2013年安徽省模擬八)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的兩個交點分別為（﹣1，0），（3，0）．對于下列命題：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正確的有…………………………………【 】
A．3
4、個 B．2個 C．1個 D．0個
答案：B
9、(2013年湖北荊州模擬5)對于拋物線，下列說法正確的是 （ ▲ ）
A．開口向下，頂點坐標(5，3) B．開口向上，頂點坐標(5，3)
C．開口向下，頂點坐標(-5，3) D．開口向上，頂點坐標(-5，3)
答案： A
10、(2013年湖北荊州模擬5)如圖，拋物線y = x2 + 1與雙曲線y = 的交點A的橫坐標是1，則關(guān)于x的不等式 + x2 + 1 < 0的解集是 ( ▲ )
A
5、．x > 1 B．x < ?1 C．0 < x < 1 D．?1 < x <0
答案： D
11、(2013年湖北荊州模擬6)拋物線的頂點坐標為（ ▲?。?
A．（3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣3，4）
答案：A
12、（2013屆寶雞市金臺區(qū)第一次檢測）二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，下列說法錯誤的是（ ）
A．點C的坐標是（0，1） B．線段AB的長為2
C．△ABC是等腰直角三角形 D．當x>0時，y隨x增大而增大
答案：D
6、
13.（2013浙江錦繡·育才教育集團一模）如圖，已知點A（12，0），O為坐標原點，P是線段OA上任意一點（不含端點O，A），過P、O兩點的二次函數(shù)y1和過P、A兩點的二次函數(shù)y2的圖象開口均向下，它們的頂點分別為B、C，射線OB與AC相交于點D．當OD=AD=8時，這兩個二次函數(shù)的最大值之和等于（ ▲ ）
A．5 B． 2 C．8 D．6
第10題圖
答案：B
14、(2013年江蘇南京一模)把函
7、數(shù)y＝2x2－4x的圖象先沿x軸向右平移3個單位長度，再沿y軸向下平移2個單位長度得到新函數(shù)的圖象，則新函數(shù)是
A．y＝2(x＋3)2－4(x＋3)－2 B．y＝2(x－3)2－4(x－3)－2
C．y＝2(x＋3)2－4(x＋3)＋2 D．y＝2(x－3)2－4(x－3)＋2
答案：B
15、(2013年江蘇南京一模)二次函數(shù)y＝x2＋2x－5有
A．最大值－5 B．最小值－5 C．最大值－6 D．最小值－6
19、（2013杭州江干區(qū)模擬）已知二次函數(shù)，它的頂點坐標為
A．（3，） B．（，） C．（，） D．（，3）
【答案
8、】A
20、（2013年廣州省惠州市模擬）如圖為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，此圖象與x軸的交點坐標分別為（-1，0）、（3，0）．下列說法正確的個數(shù)是（ ?。?
①ac＜0 ②a+b+c＞0
③方程ax2+bx+c=0的根為x1=-1，x2=3
④當x＞1時，y隨著x的增大而增大．
A.1 B. 2 C.3 D. 4
答案：C
21、（2013年廣東省珠海市一模）二次函數(shù)y=﹣2（x+1）2﹣3的對稱軸是直線
A．
x=﹣2
B．
x=﹣1
C．
x=1
D．
x=﹣3
答案：B
22、（20
9、13年廣東省珠海市一模）拋物線y=2x2﹣5x+3與坐標軸的交點共有
A．
1個
B．
2個
C．
3個
D．
4個
答案：C
23、（2013浙江臺州二模）8．如圖，四邊形OABC是邊長為1的正方形，OC與x軸
（第1題）
正半軸的夾角為15°，點B在拋物線
的圖像上，則的值為（ ）
A ． B． C． D．
【答案】B
24、（2013寧波五校聯(lián)考一模）若二次函數(shù)在的范圍內(nèi)至少有一個的值使成立，則的取值范圍是 （ ）
A．
10、 B． C． D．
答案：C
25、（2013山東德州特長展示）二次函數(shù)的圖象如圖所示，在下列說法中：
①0；②；③；
x
y
O
3
－1
第1題圖
④當時，隨著的增大而增大．正確的說法個數(shù)是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
C
26、 (2013年江蘇無錫崇安一模）若二次函數(shù)y＝x2－6x＋c的圖象過A(－1，y1)、B(2，y2)、C(3＋，y3)三點，則y1、y2、y3的大小關(guān)系正確的是…………………………………………………………（ ▲ ）
A．y
11、1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
答案：B
27．（2013年杭州拱墅區(qū)一模）二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，a≠0）圖象的對稱軸是直線，其圖象一部分如圖所示，對于下列說法：①；②；③；④當時，．其中正確的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②③④
答案：C
28. （2013年廣西欽州市四模）如圖3，從地面堅直向上拋出一個小球，小球的高度h（單位：m）與小球運動時間t（單位：s）之間的關(guān)系式為，那么小球從拋出至回落到地面所需要的時間是：
12、
（Ａ）6s （Ｂ）4s （Ｃ）3s （Ｄ）2s
答案：A
29．（2013年廣西梧州地區(qū)一模）如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象相交于A(，5)、B(9，2)兩點，則關(guān)于的不等式的解集為
(A) ( B) (C) ( D) 或
答案：Ａ
解析式為
Ａ．； Ｂ．；Ｃ．； Ｄ．．
答案：D
二、填空題
1、（2013年湖北荊州模擬題）.如圖，把拋物線y=x2平移得到拋物線m，拋物線m經(jīng)過點A（-6，0）和原點O（0，0），它的頂點為P，它的對稱軸與拋物
線y=x2交于點Q，
則圖中陰影部分的面積為
13、________▲________．
答案：
2．（2013年北京龍文教育一模）點A（，）、B（，）在二次函數(shù)的圖象上，若＞＞1，則與的大小關(guān)系是 ．（用“＞”、“＜”、“=”填空）
答案：. 1、(2013年湖北荊州模擬5)把拋物線y=x2+2x-3向左平移3個單位，然后向下平移2個單位，則所得的拋物線的解析式為 ▲ .
答案：y=x2+8x+10
3、（2013年上海長寧區(qū)二模)若將拋物線沿著x軸向左平移1個單位，再沿y軸向下平移2個單位，則得到的新拋物線的頂點坐標是 .
答案：(0,－2)
4、（2013浙江東陽吳宇模擬題）
14、當時，下列函數(shù)中，函數(shù)值隨自變量增大而增大的是 （只填寫序號） ①； ②； ③； ④．
答案：①④
5、（2013浙江省寧波模擬題）拋物線y＝3x2的圖象向左平移1個單位，則平移后的拋物線的解析式為______________．
答案：y=3(x+1)2
6、(2013年江蘇南京一模)二次函數(shù)的圖象如圖所示，試確定、的符號； 0， 0．（填不等號）
答案：＜ ＞
7、(2013年江蘇南京一模)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①c＝2；
②b2－4ac<0；
15、③當x=1時，y的最小值為a+b+c中，正確的有
x
y
O
2
2
___________ _____
答案：①、③
8、(2013年江蘇南京一模)將下列函數(shù)圖像沿y軸向上平移a（a＞0）個單位長度后，
不經(jīng)過原點的有 ▲ (填寫正確的序號)．
① y＝；②y＝3x－3；③y＝x2＋3x＋3；④y＝－(x－3)2＋3．
答案：①③
9、二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的部分圖象如圖所示，由圖象可知該二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線x＝ 2 ．
10. 若拋物線與滿足，則稱互為“相關(guān)拋物線”. 給出如下結(jié)論：
①y1與
16、y2的開口方向，開口大小不一定相同;
②y1與y2的對稱軸相同;
③若y2的最值為m，則y1的最值為k2m;
④若y2與x 軸的兩交點間距離為d，則y1與x 軸的兩交點間距離也為.
其中正確的結(jié)論的序號是___①②④________（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）.
11、（2013杭州江干區(qū)模擬）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像交于A、B兩點，已知B點的橫坐標為2，當時，自變量的取值范圍是 ▲ ．
【答案】
12、（2013河南南陽市模擬）已知下列函數(shù)①y=x2；②y=﹣x2；③y=（x﹣1）2+2．其中，圖象通過平移可以得到函數(shù)y=x2+2
17、x﹣3的圖象的有 （填寫所有正確選項的序號）．
【答案】 ①③
13、(2013年廣東省佛山市模擬)甲、乙兩位同學對問題“求函數(shù)的最小值”提出各自的想法。甲說：“可以用配方法，把它配成，所以函數(shù)的最小值為-2”。乙說：“我也用配方法，但我配成，最小值為2”。你認為__________（填寫“甲對”、“乙對”、“甲、乙都對”或“甲乙都不對”）的。你還可以用________法等方法來解決．（原創(chuàng)）
答案：乙 圖象（答案不唯一）
14、（2013年廣州省惠州市模擬） 拋物線的對稱軸是__________.．
答案：2
15、(2013年廣東省中山市一模
18、)已知反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，則取值范圍是__________
答案：m＞5
16、(2013北侖區(qū)一模)16．點、是二次函數(shù)的圖象上兩點，則與的大小關(guān)系為 ▲ （填“＞”、“＜”、“＝”）．
【答案】<
17、（2013溫州模擬）13．二次函數(shù)的最小值是 ▲ ．
【答案】2
（第3題圖）
18、 (2013浙江永嘉一模)12. 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的部分圖象如圖所示，由圖象可知該二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線x＝ ▲ ．
【答案】2
19．（2013鄭州外國語預測卷）二次函數(shù)y=-x2+2x+k的部
19、分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一個解x1=3,另一個解x2= .
答案：-1
20. （2013遼寧葫蘆島一模） 已知二次函數(shù)()的圖象如圖所示，
有下列結(jié)論：①；②；③；
④． 其中，正確結(jié)論的個數(shù)是 （ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：D
21．（2013遼寧葫蘆島一模）已知點A（m，0）是拋物線與x軸的一個交點，則代數(shù)式的值是 ?。?
答案：2015
22、（2013鳳陽縣縣直義教教研中心）已知二次函數(shù)y=ax2+bx
20、+c的圖象如圖所示，
它與x軸的兩個交點分別為（﹣1，0），（3，0）．
對于下列命題：①b﹣2a=0；②abc＞0；③a﹣2b+4c＜0；
④8a+c＞0．其中正確結(jié)論的是__________． ②③④
x
y
O
A
B
第2題圖
O
3
x
2
y
23、（2013山東德州特長展示）如圖，拋物線與直線相交于O（0，0）和A（3，2）兩點，則不等式的解集為 ?。?
24、 (2013珠海市文園中學一模）當時，下列函數(shù)中，函數(shù)值隨自
21、變量增大而增大的是 ?。ㄖ惶顚懶蛱枺?；②；③；④
答案：①④；
25．（2013年廣西梧州地區(qū)一模）請選擇一組你喜歡的a、b、c的值，使二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）同時滿足下列條件：①開口向下；②當x＜-1時，y隨x的增大而增大，
當x＞-1時，y隨x的增大而減小，這樣的函數(shù)關(guān)系式可以是 ★ .
答案：y=- x2-2x，（答案不唯一）
26．（2013年上海靜安區(qū)二摸）將拋物線向右平移3個單位，所得拋物線的表達式是 ▲ ．
答案：
27．（2013年上海閔行區(qū)二摸）已知拋物線經(jīng)過點（3，2
22、），那么該拋物線的對稱軸是直線 ▲ .
答案：
三、解答題
1、（2013年湖北荊州模擬題）已知拋物線的函數(shù)解析式為y＝ax2＋bx－3a（b＜0），若這條拋物線經(jīng)過點（0，－3），方程ax2＋bx－3a＝0的兩根為x1，x2，且|x1－x2|＝4．
⑴求拋物線的頂點坐標．
⑵已知實數(shù)x＞0，請證明x＋≥2，并說明x為何值時才會有x＋＝2．
解：（1）∵拋物線過（0，－3）點，∴－3a＝－3 ∴a＝1 ∴y＝x2＋bx－3
∵x2＋bx－3＝0的兩根為x1，x2， ∴,·=-3
∵＝4∴＝4
∴ ∴ ∵b＜0 ∴b＝－2
∴
23、y＝x2－2x－3＝（x－1）２－4 ∴拋物線的頂點坐標為（1，－4）
（2）∵x＞0，∴
∴顯然當x＝1時，才有
2．（2013年安徽鳳陽模擬題三）已知點A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在拋物線上.
（1）求拋物線與x軸的交點坐標；
（2）當a=1時，求△ABC的面積；
（3）是否存在含有、y、y，且與a無關(guān)的等式？如果存在，試給出一個，并加以證明；如果不存在，說明理由.
∴拋物線與x軸的交點坐標為（0，0）、（，0）． （5分）
（2）當a=1時，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81）， （6分）
分別過點A、B、C作x軸的
24、垂線，垂足分別為D、E、F，則有
=S － － （7分）
=－－ （8分）
=5（個單位面積） （9分）
（3）如：． （12分）
事實上， =45a2+36a．
3（）=3[5×（2a）2+12×2a－（5a2+12a）] =45a2+36a．
∴． （1
3．（2013年北京順義區(qū)一模）已知關(guān)于的方程
（1）求證：無論取任何實數(shù)時，方程恒有實數(shù)根.
（2）若關(guān)于的二次函數(shù)的圖象與軸兩個交點的橫坐標均為正整數(shù)，且為整數(shù)，求拋物線的解析式.
答案：（1）證明：①當時，
25、方程為，
所以 ，方程有實數(shù)根.…… 1分
②當時,
=
=
= ………………………………2分
所以,方程有實數(shù)根
綜①②所述，無論取任何實數(shù)時，方程恒有實數(shù)根 …………3分
（2）令，則
解關(guān)于的一元二次方程，得 ， ……………………5分
二次函數(shù)的圖象與軸兩個交點的橫坐標均為正整數(shù)，且為整數(shù)，
所以只能取1，2
26、
所以拋物線的解析式為或………………7分
4. （2013年北京房山區(qū)一模）已知，拋物線，當1＜x＜5時，y值為正；當x＜1或x＞5時，y值為負.
（1）求拋物線的解析式.
（2）若直線（k≠0）與拋物線交于點A（，m）和B（4，n），求直線的解析式.
（3）設(shè)平行于y軸的直線x=t和x=t+2分別交線段AB于E、F，交二次函數(shù)于H、G.
①求t的取值范圍
②是否存在適當?shù)膖值，使得EFGH是平行四邊形？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由.
答案：解：（1）根據(jù)題意，拋物線與x軸交點為（1,0）和（5,0）----1分
∴，解得.
∴拋物線的解析式為.
27、 --------------------2分
（2）∵的圖象過A（，m）和B（4，n）兩點
∴ m=，n=3 ， ∴A（，）和B（4，3） ------------ 3分
∵直線（k≠0）過A（，）和B（4，3）兩點
∴，解得.
∴直線的解析式為. -------------------4分
（3）①根據(jù)題意，解得t2 -------------------5分
②根據(jù)題意E（t，），F(xiàn)（t+2，）
H（t，），G（t+2，），
∴EH=，F(xiàn)G=.
若EFG
28、H是平行四邊形，則EH=FG，即=
解得t=， - ---------------------6分
∵t=滿足t2.
∴存在適當?shù)膖值，且t=使得EFGH是平行四邊形.----------7分
第3題圖
5．（2013年北京龍文教育一模）已知，二次函數(shù)的圖象如圖所示.
（1）若二次函數(shù)的對稱軸方程為，求二次函數(shù)的解析式；
（2）已知一次函數(shù)，點是x軸上的一個動點．若在（1）的條件下，過點P垂直于x軸的直線交這個一次函數(shù)的圖象于點M，交二次函數(shù)的圖象于點N．若只有當1
29、＜m＜時，點M位于點N的上方，求這個一次函數(shù)的解析式；
（3）若一元二次方程有實數(shù)根，請你構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)，根據(jù)圖象直接寫出的最大值．
答案：解：（1） 二次函數(shù)的對稱軸方程為，由二次函數(shù)的圖象可知
二次函數(shù)的頂點坐標為（1,-3），二次函數(shù)與軸的交點坐標為，
于是得到方程組 ……………………………………..2分
解方程得
二次函數(shù)的解析式為 . ……………………………………..3分
（2）由（1）得二次函數(shù)解析式為．
依題意并結(jié)合圖象可知，一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交點的橫坐標分別為和，
由此可得交點坐標為和． …………………………..4分
第3題圖
30、
將交點坐標分別代入一次函數(shù)解析式中，
得
解得
∴ 一次函數(shù)的解析式為． ……………………………..6分
（3）. ……………………………………………..7分
第4題圖
6．（2013北京順義區(qū)一模）如圖，已知拋物線與軸交于點，且經(jīng)過兩點，點是拋物線頂點，是對稱軸與直線的交點，與關(guān)于點對稱．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求證：；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點，使與相似．若有，請求出所有符合條件的點的坐標；若沒有，請說明理由．
答案：解：（1）將點代入得
第4題圖
……………………1分
31、
解之得，
所以拋物線的解析式為 ………2分
（2）由（1）可得拋物線頂點 …… 3分
直線的解析式為
由是對稱軸與直線的交點，則
由與關(guān)于點對稱 ，則………4分
證法一：
從點分別向?qū)ΨQ軸作垂線，交對稱軸于
在和中
，
所以∽
所以 …………………………………5分
證法二：直線的解析式為
點 關(guān)于對稱軸的對稱點是
將點代入可知點在直線
所以
（3）在中，三內(nèi)角不等，且為鈍角
① 若點在點下方時，
在中，為鈍角
因為，
所以和不相等
所以，點在點下方時，兩三角形不能相似 …………………… 6分
②
32、 若點在點上方時，
由，要使與相似
只需（點在之間）或（點在的延長線上）
解得點的坐標為或 ………………………………………8分
7、(2013年安徽省模擬七)如圖，點A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置.
（1）求點B的坐標；
（2）求經(jīng)過點A、O、B的拋物線的解析式；
（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，
使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？
若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由.
答案：解：（1）如圖，過點B作BC⊥x軸，垂足為C，則∠BCO＝90°.
∵∠AOB＝120°，∴∠BOC＝60°
33、.
又∵OA＝OB＝4
∴OC＝OB＝×4＝2，BC＝OB·sin60°＝4×＝2.
∴點B的坐標是(－2，2). （4分）
（2）∵拋物線過原點O和點A、B，∴可設(shè)拋物線解析式為y＝ax2+bx..
將A(4，0)，B(－2，2)代入，
得解得
∴此拋物線的解析式為y＝. （8分）
（3）存在.
如圖，拋物線的對稱軸是x＝2，直線x＝2與x軸的交點為D.
設(shè)點P的坐標為(2，y)
①若OB＝OP，
則22+| y |2＝42，解得y＝±2.
當y＝－2時，在Rt△
34、POD中，∠POD＝90°，
sin∠POD＝.
∴∠POD＝60°.
∴∠POB＝∠POD+∠AOB＝60°+120°＝180°，
即P，O，B三點在同一條直線上，
∴y＝－2不符合題意，舍去. ∴點P的坐標為(2，2).
②若OB＝PB，則42+| y －2|2＝42，解得y＝2.
∴點P的坐標是(2，2).
③若OP＝PB，則22+| y |2＝42+| y－2 |2，解得y＝2.
∴點P的坐標是(2，2).
綜上所述，符合條件的點P只有一個，其坐標為(2，2). （14分）
8、（2013年聊城莘縣模擬）如圖1，已知：拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，經(jīng)過兩
35、點的直線是，連結(jié)．
（1）兩點坐標分別為（_____，_____）、（_____，_____），拋物線的函數(shù)關(guān)系式為______________；
（2）判斷的形狀，并說明理由；
（3）若內(nèi)部能否截出面積最大的矩形（頂點在各邊上）？若能，求出在邊上的矩形頂點的坐標；若不能，請說明理由．（本題共11分）
答案：解：（1）（4，0），．
．
（2）是直角三角形．
證明：令，則．
．
．
解法一：．
．
是直角三角形．
解法二：
．
．
，
．即．
是直角三角形．
（3）能．當矩形兩個頂點在上時，如圖1，交于．
，
．
．
解法一：設(shè)，則，，
36、．
=．
當時，最大．
．
，
．
，．
解法二：設(shè)，則．
．
當時，最大．
．
，
，．
當矩形一個頂點在上時，與重合，如圖2，
，
．
．
解法一：設(shè)，，
．
=．
當時，最大．
，．
解法二：設(shè)，，，，．．
=
當時，最大，
．．
綜上所述：當矩形兩個頂點在上時，坐標分別為，（2， 0）；
當矩形一個頂點在上時，坐標為.
9、（2013屆金臺區(qū)第一次檢測）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其頂點在直線y=－2x上.
（1）求a的值；
（2）求A，B兩點的坐標;
（3）以AC，CB為一組鄰邊作□A
37、CBD,則點D關(guān)于x軸的對稱點D′是否在該拋物線上？請說明理由.
答案：解：（1）拋物線y=x2﹣x+a=（x2﹣2x）+a=（x﹣1）2﹣+a，
∴拋物線頂點坐標為：（1，﹣ +a）
∵拋物線y=x2﹣x+a其頂點在直線y=﹣2x上
則將頂點坐標代入y=﹣2x得
﹣+a=﹣2，∴a=﹣； （2分）
（2）由（1）寫出拋物線解析式為：y=x2﹣x﹣
∵拋物線y=x2﹣x﹣與x軸交于點A、B，
∴0=x2﹣x﹣，整理得：x2﹣2x﹣3=0，
解得：x=﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）； （5分）
（3）作出平行四邊形ACBD，作DE⊥AB，
∵
38、二次函數(shù)解析式為：y=x2﹣x﹣
∴圖象與y軸交點坐標為：（0，﹣），∴CO=，DE= （7分）
∵∠CAO=∠DBE，∠DEB=∠AOC ∴△AOC≌△BDE
∴AO=BE=1， OE=OB-BE=2
∴D點的坐標為：（2，）， （9分）
則點D關(guān)于x軸的對稱點D′坐標為：（2，﹣），
代入解析式y(tǒng)=x2﹣x﹣，左邊=﹣，右邊=×4﹣2﹣=﹣，
∴D′點在函數(shù)圖象上．（10分）
10、（2013年上海奉賢區(qū)二模）如圖，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點B（1,2），與軸的另一個交點為A，點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C，過點B作直線BM⊥軸垂足為點M．
（
39、1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在直線BM上有點P（1，），聯(lián)結(jié)CP和CA，判斷直線CP與直線CA的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，在坐標軸上是否存在點E，使得以A、C、P、E為
頂點的四邊形為直角梯形，若存在，求出所有滿足條件的點E的坐標；
若不存在，請說明理由。
A
P
O
x
B
M
y
答案：（1）∵點B（1,2）在二次函數(shù)的圖像上，
∴ ------------------------------------------------------------------------------(3分)
∴二次函數(shù)的解析式為---
40、--------------------------------------------（1分）
（2）直線CP與直線CA的位置關(guān)系是垂直--------------------------------------------(1分)
∵二次函數(shù)的解析式為
∴點A(3,0) C(2,2) ------------------------------------------------------------------(1分)
∵P（1，）
∴ -------------------------------------------(1分)
∴ ∴∠PCA=90°
41、--------------------------------------(1分)
即CP⊥CA
(3) 假設(shè)在坐標軸上存在點E，使得以A、C、P、E為頂點的四邊形為直角梯形，
∵∠PCA=90°
則①當點E在軸上，PE//CA
∴△CBP∽△PME ， ∴，∴，∴---------------(2分)
②當點E在軸上， PC//AE
∴△CBP∽△AOE， ∴，∴，∴--------------(2分)
即點Q的坐標、時，以A、C、P、E為頂點的四邊形為直角梯形。
11.已知二次函數(shù)過點（1，1）和點（2，10），求二次函數(shù)的解析式，并求二次函數(shù)圖象的頂點坐標。
1
42、8.把（1，1）和（2，10）代入得：
解得：∴二次函數(shù)的解析式為：= ∴二次函數(shù)的頂點坐標為
12.（本題14分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．動點P從點A出發(fā)沿AC向終點C運動，同時動點Q從點B出發(fā)沿BA向點A運動，到達A點后立刻以原來的速度沿AB返回．點P，Q運動速度均為每秒1個單位長度，當點P到達點C時停止運動，點Q也同時停止．連結(jié)PQ，設(shè)運動時間為t（t >0）秒．
（1）求線段AC的長度；
（2）當點Q從B點向A點運動時（未到達A點），求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）伴隨著P，Q兩點的運動，線段PQ的垂直平分線為l
43、：
①當l經(jīng)過點A時，射線QP交AD于點E，求AE的長；
②當l經(jīng)過點B時，求t的值．
解：（1）在矩形ABCD中，……2分
（2）如圖①，過點P作PH⊥AB于點H，AP=t，AQ =3－t，
由△AHP∽△ABC，得，∴PH=，……2分
，…………2分
.…………1分
圖②
(3) ①如圖②，線段PQ的垂直平分線為l經(jīng)過點A，則AP=AQ，
即3－t=t，∴t=1.5，∴AP=AQ=1.5，…………………………1分
延長QP交AD于點E，過點Q作QO∥AD交AC于點O，
則，
，∴PO=AO－AP=1．
由△APE∽△OPQ，得．……2
44、分
②（?。┤鐖D③，當點Q從B向A運動時l經(jīng)過點B，
BQ＝CP＝AP＝t，∠QBP＝∠QAP
∵∠QBP＋∠PBC＝90°，∠QAP＋∠PCB＝90°
∴∠PBC＝∠PCB CP＝BP＝AP＝t
∴CP＝AP＝AC＝×5＝2.5 ∴t＝2.5． ………2分
（ⅱ）如圖④，當點Q從A向B運動時l經(jīng)過點B，
BP＝BQ＝3－（t－3）＝6－t，AP＝t，PC＝5－t，
過點P作PG⊥CB于點G由△PGC∽△ABC，
得
,BG＝4－=
由勾股定理得，即
，解得．………2分
13．已知點A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在拋
45、物線上.
（1）求拋物線與x軸的交點坐標；
（2）當a=1時，求△ABC的面積；
（3）是否存在含有、y、y，且與a無關(guān)的等式？如果存在，試給出一個，并加以證明；如果不存在，說明理由.
解：（1）由5=0， （1分）
得，． （3分）
∴拋物線與x軸的交點坐標為（0，0）、（，0）． （5分）
（2）當a=1時，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81）， （6分）
分別過點A、B、C作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，則有
=S - - （7分）
=-- （8分）
=5（個單位面積） （9分）
（3）如：． （12分）
事實上， =45a2
46、+36a．
3（）=3[5×（2a）2+12×2a-（5a2+12a）] =45a2+36a．
∴．
14、（2013云南勐捧中學模擬）（本小題9分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過M（1，0）和N（3，0）兩點，且與y軸交于D（0，3），直線l是拋物線的對稱軸．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）若過點A（﹣1，0）的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，求此直線的解析式．
（3）點P在拋物線的對稱軸上，⊙P與直線AB和x軸都相切，求點P的坐標．
47、
第23題圖
【答案】
解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過M（1，0）和N（3，0）兩點，且與y軸交于D（0，3），
∴假設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=a（x﹣1）（x﹣3），
將D（0，3），代入y=a（x﹣1）（x﹣3），得：
3=3a，∴a=1，
∴拋物線的解析式為：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3；
（2）∵過點A（﹣1，0）的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，
∴AC×BC=6，
∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過M（1，0）和N（3，0）兩點，
∴二次函數(shù)對
48、稱軸為x=2，
∴AC=3，
∴BC=4，
∴B點坐標為：（2，4），
一次函數(shù)解析式為；y=kx+b，
∴，解得：，
y=x+；
（3）∵當點P在拋物線的對稱軸上，⊙P與直線AB和x軸都相切，
∴MO⊥AB，AM=AC，PM=PC，
∵AC=1+2=3，BC=4，
∴AB=5，AM=3，
∴BM=2，
∵∠MBP=∠ABC，
∠BMP=∠ACB，
∴△ABC∽△CBM，
∴，
∴，
∴PC=1.5，
P點坐標為：（2，1.5）．
14、（2013溫州模擬）21. (本題10分) 如圖，拋物線的頂點為A（2，1），且經(jīng)過原點O，與x軸的另一個交點為B．
49、
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上求點M，使△MOB的面積是△AOB面積的3倍.
【答案】（1）由題意，可設(shè)拋物線的解析式為， ………………1分
∵拋物線過原點，
∴， ． ………………2分
∴拋物線的解析式為．………………1分
（2）和所求同底不等高，，
∴的高是高的3倍，即M點的縱坐標是． ……………1分
∴，即． ………………2分
解之，得 ，． ………………1分
∴滿足條件的點有兩個：，． ………………2分
y
x
O
A
B
15、（2013重慶一中一模）25． 如圖,在平面直角坐標系中，點為二次函
50、數(shù)與反比例函
數(shù)在第一象限的交點，已知該拋物線交軸正
負半軸分別于點、點，交軸y
x
y
負半軸于點，且．
（1） 求二次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2） 已知點為拋物線上一點，且在第三象限，順次連接點，求四
邊形面積的最大值；
（3） 在（2）中四邊形面積最大的條件下，過點作軸于點，交
的延長線于點,為線段上一點，且點到直線的距離等于線段
的長，求點的坐標．
【答案】
16解：（1）將A（2,3）代入中， ∴ ..............1分
51、
解得 ∴ ...........4分
∴當時，四邊形DMBE的面積最大為9 . .................8分
H
E
P
F
Q
O
...............12分
17．（2013江西饒鷹中考模擬）已知：拋物線的頂點為P，與x軸的交點為A，B（點A在點B的左側(cè)）.
(1) 當，直接寫出與拋物線有關(guān)的三條正確結(jié)論；
（2）若拋物線經(jīng)過原點，且△ABP為
52、直角三角形.求a，b的值；
（3）若將拋物線沿軸翻折得拋物線，拋物線的頂點為Q，則以A，P，B，Q為頂點的四邊形能否為正方形？若能，請求出a，b滿足的關(guān)系式；若不能，說明理由．
y
x
O
y
x
O
備用圖
]答案：
解：（1）①拋物線開口向下；②拋物線的對稱軸是. ；
③拋物線的頂點坐標是（2,４）（答案不唯一）
（2）設(shè)直線與軸交于點E,則E（2,0）.
∵拋物線經(jīng)過原點， ∴Ａ(0,0),Ｂ(4,0)
53、.
∵△ABC為直角三角形，根據(jù)拋物線的對稱性可知,
∴,
∴Ｐ(2,－2)或(2,2).[來%^~&源:中#教網(wǎng)]
當拋物線的頂點為Ｐ(2,－2)時，，把(0,0)代入，
得：，此時，.
當拋物線的頂點為Ｐ(2,2)時，，把(0,0)代入，
得：，此時，.
∴，或，.
（3）依題意，Ａ、Ｂ關(guān)于點E中心對稱，當Ｐ,Ｑ也關(guān)于點E對稱，
則當時， 四邊形ABDC是正方形.
令 則[來#@源*:zzste^~]
解得：且Ｅ（2,０）
∴
∴ ，
∴.
54、
18．（2013寧波五校聯(lián)考一模）如圖，將□OABC放置在平面直角坐標系xOy內(nèi)，已知AB邊所在直線的解析式為：y = ? x + 4．
(1)點C的坐標是（ ▲ ， ▲ ）；
A
B
C
D
E
O
x
y
P
(2)若將□OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得OBDE，BD交OC于點P，求△OBP的面積；
(3)在(2)的情形下，若再將四邊形OBDE沿y軸正方向平移，設(shè)平移的距離為x（0≤x≤8），與□OABC重疊部分面積為S，試寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．
答案：
解：（1）C（?
55、4，4） 3’
（2）證得等腰直角△OBP， 4’
∵OB=4，∴S△OBP=4 5’
y
A
B
C
D
E
O
x
F
G
H
K
P
（3）①當0≤x<4時，
∵OF=GB=x，
∴S△OFK=，S△HBG=．
∵S△OPG=，
∴S五邊形KFBHP=??
=． 7’
當x=2時，Smax=f(2)=6． 8’
②當4≤x≤8時，
A
B
C
D
E
O
x
F
G
H
P
y
∵HB=FB=x?4，
∴CH=8?x，
∴S△CPH=． 10’
當x=4時，Smax=f(4)=4． 11’
∴當x=2時，S取
56、得最大值為6． 12’
19．（2013寧波五校聯(lián)考一模）某種樂器有10個孔，依次記作第1孔，第2孔，……，第10孔，演奏時，第n孔與其音色的動聽指數(shù)D之間滿足關(guān)系式D=n2+kn+90，該樂器的最低動聽指數(shù)為4k+106，求常數(shù)k的取值范圍.
答案：解：拋物線D=n2+kn+90的對稱軸為
（1）當 即時，有，
故 解得 （不合題意） 3分
（2）當，即時，有，
故 解得 （不合題意） 6分
（3）當，即時，
在取值范圍內(nèi)，D有最低動聽指數(shù)，且為
故
化簡得
解得
57、 10分
綜上所述，的取值范圍是 12分
20. （2013寧波五校聯(lián)考二模）已知拋物線 經(jīng)過點（1，2）。
（1）若a＝1，拋物線頂點為A，它與x軸交于兩點B、C，且⊿ABC為等邊三角形，
求b的值；
（2）若abc＝4，且a≥b≥c，求 |a| ＋ |b| ＋ |c| 的最小值。
解：⑴由題意，a＋b＋c＝2， ∵a＝1，∴b＋c＝1 拋物線頂點為A（－，c－）
設(shè)B（x1，0），C（x2，0），∵x1＋x2＝－b，x1x2＝c，△＝b2－4c＞0
58、∴|BC|＝| x1－x2|＝＝＝
∵△ABC為等邊三角形，∴ －c＝
即b2－4c＝2·，∵b2－4c＞0，∴＝2
∵c＝1－b， ∴b2＋4b－16＝0， b＝－2±2 所求b值為－2±2
⑵∵a≥b≥c，若a＜0，則b＜0，c＜0，a＋b＋c＜0，與a＋b＋c＝2矛盾.∴a＞0．
∵b＋c＝2－a，bc＝ ∴b、c是一元二次方程x2－(2－a)x＋＝0的兩實根．
∴△＝（2－a）2－4×≥0， ∴a3－4a2＋4a－16≥0, 即（a2＋4）(a－4)≥0，故a≥4.
∵abc＞0，∴a、b、c為全大于０或一正二
59、負．
①若a、b、c均大于０，∵a≥4，與a＋b＋c＝2矛盾；
②若a、b、c為一正二負，則a＞0，b＜0，c＜0,
則|a|＋|b|＋|c|＝a－b－c＝a－(2－a)＝2a－2，∵ a≥4，故2a－2≥6
當a＝4，b＝c＝－1時，滿足題設(shè)條件且使不等式等號成立．
故|a|＋|b|＋|c|的最小值為6．
21、（2013年湖北武漢模擬）（本題滿分12分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（－，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，線段BC與拋物線的對稱軸l相交于點D。設(shè)拋物線的頂點為P，連接PA、AD、DP，線段AD與y軸相交于點E。
??（1）求該拋物線的
60、解析式；
??（2）在平面直角坐標系中是否存在點Q，使以Q、C、D為頂點的三角形與△ADP全等？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由；
??（3）將∠CED繞點E順時針旋轉(zhuǎn)，邊EC旋轉(zhuǎn)后與線段BC相交于點M，邊ED旋轉(zhuǎn)后與對稱軸l相交于點N，連接PM、DN，若PM＝2DN，求點N的坐標（直接寫出結(jié)果）。?
解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（－，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，
∴拋物線的解析式可設(shè)為，
將C（0，3）代入得，解得。
∴拋物線的解析式為
61、，即。
（2）存在。如圖，
由得對稱軸l為，
由B（3，0）、C（0，3）得tan∠OBC=，
∴∠OBC==300。
由軸對稱的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，得
∠ADP==1200。
由銳角三角函數(shù)可得點D的坐標為（，2）。
∴DP=CP=1，AD=4。
①在y軸正方向上存在點Q1，只要CQ1=4，
則由SAS可判斷△Q1CD≌△ADP，
此時，Q1的坐標為（0，7）。
②由軸對稱的性質(zhì)，得Q1關(guān)于直線BC的對稱點Q2也滿足
△Q2CD≌△ADP，
過點Q2作Q2G⊥y軸于點G，則在Rt△CQ2G中，由Q2C=4，∠Q2
62、CG=600
可得
CG=2，Q2G=2。∴OG=1?！郠2的坐標為（－2，1）。
③在對稱軸l點P關(guān)于點D的反方向上存在點Q3，只要DQ3=4，
則△Q3DC≌△ADP，
此時，Q3的坐標為（，－2）。
④由軸對稱的性質(zhì)，得Q3關(guān)于直線BC的對稱點Q4也滿足
△Q2DC≌△ADP，
過點Q4作Q4H⊥l于點H，則在Rt△DQ4H中，由Q4D=4，∠Q4DH=600
可得
DH=2，HQ4=2。∴Q4的坐標為（3，4）。
綜上所述，點Q的坐標為（0，7）或（－2，1）或（，－2）或（3，4）。
（3）（）。
22.（2013年湖北宜昌調(diào)研）拋物線中，b，c是非零常
63、數(shù)，無論a為何值（0除外），其頂點M一定在直線y=kx+b上，這條直線和x軸，y軸分別交于點E，A，且OA=OE.
（1）求k的值；
（2）求證：這條拋物線經(jīng)過點A；
第24題圖
（3）經(jīng)過點A的另一條直線y=mx+n和這條拋物線只有一個公共點，經(jīng)過點M作x軸的平行線和直線y=mx+n交于點B，經(jīng)過點B作x軸的垂線和這條拋物線交于點C，和直線y=kx+1交于點D，探索CD和BC的數(shù)量關(guān)系.
解：(1)k＝1……………………… (1分)
(2)將頂點M坐標代入y＝x＋1化簡得：(4c－4)a＝b2－2b………………… (3分)
∵無
64、論a為和何值，等式都成立，所以4c－4＝0，b2－2b＝0
∴c＝1，b＝2
（也可以取兩個特殊值得到點M的坐標，代入直線表達式求出b，c的值）
∴拋物線經(jīng)過點A……………………… (5分)
(3)由題意：方程mx＋1＝ax2＋2x＋1的△＝0，
∴(2－m)2＝0，m＝2………………………(7分)
∴點B，C，D的坐標分別是B(－，)，C(－， )，D(－，)；……… (10分)
用a表示出BC，CD的長度，得到BC＝CD＝||………………… (12分)
（求出BC＝－或不扣分）
23.（2013年吉林沈陽模擬）（
65、14分）如圖，拋物線的頂點坐標為，并且與y軸交于點C，與x軸交于兩點A,B.
（1）求拋物線的表達式；
（2）設(shè)拋物線的對稱軸與直線BC交于點D，連結(jié)AC、AD, 求△ACD的面積；
（3）點E位直線BC上一動點，過點E作y軸的平行線EF，與拋物線交于點F.問是否存
在點E，使得以D、E、F為頂點的三角形與△BCO相似.若存在，求出點E的坐標；若不存
在，請說明理由.
答案：（1）由題意可設(shè)拋物線的表達式為.
∵點C在拋物線上，
∴，解得.
∴拋物線的表達式為，即
（2）令，即，解得，
∴.
設(shè)BC的解析式為將代入得，解得.
∴直線B
66、C的解析式為
當時，，∴.
所以－－
(1) 假設(shè)存在點E，使得以D、E、F為頂點的三角形與△BCO相似，
∵△BCO是等腰直角三角形，
則以D、E、F為頂點的三角形也必須是等腰直角三角形.
由EF∥OC得∠DEF=45°，故以D、E、F為頂點的等腰直角三角形
只能以點D、F為直角頂點
25. 點F為直角頂點時，DF⊥EF，此時△DEF∽△BCO，
所以DF所在的直線為
由，解得
將代入，得，∴
將代入，得，∴
24.當D為直角頂點時，DF⊥ED，此時△EFD∽△BCO.
∵點D在對稱軸上，∴DA=DB ，
∵∠CBA=45°，
∴∠DAB=45°,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,故點Ｆ在直線AD上．
設(shè)直線AD的解析式為將代入得：
，解得，所以直線AD的解析式為，
由，解得。
將代入，得，∴
將代入，得，∴.
綜上所述，點E的坐標可以是，，
25、（2013年杭州拱墅區(qū)一模）設(shè)函數(shù)，其中a可取的值是－1，0，1； b可取的值是－1，1，2：
（1）當a、b 分別取何值時所得函數(shù)有最小值？請直接
全國各地名校2013年中考數(shù)學5月試卷分類匯編 18 二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)
