數(shù)學分析2課件：9-4 定積分的性質(zhì)

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1、4 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)補充規(guī)定補充規(guī)定:（1）當）當ba 時，時，0)(badxxf；（2）當當ba 時時，abbadxxfdxxf)()(.說明說明 在下面的性質(zhì)中，如不特別聲明，則不考慮積在下面的性質(zhì)中，如不特別聲明，則不考慮積分上下限的大小分上下限的大小 badxxf)(iiniTxf )(lim10|,，使使分分割割可可積積在在Tbaxf ,0,)(.Tiix.,iT 任意的點集任意的點集任意的分割任意的分割一、定積分的基本性質(zhì)一、定積分的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1若若f在在a,b上可積，上可積，k為常數(shù)，則為常數(shù)，則kf在在a,b上也可積，且上也可積，且 babadxxfkdxxk

2、f)()(k 為為常常數(shù)數(shù)).badxxkf)(iiniTxkf )(lim10|iiniTxfk )(lim10|iiniTxfk )(lim10|線性線性.)(badxxfk證：證：證畢證畢 badxxgxf)()(badxxf)(badxxg)(.性質(zhì)性質(zhì)2 2 性質(zhì)性質(zhì) 1 與與 2 合為合為定積分的線性定積分的線性:.)()()()(bababadxxghdxxfkdxxhgxkf（k、h 為常數(shù)為常數(shù)).若若f、g在在a,b上可積，則上可積，則 f g 在在a,b上也可積，且上也可積，且證證 badxxgxf)()(iiiniTxgf )()(lim10|iiniTxf )(lim

3、10|iiniTxg )(lim10|badxxf)(.)(badxxg（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）思考思考 若若)(),(xgxf在在,ba上上都都可可積積，則則)()(xgxf 在在,ba上上也也可可積積。這這一一性性質(zhì)質(zhì)之之逆逆成成立立嗎嗎？為為什什么么？解解 由由)()(xgxf 在在,ba上上可可積積，不不能能斷斷言言)(),(xgxf在在,ba上上都都可可積積。為無理數(shù)為無理數(shù)，為有理數(shù)為有理數(shù)xxxf0,1)(為無理數(shù)為無理數(shù)，為有理數(shù)為有理數(shù)xxxg1,0)(顯然顯然)()(xgxf=1 在在 1,0上可積，但上可積，但)

4、(),(xgxf在在 1,0上都不可積。上都不可積。性質(zhì)性質(zhì)3 3若若f、g在在a,b上可積，則上可積，則 f g 在在a,b上上也可積，但一般也可積，但一般 badxxgxf)()(badxxf)(badxxg)(.證證使使的分割的分割,0TTba .Tifix .Tigixf、g在在a,b上可積，故上可積，故 f、g 在在a,b上有界，上有界，,TTT 令令則則|,)()()()(|sup,gfixgxfxgxfixx|)()()()()()()()(|sup,xgxfxfxgxfxgxgxfixx|)()(|)(|)()(|)(|sup,xgxgxfxfxfxgixx gifiAB Ti

5、gfix )(TigifixAB TigiTifixAxB AB 故故fg 在在a,b可積。可積。.,2,1|,)(|sup|,)(|sup A,nixgBxfbaxbax 記記（P215.1結(jié)論）結(jié)論）badxxgxf)()(badxxf)(badxxg)(.),1(22220 edxex,1220 edxex,4220 dx.22 202020 dxdxedxexx顯然顯然 badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.說明說明：不論：不論 的相對位置如何的相對位置如何,上式總成立上式總成立.cba,cba cadxxf)(cbbadxxfdxxf)()(badxxf)(cbcadxx

6、fdxxf)()(.)()(bccadxxfdxxf則則對對bca ，性質(zhì)性質(zhì)4 4（關(guān)于積分區(qū)間的可加性關(guān)于積分區(qū)間的可加性）如：如：若若f在在 a,c和和c,b都可積，且都可積，且f在在 a,b可積的充要條件是：可積的充要條件是：常用于計算分段函數(shù)積分。常用于計算分段函數(shù)積分。例例1 1 設(shè)設(shè) ,求求 .215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf 102152dxxdx.6 xyo12性質(zhì)性質(zhì)4的證明：的證明：因為因為f在在 a,c和和c,b可積，可積，使使的分割的分割和和,0TTbcca .2/Tiix .2/Tiix,TTT 令令

7、則則T是是a,b的一個分割，的一個分割，TiiTiiTiixxx 且且.即即f在在a,b可積?？煞e。因為因為f在在a,b可積，可積，使使的分割的分割,0Tba ,Tiix在在T上增加一個分點上增加一個分點c,得到一個新的分割得到一個新的分割T*,*TiiTiixx 則則.T*在在a,cc,b上的部分，分別構(gòu)成對上的部分，分別構(gòu)成對a,cc,b的的分割，分割，,TT 記為記為 *TiiTiixx 則則.*TiiTiixx .即即f在在a,cc,b可積?？煞e。（利用（利用P215.1結(jié)論）結(jié)論）badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.現(xiàn)在證明：現(xiàn)在證明：對對a,b作分割作分割T,使使c為

8、其中一個分點，為其中一個分點，T在在a,cc,b上的部分分別構(gòu)成上的部分分別構(gòu)成a,cc,b的分割，的分割，,TT 記為記為 )()()(TiTiiiTiixfxfxf ，和和同時有同時有又又0|0|0|TTT )(lim)(lim)(lim0|0|0|TiTiTiiTTiiTxfxfxf 即即 badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.則則0)(dxxfba.如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上0)(xf且且可可積積，推論（推論（積分不等式性積分不等式性）則則dxxfba)(dxxgba )(.如果在區(qū)間如果在區(qū)間,ba上上)()(xgxf，性質(zhì)性質(zhì)5 5（保號性保號性）證證 badxxf

9、)(iiniTxf )(lim10|.0)(ba )(ba 例例 2 2 比比較較 dxex 20和和dxx 20的的大大小小.解解,0,2 ,xxexdxex 02,02dxx dxex 20.20dxx dxxfba)(dxxfba )(.)(ba 性質(zhì)性質(zhì)6 6若若f在在a,b上可積，則上可積，則|f|在在a,b上也可積，且上也可積，且注注:|f(x)|在在a,b可積，可積，f(x)在在a,b不一定可積。不一定可積。為無理數(shù)為無理數(shù)，為有理數(shù)為有理數(shù)如：如：xxxf1,1)(在在0，1不可積，但不可積，但|f(x)|=1在在0，1可積。可積。證證,)()()(xfxfxf ,)()()(

10、dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba)(dxxfba )(.證畢。證畢。請同學自己證明可積性。請同學自己證明可積性。例例6 證明：若證明：若f在在a,b上連續(xù)，且上連續(xù)，且 ,0)(,0)(badxxfxf.,0)(baxxf 則則證：證：用反證法。用反證法。使使若若,0bax ,0)(0 xf則由連續(xù)函數(shù)的局部保號性則由連續(xù)函數(shù)的局部保號性(P76)，有有),(,000 xxx.02)()(0 xfxf bxxxxabadxxf 0000 )(0 2)(0000 xxdxxf)(0 xf.0 矛盾！矛盾！證畢。證畢。其逆否命題：若其逆否命題：若f在在a,b上連續(xù)，上連續(xù)，,

11、0)(0)(0)(badxxfxfxf，則則不不恒恒為為但但如如果果)(xf Ca,b，則則存存在在 ,ba，使使得得 證證.)(1Mdxxfabmba ,baCf 由介值定理知，由介值定理知，dxxfba)()(abf .定理定理1 1（積分第一中值定理積分第一中值定理）).()()(abMdxxfabmba 于于是是，有有.,mMbaf和和別別記記為為有有最最大大值值和和最最小小值值，分分在在存存在在 a,b，使使,)(1)(badxxfabfdxxfba)()(abf 即即證畢證畢 .二、積分中值定理二、積分中值定理在在,ba上上至至少少存存在在一一點點，幾何解釋：幾何解釋：xyoab)

12、(f使使得得以以區(qū)區(qū)間間,ba為為以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為曲邊的曲邊梯形的面積為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為等于同一底邊而高為)(f的的一一個個矩矩形形的的面面積積。baa,bf(x)dxxfab上的平均值。上的平均值。在在稱為稱為 )(1例例 4 4 設(shè)設(shè))(xf可導，且可導，且1)(lim xfx，求，求 dttfttxxx 2)(3sinlim.解解由積分第一中值定理知，由積分第一中值定理知，,2,xx 使使dttfttxx 2)(3sin)2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f)(lim/3)/3sin(lim6 f

13、.6),(3sin2 f 證法證法2 2,baCf .,上上有有原原函函數(shù)數(shù)在在baf)()()(aFbFdxxfba 的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)。為為記記 fF于于是是，)(abF )(abf ).,(ba 其其中中，.證證畢畢如如果果)(xf Ca,b，則則存存在在 ,ba，使使得得 dxxfba)()(abf .定理定理1 1（積分第一中值定理積分第一中值定理）).,(ba 事實上，事實上，由由Lagrange中值定理中值定理設(shè)設(shè) M 及及 m 分分別別是是可可積積函函數(shù)數(shù)f在在a,b上上的的最最大大值值及及最最小小值值，（證明略）（證明略）（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）（此性質(zhì)可用

14、于估計積分值的大致范圍）則則 )()()(abMdxxfabmba .性質(zhì)性質(zhì)7 7（估值不等式估值不等式）例例 3 3 估計估計 dxxx 20sin 的值的值.解解 記記,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 有有則則對對 ,2,0(x,0)(xf在在2,0(上上單單調(diào)調(diào)下下降降.,1sinlim)(lim 00 xxxfxx上界上界.2)2(f下界下界 dxxx20sin 221 .12 定理定理2 2（推廣的積分第一中值定理推廣的積分第一中值定理）若若f與與g都在都在a,b上連續(xù)，且上連續(xù)，且g(x)在在a,b上不變號。上不變號。,ba 則則.

15、)()()()(babadxxgfdxxgxf 使使證法一證法一：.,0)(baxxg 不不妨妨設(shè)設(shè),),()()()(baxxMgxgxfxmg 則則M、m分別為分別為f在在a,b上的最大、最小值。上的最大、最小值。bababadxxgMdxxgxfdxxgm.)()()()(故故,0)(badxxg若若,0)()(badxxgxf從從而而要要證證的的式式子子都都成成立立。從從而而,ba ,0)(xg則則,0)(badxxg若若.)()()(Mdxxgdxxgxfmbaba 則則由連續(xù)函數(shù)的介值性，由連續(xù)函數(shù)的介值性，使使,ba ,)()()()(babadxxgdxxgxff.)()()(

16、)(babadxxgfdxxgxf 即即證畢。證畢。證法證法2 2定理定理2 2（推廣的積分第一中值定理推廣的積分第一中值定理）若若f與與g都在都在a,b上連續(xù)，且上連續(xù)，且g(x)在在a,b上不變號。上不變號。,ba 則則.)()()()(babadxxgfdxxgxf 使使,baCgf.,上上有有原原函函數(shù)數(shù)在在及及bagfgf)()()(aGbGdxxgba .,的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)為為的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)為為記記hHgG,baCgf 則則)()()()(aHbHdxxgxfba 類似證法一，類似證法一，,0)(badxxg若若,0)()(badxxgxf從從而而要要證證的的式式

17、子子都都成成立立。從從而而,ba ,0)(xg則則,0)(badxxg若若 babadxxgdxxgxf)()()(則則)()()()(aGbGaHbH 由由Cauchy中值定理中值定理)()(GH )()()(ggf).(f).,(ba 其其中中，證畢。證畢。?0)(g?0)(gP215.1不妨假定不妨假定 是是T增加一個分點增加一個分點x0后得到的分割，后得到的分割，T,0010iiiixxxxx 則則設(shè)設(shè),21nT 設(shè)設(shè),12010001iiiiixxfxxxxf 的振幅為的振幅為在在，的振幅為的振幅為和和在在設(shè)設(shè) ,2010ii 則顯然有則顯然有,0)()()(i010i0201010

18、 iiiiiiikTkkTkxxxxxxxxxxxx 從而從而.kTkkTkxx P215.3解法一解法一不妨假設(shè)不妨假設(shè)f(x)和和g(x)僅在一點不等，僅在一點不等，進一步可設(shè)在進一步可設(shè)在a點不等。點不等。,4)(,4)(可積可積在在可積，可積，在在bMaxgbMaxf ,2/,4,0 iTgixTbMa使使的分割的分割,|)(|,0,)(MxgMbaxg 有界，有界，在在又又的分割，的分割，是是則則令令,4,baTTMaaT ,24240 MMxMxiTgiiTgi可積?？煞e。在在,)(baxgiTiTbaxgdxxg )(lim)(0|),()(,iiifgT 使使取特殊的點集取特殊

19、的點集對任意的分割對任意的分割這是可以做到的！這是可以做到的！.)()(lim)(0|baiTiTbadxxfxfdxxg P215.3有界，有界，在在則則令令,)(),()()(baxFxgxfxF F(x)僅在僅在a,b的有限個點處不為的有限個點處不為0，即僅有有限個間，即僅有有限個間斷點，從而在斷點，從而在a,b可積可積.，上取上取在每個在每個的分割的分割作作iinTba ,21則則（這是可以做到的），（這是可以做到的），使使0)(iF.0)(lim)(0|iTiTbaxFdxxF,0)()(dxxgxfba即即可積，可積，在在得：得：又由性質(zhì)又由性質(zhì),)()()(2baxFxfxg .)()(dxxgdxxfbaba 故故解法二解法二作作 業(yè)業(yè)P222.1,3(1)(4)7,9