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1、第五章 定積分及其應(yīng)用,本章主題詞：曲邊梯形的面積、定積分、變上限的積分、牛頓-萊布尼茨公式、換元積分法、分部積分法、廣義積分。,,數(shù)學(xué)不僅在摧毀著物理科學(xué)中緊鎖的大門，而且正在侵入并搖撼著生物科學(xué)、心理學(xué)和社會(huì)科學(xué)。會(huì)有這樣一天，經(jīng)濟(jì)的爭執(zhí)能夠用數(shù)學(xué)以一種沒有爭吵的方式來解決，現(xiàn)在想象這一天的到來不再是謊繆的了。 伽德納,Archimedes,第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì),實(shí)例1 （求曲邊梯形的面積）,一、定積分問題的提出,用矩形面積近似取代曲邊梯形面積,,,,,,,,,,,,,,顯然:小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積,（四個(gè)小矩形）,（九個(gè)小矩形）,公元前二
2、百多年前的阿基米德就已會(huì)用此法求出許多不規(guī)則圖形的面積,阿基米德,,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,播放,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，
3、 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,曲邊梯
4、形如圖所示：,（1）分割,（2）近似代替,,（3）求和,（4）取極限,曲邊梯形面積為,求曲邊梯形面積所用的方法步驟：,實(shí)例2 （求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）,思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對(duì)時(shí)間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值,（1）分割,（3）求和,（4）取極限,（2）近似代替,二、定積分的定義,定義,記為,積分上限,積分下限,黎曼積分,積分和,注意:,則,則當(dāng),例1 利用定義計(jì)算定積分,解,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積的負(fù)值,定積分的幾何意義,定理1,定理2,定積分存在定理(可積充分條件),三、定積分的性質(zhì),對(duì)定積分的補(bǔ)
5、充規(guī)定:,說明,在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小,證明,（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）,性質(zhì)1,證明,性質(zhì)2,,,補(bǔ)充：不論 的相對(duì)位置如何, 上式總成立.,例 若,（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）,則,性質(zhì)3,證明,性質(zhì)4,性質(zhì)5,性質(zhì)5的推論：,證明,（1）,（定積分不等式性質(zhì)）,證明,說明： 可積性是顯然的.,性質(zhì)5的推論：,(絕對(duì)值不等式性質(zhì)),解,令,于是,證明,（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）,性質(zhì)6,解,解,證明,由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知,性質(zhì)7（定積分中值定理）,積分中值公式,使,即,積分中值公式的幾何解釋：,,,,解,由積分中值定理知有,使,(定積分第二中值定理 .),7,和,小 結(jié),定積分的實(shí)質(zhì)：特殊和式的極限,定積分的思想和方法：,求近似以直（不變）代曲（變）,取極限,3定積分的性質(zhì),（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）,4典型問題,（）估計(jì)積分值；,（）不計(jì)算定積分比較積分大小,證,命題得證,所以可積必有界.,思考題,1、將和式極限：,2、表示成定積分.,思考題解答,1、原式,,,例,證明,利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)得,極限運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算換序得,故,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,練習(xí)題答案,
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