《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題三答案.doc

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題及答案 習(xí)題三 1.將一硬幣拋擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值.試寫出X和Y的聯(lián)合分布律. 【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表： X Y 0 1 2 3 1 0 0 3 0 0 2.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律. 【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表： X Y 0 1 2 3 0 0 0 1 0 2 P(0黑,2紅,2白)= 0 3.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 F（x，y）= 求二維隨機(jī)變量（X，Y）在長方形域內(nèi)的概率. 【解】如圖 題3圖 說明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。 4.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= 求：（1） 常數(shù)A； （2） 隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1） 由 得 A=12 （2） 由定義，有 (3) 5.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= （1） 確定常數(shù)k； （2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X<1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性質(zhì)有 故  （2） (3) (4) 題5圖 6.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0，0.2）上服從均勻分布，Y的密度函數(shù)為 fY（y）= 求：（1） X與Y的聯(lián)合分布密度；（2） P{Y≤X}. 題6圖 【解】（1） 因X在（0，0.2）上服從均勻分布，所以X的密度函數(shù)為 而 所以 (2) 7.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 F（x，y）= 求（X，Y）的聯(lián)合分布密度. 【解】 8.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= 求邊緣概率密度. 【解】 題8圖 題9圖 9.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= 求邊緣概率密度. 【解】 題10圖 10.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= （1） 試確定常數(shù)c； （2） 求邊緣概率密度. 【解】（1） 得. (2) 11.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= 求條件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）. 題11圖 【解】 所以 12.袋中有五個(gè)號碼1，2，3，4，5，從中任取三個(gè)，記這三個(gè)號碼中最小的號碼為X，最大的號碼為Y. （1） 求X與Y的聯(lián)合概率分布； （2） X與Y是否相互獨(dú)立？ 【解】（1） X與Y的聯(lián)合分布律如下表 Y X 3 4 5 1 2 0 3 0 0 (2) 因 故X與Y不獨(dú)立 13.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律為 X Y 2 5 8 0.4 0.8 0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 （1）求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布； （2） X與Y是否相互獨(dú)立？ 【解】（1）X和Y的邊緣分布如下表 X Y 2 5 8 P{Y=yi} 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.8 0.05 0.12 0.03 0.2 0.2 0.42 0.38 (2) 因 故X與Y不獨(dú)立. 14.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0，1）上服從均勻分布，Y的概率密度為 fY（y）= （1）求X和Y的聯(lián)合概率密度； （2） 設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0，試求a有實(shí)根的概率. 【解】（1） 因 故 題14圖 (2) 方程有實(shí)根的條件是 故 X2≥Y， 從而方程有實(shí)根的概率為： 15.設(shè)X和Y分別表示兩個(gè)不同電子器件的壽命（以小時(shí)計(jì)），并設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且服從同一分布，其概率密度為 f（x）= 求Z=X/Y的概率密度. 【解】如圖,Z的分布函數(shù) (1) 當(dāng)z≤0時(shí)， （2） 當(dāng)0<z<1時(shí)，（這時(shí)當(dāng)x=1000時(shí),y=）(如圖a) 題15圖 (3) 當(dāng)z≥1時(shí)，（這時(shí)當(dāng)y=103時(shí)，x=103z）（如圖b） 即 故 16.設(shè)某種型號的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地服從N（160，202）分布.隨機(jī)地選取4 只，求其中沒有一只壽命小于180的概率. 【解】設(shè)這四只壽命為Xi(i=1,2,3,4)，則Xi~N（160，202）， 從而 17.設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布律分別為 P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…， P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，…. 證明隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律為 P{Z=i}=，i=0，1，2，…. 【證明】因X和Y所有可能值都是非負(fù)整數(shù)， 所以 于是 18.設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布.證明Z=X+Y服從參數(shù)為2n，p的二項(xiàng)分布. 【證明】方法一：X+Y可能取值為0，1，2，…，2n. 方法二：設(shè)μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服從兩點(diǎn)分布（參數(shù)為p），則 X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′, X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′, 所以，X+Y服從參數(shù)為（2n,p)的二項(xiàng)分布. 19.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為 X Y 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}； （2） 求V=max（X，Y）的分布律； （3） 求U=min（X，Y）的分布律； （4） 求W=X+Y的分布律. 【解】（1） （2） 所以V的分布律為 V=max(X,Y) 0 1 2 3 4 5 P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28 (3) 于是 U=min(X,Y) 0 1 2 3 P 0.28 0.30 0.25 0.17 (4)類似上述過程，有 W=X+Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05 20.雷達(dá)的圓形屏幕半徑為R，設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)（X，Y）在屏幕上服從均勻分布. （1） 求P{Y＞0｜Y＞X}； （2） 設(shè)M=max{X，Y}，求P{M＞0}. 題20圖 【解】因（X，Y）的聯(lián)合概率密度為 （1） (2) 21.設(shè)平面區(qū)域D由曲線y=1/x及直線y=0，x=1,x=e2所圍成，二維隨機(jī)變量（X，Y）在區(qū)域D上服從均勻分布，求（X，Y）關(guān)于X的邊緣概率密度在x=2處的值為多少？ 題21圖 【解】區(qū)域D的面積為 （X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為 （X，Y）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為 所以 22.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量（X，Y）聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處. X Y y1 y2 y3 P{X=xi}=pi x1 x2 1/8 1/8 P{Y=yj}=pj 1/6 1 【解】因, 故 從而 而X與Y獨(dú)立，故, 從而 即： 又 即 從而 同理 又,故. 同理 從而 故 Y X 1 23.設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)X服從參數(shù)為λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p（0<p<1），且中途下車與否相互獨(dú)立，以Y表示在中途下車的人數(shù)，求：（1）在發(fā)車時(shí)有n個(gè)乘客的條件下，中途有m人下車的概率；（2）二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率分布. 【解】(1) . (2) 24.設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立，其中X的概率分布為X~，而Y的概率密度為f(y)，求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u). 【解】設(shè)F（y）是Y的分布函數(shù)，則由全概率公式，知U=X+Y的分布函數(shù)為 由于X和Y獨(dú)立，可見 由此，得U的概率密度為 25. 25. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間[0,3]上的均勻分布，求P{max{X,Y}≤1}. 解：因?yàn)殡S即變量服從[0，3]上的均勻分布，于是有 因?yàn)閄，Y相互獨(dú)立，所以 推得 . 26. 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率分布為 X Y -1 0 1 -1 0 1 a 0 0.2 0.1 b 0.2 0 0.1 c 其中a,b,c為常數(shù)，且X的數(shù)學(xué)期望E(X)= -0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5，記Z=X+Y.求： （1） a,b,c的值； （2） Z的概率分布； （3） P{X=Z}. 解 (1) 由概率分布的性質(zhì)知， a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由，可得 . 再由 , 得 . 解以上關(guān)于a，b，c的三個(gè)方程得 . (2) Z的可能取值為-2，-1，0，1，2， ， ， ， ， ， 即Z的概率分布為 Z -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 (3) . 16