離散數(shù)學(xué)(屈婉玲版)第四章部分答案

4.1 （1）設(shè)S={1，2}，R是S上的二元關(guān)系，且xRy。如果R=Is，則（A）；如果R是數(shù)的小于等于關(guān)系，則（B），如果R=Es，則（C）。 （2）設(shè)有序?qū)?lt;x+2,4>與有序?qū)?lt;5,2x+y>相等，則 x=(D),y=(E). 供選擇的答案 A、B、C：① x,y可任意選擇1或2；② x=1,y=1；③ x=1,y=1 或 2；x=y=2；④ x=2,y=2；⑤ x=y=1或 x=y=2；⑥ x=1,y=2；⑦x=2,y=1。 D、E：⑧ 3；⑨ 2；⑩-2。 答案： A: ⑤ B: ③ C: ① D: ⑧ E: ⑩ 4.2設(shè)S=<1,2,3,4>,R為S上的關(guān)系，其關(guān)系矩陣是 則（1）R的關(guān)系表達(dá)式是（A）。 （2）domR=(B),ranR=(C). （3）RR中有（D）個(gè)有序?qū)Α? （4）Rˉ1的關(guān)系圖中有（E）個(gè)環(huán)。 供選擇的答案 A :①{<1,1>,<1,2>,<1,4>,<4,1>,<4,3>}； ②{<1,1>,<1,4>,<2,1>,<4,1>,<3,4>}； B、C：③{1，2，3，4}；④{1，2，4}；⑤{1，4}⑥{1，3，4}。 D、E⑦1；⑧3；⑨6；⑩7。 答案： A:② B:③ C:⑤ D:⑩ E:⑦ 4.3設(shè)R是由方程x+3y=12定義的正整數(shù)集Z+上的關(guān)系，即 {＜x,y＞︳x,y∈Z+∧x+3y=12}, 則 （1）R中有A個(gè)有序?qū)Α? （2）dom=B。 (3)R↑{2,3,4,6}=D。 (4){3}在R下的像是D。 （5）R。R的集合表達(dá)式是E。 供選擇的答案 A:①2;②3;③4. B、C、D、E:④{＜3，3＞}；⑤{＜3，3＞，＜6，2＞}；⑥{0，3，6，9，12}；⑦{3，6，9}；⑧{3}；⑨Ф；⑩3。 答案：A：②。分別是：＜3，3＞＜6，2＞＜9，1＞ B：⑦。 C：⑤。 D：⑧。 E: ④。 4.4 設(shè)S={1,2,3},圖4-13給出了S上的5個(gè)關(guān)系，則它們]只具有以下性質(zhì)： R1是A, R2是B, R3是C, R4是D, R5是E。 供選擇的答案 A,B,C,D,E:①自反的，對稱的，傳遞的；②反自反的，反對稱的； ③反自反的，反對稱的，傳遞的；④自反的；⑤反對稱的，傳遞的； ⑥什么性質(zhì)也沒有；⑦對稱的；⑧反對稱的；⑨反自反的，對稱的； ⑩自反的，對稱的，反對稱的，傳遞的 A:④ B:⑧ C：⑨ D:⑤ E: ⑩ 4．5 設(shè)Z+={x|x∈Z∧x>0},∏1, ∏2, ∏3是Z﹢的3個(gè)劃分。 ∏1={{x}|x∈Z﹢}, ∏2={S1,S2},S為素?cái)?shù)集，S2=Z-S1, ∏3={Z+}, 則 （1）3個(gè)劃分中分塊最多的是A,最少的是B. (2)劃分∏1對應(yīng)的是Z+上的C, ∏2對應(yīng)的是Z+上的D, ∏3對應(yīng)的是Z+上的E 供選擇的答案 A,B:①∏1;②∏2;③∏3. C,D,E:④整除關(guān)系；⑤全域關(guān)系；⑥包含關(guān)系；⑦小于等于關(guān)系；⑧恒等關(guān)系；⑨含有兩個(gè)等價(jià)類的等價(jià)關(guān)系；⑩以上關(guān)系都不是。 答案 A ① B ③ C ⑧ D ⑨ E ⑤ 4.6 設(shè)S={1，2，…,10},≤是S上的整除關(guān)系,則<S,≤>的哈斯圖是(A),其中最大元是(B),最小元是(C),最小上界是(D),最大下界是(E). 供選擇的答案 A: ① 一棵樹; ② 一條鏈; ③ 以上都不對. B、C、D、E: ④ ；⑤ 1；⑥ 10；⑦ 6，7，8，9，10；⑧ 6；⑨ 0；⑩ 不存在。 答案： A: ③(樹中無環(huán),所以答案不是①) B: ⑩ C: ⑤ D: ⑩ E: ⑤ 4.7設(shè):N→N,N為自然數(shù)集，且 則（0）=，. 供選擇的答案 A、B、C、D、E：①無意義；②1；③{1}；④0；⑤{0}；⑥；∴⑦N； ⑧{1，3，5，…}；⑨{，1}；⑩ {2，4，6，…}. 解：（0）==0，∴A=④； ={0}，∴B=⑤； ={1}，∴C=③； ①無意義； =N，∴E=⑦. 4.8 設(shè)R、Z、N分別表示實(shí)數(shù)、整數(shù)和自然數(shù)集，下面定義函數(shù)f1、f2、f3、f4。試確定它們的性質(zhì)。 f1: R→R，f(x)=2x, f2: Z→N，f(x)=|x|. f3: N→N，f(x)=(x)mod3,x除以3的余數(shù)， f4: N→NN，f(n)=<n,n+1>。 則f1是A，f2是B，f3是C，f4是D，f4（{5}）=E。 供選擇的答案 A、B、C、D：①、滿射不單射；②、單射不滿射；③、雙射；④、不單射也不滿射；⑤、以上性質(zhì)都不對。 E：⑥、6；⑦、5；⑧、<5,6>;⑨、{<5,6>};⑩、以上答案都不對。 解： f1是②、單射不滿射；f2是①、滿射不單射；f3是④、不單射也不滿射；f4是②、單射不滿射；f4（{5}）=⑨、{<5,6>}。 4.9 設(shè)f :R→R，f(x)= x ， x≥3, -2 , x<3; g:R→R，g(x)=x+2, 則 f〇g(x)=A,g〇f(x)=B, g〇f: R→R是 C,f-1是 D,g-1是E. 供選答案:: A\B:① (x+2) , x≥3, ② x+2 ， x≥3, -2 , x<3; -2 , x<3; (x+2) , x≥1, x+2 ， x≥3, ③ ④ -2 , x<1; 0 , x<3; C: ⑤ 單射不滿射；⑥ 滿射不單射；⑦ 不單射也不滿射；⑧ 雙射。 D、E：⑨ 不是反函數(shù); ⑩ 是反函數(shù)。 解：A=③ B=④ C=⑦ D=⑨ E=⑩ 4.10 （1）設(shè)S={a,b,c},則集合T={a,b}的特征函數(shù)是（A），屬于 （S上S）的函數(shù)是（B）。 （2）在S上定義等價(jià)關(guān)系R=Is∪{< a,b >,< b, a>},那么該等價(jià)關(guān)系對應(yīng)的劃分中有(C)個(gè)劃分.作自然映射g:S→S/R,那么g的表達(dá)式是(D). g(b)=(E). 供選擇的答案 A、B、D：① {<a,a>,<b,b>,<c,c>};② {<a,b>} ; ③{<a,1>,<b,1>,<c,0>}; ④ {<a,{a}>,<b,>,<c,{c}>};⑤ {<a,{a,b}>,<b,{a,b}>,<c,{c}>}. C:⑥ 1;⑦ 2;⑧ 3. E:⑨ {a,b};⑩ . 答案： A: ③ B: ① C: ⑦ D: ⑤ E: ⑨ 4.11 設(shè)S={1，2，……，6}，下面各式定義的R都是在S上的關(guān)系，分別列出 R的元素。 R = { <x , y>|x, y ∈s ∧ x | y}. 解：由題意可知R是整除關(guān)系， 所以答案如下： R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,3>,<3,6> ,<4,4>,<5,5>,<6,6>}. ( 2 ) R = {< x , y > | x , y ∈ S ∧ x是y的倍數(shù)}. 解: 由題意可知： R={<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,3>,<4,1>,<4,2>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<6,1>,<6,2>,<6,3>,<6,6>} . ( 3 ) R = {< x, y> | x , y ∈S ∧ ( x - y )= ∈ S }. 解: 由題意可知： R={<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,3>,<2,4>,<3,1>,<3,2>,<3,4>,<3,5>,<4,2>,<4,3>,<4,5>,<4,6>,<5,3>,<5,4>,<5,6>,<6,4>,<6,5>}. ( 4 ) R = {< x , y > | x , y ∈S ∧ x / y是素?cái)?shù) } 解：由題意可知： R={<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,3>,<4,2>,<4,4>,<5,1>,<5,5>, <6,1>,<6,2>,<6,3>,<6,6>}. 4.13 S={a，b，c，d}，R1、R2為S上的關(guān)系， R1={<a，a>，<a，b>，<b，d>} R2={<a，d>，<b，c>，<b，d>，<c，b>} 求R1。R2、R2。R1、R12和R23. 解:設(shè)R1的關(guān)系矩陣為M1，R2的關(guān)系矩陣為M2， 則 此題答案正確，只是寫法不對，應(yīng)改為： 4．14R的關(guān)系圖如圖4-14所示，試給出r（R）、s（R）、t（R）的關(guān)系圖。 A B C D E 圖4-14 解：r（R）： a b c d e s（R）： a b c d e t（R）： a b c d e 4.16 畫出下列集合關(guān)于整除關(guān)系的哈斯圖。 （1）{1，2，3，4，6，8，12，24}。 （2）{1，2，……，9} 并指出它的極小元、最小元、極大元、最大元。 解： （1） 24 8 12 4 6 2 3 1 極小元、最小元：1 極大元、最大元：24 （2） 8 4 6 2 5 9 7 3 1 極小元、最小元：1 極大元：5，6，7，8，9 最大元：無 4.19設(shè) f , g , h∈N , 且有 0 n為偶數(shù) f (n)=n+1 ， g(n)=2n ，h(n)= 1 n為奇數(shù) 求 fof , gof ,fog , hog , goh , 和 fogoh 。 解 由題意可知所求的復(fù)合函數(shù)都是從N到N的函數(shù)，且滿足 fof(n)=f(f(n))= f(n+1)= (n+1)+1=n+2 gof(n)=g(f(n))= g(n+1)= 2(n+1)=2n+2 fog(n)=f(g(n))= f(2n)=2n+1 hog(n)=h(g(n))= h(2n)=0 goh(n)=g(h(n))= 0 n為偶數(shù) 2 n為奇數(shù) 1 n為偶數(shù) fogoh=f(g(h(n)))= 3 n為奇數(shù) 4.20 設(shè)f ： RR→RR , f (<x,y>)=< x+y , x-y >, 求f 的反函數(shù)。 解：設(shè): 則 而 所以 解得 所以 4.21設(shè)f,gNN,,N為自然數(shù)集，且 x+1, x=0,1,2,3 x/2, x為偶數(shù)， f(x)= 0, x=4, g(x)= x, x5, 3， x為奇數(shù). 求gf并討論它的性質(zhì)（是否為單射或滿射）。 設(shè)A={0，1，2}，求gf（A）。 解：（1） （x+1）/2,x=1,3, gf(x)= 0, x=4, x/2, x為偶數(shù)且x6, 3, x=0,2及大于等于5的奇數(shù)。 gf不是單射，因?yàn)間f（6）= gf（5）=3. gf是滿射，因?yàn)間f能取到自然數(shù)集的任何數(shù)。 （2）gf（0）=g（1）=3. gf（1）=g（2）=1. gf (2)=g(3)=3. 所以gf（A）={3,1} 4.22設(shè)A={0，1，2}，B={0，1}， 求P（A）和BA 構(gòu)造一個(gè)從P（A）到BA的雙射函數(shù)。 解：(1)P（A）={F，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}} BA={f1,f2,……f8} 其中 f1={<0,0>,<1,0>,<2,0>} f2={<0,0>,<1,0>,<2,1>} f3={<0,0>,<1,1><2,0>} f4={<0,0>,<1,1>,<2,1>} f5={<0.1>,<1,0>,<2,0>} f6={<0,1>,<1,0>,<2,1>} f7={<0,1>,<1,1>,<2,0>} f8={<0,1>,<1,1>,<2,1>} (2)設(shè)該雙射函數(shù)為F F={<F, f1>,<{0}, f2>,<{1}, f3>,<{2}, f4>,<{0，1}, f5>,<{0，2}, f6>,<{1，2}，f7>,<{0，1，2}, f8>} 做的不錯(cuò)，只是題目抄錯(cuò)了。正確答案是 4.22設(shè)A={a，b}，B={0，1}， 求P（A）和BA 構(gòu)造一個(gè)從P（A）到BA的雙射函數(shù)。 解：(1)P（A）={F，{a}，，{a，b}} BA={f1,f2,……f4} 其中 f1={<a,0>,<b,0>} f2={<a,0>,<b,1>} f3={<a,1>,<b,0>} f4={<a,1>,<b,1>} (2)設(shè)該雙射函數(shù)為F F={<F, f1>,<{a}, f2>,<, f3>,<{a,b}, f4>} N/R1={{x}|xN} , N/R2={{所有的奇數(shù)},{所有的偶數(shù)}}, N/R3={[0],[1],[2]} ([0]={x|x=3kkN},[1]={x|x=3k+1kN},[2]={x|x=3k+2kN},) 4.25對下列函數(shù)f、g及集合A、B，計(jì)算f ? g、f ? g（A）和f ? g(B)，并說明f ? g是否為單射或滿射 (1) f : R→R，f(x)=- g: N→N, g(x)= A={2,4,6,8,10},B={0,1}. (2) f : Z→R，f(x)= g:Z→Z, g(x)= A=N,B={2K|k∈N}. 解： （1） f ? g(x)＝f(g(x))= f()= =-x dom(f ? g)=N 由于f(g(0))=0, f(g(1))=0 ,所以f ? g不是單射. 顯然對實(shí)數(shù)2.5,不存在自然數(shù)x,使得f(g(x))=2.5,所以f ? g也不是滿射。 f ? g（A）={2,12,30,56,90} f ? g（B）={0} (2) f ? g(x)= f(g(x))== dom(f ? g)=Z 由于f(g(-1))=0, f(g(1))=e ,所以f ? g不是單射. 顯然對實(shí)數(shù),不存在自然數(shù)x,使得f(g(x))= ,所以f ? g也不是滿射。 f ? g（A）={|} f ? g（B）={|}