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1、綜合仿真練(九)
1．設(shè)全集U＝{x|x≥3，x∈N}，集合A＝{x|x2≥10，x∈N}，則?UA＝________.
解析：∵全集U＝{x|x≥3，x∈N}，A＝{x|x2≥10，x∈N}＝{x|x≥，x∈N}，∴?UA＝{x|3≤x≤，x∈N}＝{3}．
答案：{3}
2．為了解學生課外閱讀的情況，隨機統(tǒng)計了n名學生的課外閱讀時間，所得數(shù)據(jù)都在[50,150]中，其頻率分布直方圖如圖所示．已知在[50,75)中的頻數(shù)為100，則n的值為________．
解析：由圖可知，在[50,75)上的頻率為0.1，所以n＝＝1 000.
答案：1 000
3．若復數(shù)z滿足z＋i＝
2、，其中i為虛數(shù)單位，則|z|＝________.
解析：由z＋i＝，得z＝－i＝－2i＋1－i＝1－3i，則|z|＝＝.
答案：
4．在如圖所示的算法流程圖中，若輸出的y的值為26，則輸入的x的值為________．
解析：由圖可知x2－2x＋2＝26，解得x＝－4或x＝6，又x<4，所以x＝－4.
答案：－4
5．從1,2,3,4,5,6這六個數(shù)中一次隨機地取2個數(shù)，則所取2個數(shù)的和能被3整除的概率為________．
解析：從1,2,3,4,5,6這六個數(shù)中一次隨機地取2個數(shù)，基本事件總數(shù)n＝15，所取2個數(shù)的和能被3整除包含的基本事件有：(1,2)，(1,5)，(2,4
3、)，(3,6)，(4,5)，共有5個，所以所取2個數(shù)的和能被3整除的概率P＝＝.
答案：
6．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S5＝25，則S7＝________.
解析：設(shè)Sn＝An2＋Bn，
由題知，解得A＝1，B＝0，
∴S7＝49.
答案：49
7.如圖，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F(xiàn)分別是棱BB1，CC1上的點，則三棱錐AA1EF的體積是________．
解析：因為在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1，AA1?平面AA1C1C，BB1?平面AA1C1C，所以BB1∥平面AA1C1C
4、，從而點E到平面AA1C1C的距離就是點B到平面AA1C1C的距離，作BH⊥AC，垂足為點H，由于△ABC是正三角形且邊長為4，所以BH＝2，從而三棱錐AA1EF的體積VAA1EF＝VEA1AF＝S△A1AFBH＝642＝8.
答案：8
8．(2019興化中學模擬)已知橢圓和雙曲線有共同的焦點F1，F(xiàn)2，P是它們的一個交點，且∠F1PF2＝，記橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2，則＋等于________．
解析：如圖所示，設(shè)橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實半軸長為a2，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：PF1＋PF2＝2a1，PF1－PF2＝2a2，∴PF1＝a1＋a2，PF2＝a1－a2，設(shè)
5、F1F2＝2c，∠F1PF2＝，則在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos ，化簡得3a＋a＝4c2，該式可變成＋＝4.
答案：4
9．如果函數(shù)y＝3sin(2x＋φ)的圖象關(guān)于點中心對稱，則|φ|的最小值為________．
解析：由題意可知當x＝時，y＝0，
即有sin＝0，
解得φ＝kπ－，k∈Z，
化簡得φ＝(k－2)π＋，k∈Z，
所以|φ|的最小值為.
答案：
10．(2019江蘇模擬)在直角三角形ABC中，tan A＝2，D為斜邊AB延長線上靠近B的一點，若△CBD的面積為1，則＝______
6、__.
解析：如圖，過C作CE⊥AB，垂足為E，
∴S△CBD＝CEBD＝1，
∴CEBD＝2.
∵CA⊥CB，∴＝0，
∴＝(＋)＝＋＝＝||||cos(π－A)
＝－||||cos A＝－CABD
＝－BDAE＝－BD＝－BDCE
＝－2＝－1.
答案：－1
11．已知正實數(shù)a，b滿足9a2＋b2＝1，則的最大值為________．
解析：法一： ≤＝≤＝，當且僅當3a＝b時等號成立，又因為9a2＋b2＝1，a>0，b>0，所以當a＝，b＝時，取得最大值為.
法二：令θ∈，則＝.令t＝cos θ＋sin θ＝sin.因為θ∈，所以θ＋∈，則sin∈，
7、所以t∈(1，]．所以＝＝＝.因為y＝t－在t∈(1， ]上單調(diào)遞增，所以當t＝時，取得最大值為.
答案：
12．已知數(shù)列{an}的首項a1＝1，前n項和為Sn，且滿足2an＋1＋Sn＝2(n∈N*)，則滿足<<的n的最大值為________．
解析：由2an＋1＋Sn＝2，①
可得當n≥2時，2an＋Sn－1＝2.②
①－②得2an＋1－2an＋an＝0，所以2an＋1＝an.
因為a2＝，所以an≠0，所以＝(n≥2)．
又因為＝，所以＝，所以數(shù)列{an}是以1為首項，為公比等比數(shù)列，所以Sn＝＝2，所以S2n＝2，
從而＝＝＝1＋n.由不等式<<，
得<1＋n<，所以<
8、n<，
解得4≤n≤9，所以滿足條件的n的最大值為9.
答案：9
13．(2019海安中學模擬)已知a>0，b>0，且＋＝1，則P＝a＋b＋的最小值為________．
解析：如圖，考慮直線l：＋＝1，因為＋＝1，不難發(fā)現(xiàn)，直線l過點P(2,3)，構(gòu)造圓C：(x－r)2＋(y－r)2＝r2，與直線l切于點T，顯然圓C與x軸、y軸分別切于點M(r,0)，N(0，r)．易得A(a,0)，B(0，b)，|AB|＝，
所以P＝a＋b＋＝|OA|＋|OB|＋|AB|＝|OA|＋|OB|＋|TA|＋|TB|＝|OA|＋|OB|＋|AM|＋|BN|＝|OM|＋|ON|＝2r.
由于點P(2,3)
9、在圓外，故有(2－r)2＋(3－r)2≥r2，
整理得r2－10r＋13≥0，解得r≥5＋2(r≤5－2舍去)．
故P＝a＋b＋的最小值為10＋4.
答案：10＋4
14．已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－1，g(x)＝ln x－ax＋a，若存在x0∈(1,2)，使得f(x0)g(x0)<0，則實數(shù)a的取值范圍為________．
解析：若存在x0∈(1,2)，使得f(x0)g(x0)<0，
即[ex0－(ax0＋1)][ln x0－a(x0－1)]<0.
在同一直角坐標系下作出函數(shù)y＝ex，y＝ax＋1，y＝ln x，y＝a(x－1)的圖象(圖略)．
當a<0時，f(x0)>0，g(x0)>0恒成立，不滿足題意；
當a＝1，x>1時，ex>x＋1，ln x1，x>1時，ln x－a(x－1)ax1＋1，則e2>2a＋1，解得a<，所以11時，ex－(ax＋1)>x＋1－(ax＋1)＝(1－a)x>0，此時只需存在x2∈(1,2)，使得ln x2ln 2，所以ln 2
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