大學物理第一章習題解答

第一章 運動學 1．4 一個正在沿直線行駛的汽船，關閉發(fā)動機后，由于阻力得到一個與速度反向、大小與船速平方成正比例的加速度，即dv/dt = -kv2，k為常數(shù)． （1）試證在關閉發(fā)動機后，船在t時刻的速度大小為； （2）試證在時間t內，船行駛的距離為． [證明]（1）分離變量得， 積分 ， 可得 ． （2）公式可化為， 由于v = dx/dt，所以 積分 ． 因此 ． 證畢． 1．5 一質點沿半徑為0.10m的圓周運動，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ = 2 + 4t3．求： （1）t = 2s時，它的法向加速度和切向加速度； （2）當切向加速度恰為總加速度大小的一半時，θ為何值？ （3）在哪一時刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？ [解答]（1）角速度為 ω = dθ/dt = 12t2 = 48(rads-1)， 法向加速度為 an = rω2 = 230.4(ms-2)； 角加速度為 β = dω/dt = 24t = 48(rads-2)， 切向加速度為 at = rβ = 4.8(ms-2)． （2）總加速度為a = (at2 + an2)1/2， 當at = a/2時，有4at2 = at2 + an2，即 ． 由此得， 即 ， 解得 ． 所以 =3.154(rad)． （3）當at = an時，可得rβ = rω2， 即 24t = (12t2)2， 解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s)． 1．8 一升降機以加速度1.22ms-2上升，當上升速度為2.44ms-1時，有一螺帽自升降機的天花板上松落，天花板與升降機的底面相距2.74m．計算： （1）螺帽從天花板落到底面所需的時間； （2）螺帽相對于升降機外固定柱子的下降距離． [解答]在螺帽從天花板落到底面時，升降機上升的高度為 ； 螺帽做豎直上拋運動，位移為 ． 由題意得h = h1 - h2，所以 ， 解得時間為 = 0.705(s)． 算得h2 = -0.716m，即螺帽相對于升降機外固定柱子的下降距離為0.716m． [注意]以升降機為參考系，釘子下落時相對加速度為a + g，而初速度為零，可列方程 h = (a + g)t2/2， 由此可計算釘子落下的時間，進而計算下降距離． 1．10 如圖所示，一汽車在雨中沿直線行駛，其速度為v1，下落雨的速度方向與鉛直方向的夾角為θ，偏向于汽車前進方向，速度為v2．今在車后放一長方形物體，問車速v1為多大時此物體剛好不會被雨水淋濕？ v1 h l v2 θ v3 α α v⊥ [解答]雨對地的速度等于雨對車的速度加車對地的速度，由此可作矢量三角形．根據(jù)題意得tanα = l/h． 方法一：利用直角三角形．根據(jù)直角三角形得 v1 = v2sinθ + v3sinα， 其中v3 = v⊥/cosα，而v⊥ = v2cosθ， 因此v1 = v2sinθ + v2cosθsinα/cosα， 即 ． 證畢． 方法二：利用正弦定理．根據(jù)正弦定理可得 ， 所以 ， 即 ． 方法三：利用位移關系．將雨滴的速度分解為豎直和水平兩個分量，在t時間內，雨滴的位移為 l = (v1 – v2sinθ)t， h = v2cosθ?t． 兩式消去時間t即得所求． 證畢．