(安徽專(zhuān)用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第三章第3課時(shí)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式課時(shí)闖關(guān)(含解析)

第三章第 3 課時(shí) 兩角和與差的正弦、 余弦和正切公式 課時(shí)闖關(guān)（含 答案解析） 一、選擇題 sin2 α 1．(2011 高考福建卷 ) 若 tan α ＝ 3，則 cos2 α 的值等于 ( ) A． 2 B． 3 C．4 D． 6 sin2 α 2sin α cos α 解析：選 D. cos 2α ＝ cos 2α ＝ 2tan α ＝23＝ 6. π 4 π 2 2．若 α ∈( 2 ， π ) ，且 sin α＝ 5，則 sin( α ＋ 4 ) － 2 cos α ＝ ( ) 2 2 2 2 A. 5 B．－ 5 4 2 4 2 C. 5 D．－ 5 解析：選 A.sin( α ＋ π ) － 2 π ＋ cos α si n π － 2 4 2 2 2 4 cos α ＝ sin α cos 4 cosα ＝ 2 ＝. 2 4 2 5 5 故選 A. 3． tan π － 1 等于 ( ) 12 π tan 12 A． 4 B．－ 4 C． 2 3 D．－ 2 3 sin π π 12 cos 解析：選 D. 原式＝ － 12 π π cos12 sin 12 － cos 2π－ sin 2π － cos π 12 12 6 ＝ π π ＝ 1 π ＝－ 2 3. sin 12cos 12 2sin 6 π 2 1 4．(2011 高考福建卷 ) 若 α ∈ 0， 2 ，且 sin α ＋cos2 α ＝4 ，則 tan α 的值等于 () A. 2 B. 3 2 3 C. 2 D. 3 π 2 1 2 2 2 1 2 解析：選 D. ∵ α∈ 0， 2 ，且 sin α ＋ cos2α ＝4，∴ sin α ＋ cos α－ sin α＝ 4，∴ cos α ＝ 1，∴ cos α ＝ 1或－ 1 ( 舍去 ) ，∴ α ＝π ，∴ tan α＝ 3. 4 2 2 3 2 5．(2012 洛陽(yáng)質(zhì)檢 ) 在△ ABC中，C＝120， tan A＋ tan B＝ 3 3，則 tan Atan B 的值為 ( ) A. 1 1 4 B. 3 1 1 5 C. 2 D. 3 解析：選 B.tan( A＋B) ＝－ tan C＝－ tan120 ＝ 3， tan ＋tan B A ∴tan( A＋ B) ＝ 1－ tan Atan B＝ 3， 2 3 3 1 即 1－ tan tan ＝ 3. 解得 tan Atan B＝3，故選 B. A B 二、填空題 π 4π 1 6．滿(mǎn)足 sin 5 sin x＋ cos 5 cos x＝ 2的銳角 x＝ ________. 解析：由題意知 sin π sin x－ cos π cos x＝1， 5 5 2 即 cos π ＋ x ＝－ 1 ，故 x ＋ π ＝ 2 π ＋ 2 π ， ∈ Z， 5 2 5 3 kk 7 又因?yàn)? x 為銳角，故 x＝ 15π . 7π 答案： 15 cos2 α 1＋ tan α 7. 1＋ sin2 α 1－ tan α 的值為 ________． sin α cos 2α－ sin 2α 1＋ cos α 解析：原式 ＝ 2 α＋ cos α sin α 1－ cos α cos α － sin α sin α ＋ cosα ＝ sin α ＋ cos α cosα － sin α ＝ 1. 答案： 1 8．已知 α、 β 均為銳角，且 cos( α ＋β ) ＝ sin( α － β ) ，則 tan α＝ ________. 解析：根據(jù)已知條件： cos α cos β－ sin α sin β ＝ sin α cos β －cos α sin β ， cos β (cos α － sin α) ＋ sin β(cos α －sin α ) ＝0， 即 (cos β ＋sin β )(cos α － sin α ) ＝ 0. 又 α 、 β 為銳角，則 sin β ＋cos β ＞0， ∴ cos α － sin α ＝ 0，∴ tan α＝ 1. 答案： 1 三、解答題 sin2 α ＋ cos2 9．已知 tan α ＝ 2. π －α 求 1＋ cos2 的值． α sin2 α＋ cos 2 π－ α 2sin α cosα ＋ cos 2α 解： 1＋ cos2 α ＝ 2cos 2α 2sin α ＋ cos α 1 5 ＝ ＝ tan α ＋ ＝ . 2cos α 2 2 10．(2012 黃岡調(diào)研 ) 已知向量 ＝ (sin θ ，－ 2) 與 b ＝ (1 ， cos θ) 互相垂直， 其中 θ ∈ a 0， π 2 . (1) 求 sin θ 和 cos θ 的值； π (2) 若 5cos( θ－ φ ) ＝3 5cosφ ， 0＜ φ＜ 2 ，求 cos φ 的值． 2 解： (1) ∵ a⊥ b，∴ sin θ 1＋ ( －2) cos θ ＝ 0? sin θ ＝ 2cos θ . ∵ sin 2θ ＋ cos2θ ＝ 1，∴ 4cos 2θ ＋cos 2θ ＝ 1? cos 2θ ＝1. 5 π 5 2 5 ∵θ ∈ 0， 2 ，∴ cos θ ＝ 5 ? sin θ ＝ 5 . (2) 由 5cos( θ － φ ) ＝ 3 5cos φ 有 5(cos θ cos φ ＋ sin θ sin φ ) ＝ 3 5cos φ ? 5cos φ＋ 2 5sin φ ＝ 3 5cos φ ， ∴ cos φ ＝ sin φ . π 2 又∵ 0＜ φ＜ 2 ，∴ cos φ ＝ 2 . → → 11．已知角 A、 B、 C 為△ ABC的三個(gè)內(nèi)角， OM＝ (sin B＋cos B， cos C) ， ON＝(sin C， sin B－ → → 1 cos B) ， OM ON＝－ 5. (1) 求 tan2 A 的值； 2cos 2A －3sin － 1 2 A (2) 求 的值． 2sin A＋ π 4 → → B＋ cos B)sin C＋ cos C(sin B－ cos B) 解： (1) ∵OM ON＝ (sin 1 ＝ sin( B＋ C) － cos( B＋ C) ＝－ ， 5 1 ∴sin A＋ cos A＝－ 5，① 2sin AcosA＝－ 24 兩邊平方并整理得： 25， 24 π， π ∵－ 25＜ 0，∴ A∈ 2 ， 7 ∴ sin A－ cos A＝ 1－ 2sin Acos A＝ 5. ② 3 4 3 聯(lián)立①②得： sin A＝ 5， cos A＝－ 5，∴ tan A＝－ 4， － 3 2tan A 2 24 ∴tan2 A＝1－ tan 2A＝ 1－ 9 ＝－ 7 . 16 3 (2) ∵ tan A＝－ ， 4 2A 2cos 2－ 3sin A－ 1 cos A－ 3sin A ∴ π ＝ cos A＋sin A 2sin A＋ 4 3 1－ 3tan A 1－3 － 4 ＝ 13. ＝ 1＋ tan A＝ 1＋ － 3 4 3 4