高考數(shù)學(xué)(考點(diǎn)解讀命題熱點(diǎn)突破)專題05 函數(shù)基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì) 文

高考數(shù)學(xué)(考點(diǎn)解讀命題熱點(diǎn)突破)專題05 函數(shù)基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì) 文 專題05 函數(shù)﹑基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)文【考向解讀】 1.高考對函數(shù)的三要素，函數(shù)的表示方法等內(nèi)容的考查以基礎(chǔ)知識為主，難度中等偏下. 2.對圖象的考查主要有兩個(gè)方面：一是識圖，二是用圖，即利用函數(shù)的圖象，通過數(shù)形結(jié)合的思想解決問題. 3.對函數(shù)性質(zhì)的考查，則主要是將單調(diào)性、奇偶性、周期性等綜合一起考查，既有具體函數(shù)也有抽象函數(shù).常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，且常與新定義問題相結(jié)合，難度較大. 【命題熱點(diǎn)突破一】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 1．單調(diào)性：單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)．利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，規(guī)范步驟為取值、作差、判斷符號、下結(jié)論．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則． 2．奇偶性：奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的定義域區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的定義域區(qū)間上具有相同的單調(diào)性． 3．周期性：周期性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．若函數(shù)在其定義域上滿足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，則其一個(gè)周期T＝|a|. 例1、.【2021年高考四川理數(shù)】已知函數(shù)() f x是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)， ()4x f x=，則 5 ()(1) 2 f f -+= . 【答案】-2 【感悟提升】(1)可以根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性，將所求函數(shù)值轉(zhuǎn)化為給出解析式的范圍內(nèi)的函數(shù)值．(2)利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的關(guān)鍵是化成f(x1)【變式探究】 (1)若函數(shù)f(x)＝x ln(x＋a＋x2)為偶函數(shù)，則a＝________. (2)已知實(shí)數(shù)x，y滿足a x＜a y(0＜a＜1)，則下列關(guān)系式恒成立的是( ) A. 1 x2＋1 ＞ 1 y2＋1 B.ln(x2＋1)＞ln(y2＋1) C.sin x ＞sin y D.x 3＞y 3 (3)設(shè)f (x )＝? ????2x ＋2，x ＜1， －ax ＋6，x ≥1(a ∈R )的圖象關(guān)于直線x ＝1對稱，則a 的值為( ) A.－1 B.1 C.2 D.3 【答案】(1)1 (2)D (3)C 【命題熱點(diǎn)突破二】 函數(shù)圖象及應(yīng)用 1．作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點(diǎn)法，二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換． 2．利用函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，作圖時(shí)要準(zhǔn)確畫出圖象的特點(diǎn)． 例2、【2021高考新課標(biāo)1卷】函數(shù)2 2x y x e =-在[]2,2-的圖像大致為 （A ）（B ） （C ）（D ） 【答案】D 【解析】函數(shù)f(x)=2x 2–e |x| 在[–2,2]上是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y 軸對稱，因?yàn)? 22(2)8e ,08e 1f =- 【探究提高】(1)運(yùn)用函數(shù)圖象解決問題時(shí)，先要正確理解和把握函數(shù)圖象本身的含義及其表示的內(nèi)容， 熟悉圖象所能夠表達(dá)的函數(shù)的性質(zhì). (2)在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、最值、零點(diǎn)時(shí)，要注意用好其與圖象的關(guān)系，結(jié)合圖象研究. 【命題熱點(diǎn)突破三】基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì) 1．指數(shù)函數(shù)y ＝a x (a >0，a ≠1)與對數(shù)函數(shù)y ＝log a x (a >0，a ≠1)的圖象和性質(zhì)，分01兩種情況，著重關(guān)注兩函數(shù)圖象中的兩種情況的公共性質(zhì)． 2．冪函數(shù)y ＝x α 的圖象和性質(zhì)，主要掌握α＝1,2,3，12 ，－1五種情況． 例3、【2021年高考北京理數(shù)】設(shè)函數(shù)33,()2,x x x a f x x x a ?-≤=?->? . ①若0a =，則()f x 的最大值為______________； ②若()f x 無最大值，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是________. 【答案】2，(,1)-∞-. 【感悟提升】(1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是高考的必考內(nèi)容之一，重點(diǎn)考查圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用，同時(shí)考查分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法及其運(yùn)算能力．(2)比較數(shù)式大小問題，往往利用函數(shù)圖象或者函數(shù)的單調(diào)性． 【變式探究】 (1)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)＝x a(x≥0)，g(x)＝log a x的圖象可能是( ) (2)已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，且當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，不等式f(x)＋xf′(x)C．c>a>b D．a(chǎn)>c>b 【答案】(1)D (2)C 【解析】(1)方法一分a>1,0當(dāng)a>1時(shí)，y＝x a與y＝log a x均為增函數(shù)，但y＝x a遞增較快，排除C； 當(dāng)0遞增較慢，所以選D. 方法二 冪函數(shù)f (x )＝x a 的圖象不過(0,1)點(diǎn)，排除A ；B 項(xiàng)中由對數(shù)函數(shù)f (x )＝log a x 的圖象知0的圖象應(yīng)是增長越來越慢的變化趨勢，故B 錯(cuò)，D 正確；C 項(xiàng)中由對數(shù)函數(shù)f (x )＝log a x 的圖象知a >1，而此時(shí)冪函數(shù)f (x )＝x a 的圖象應(yīng)是增長越來越快的變化趨勢，故C 錯(cuò)． (2)構(gòu)造函數(shù)g (x )＝xf (x )，則g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，當(dāng)x ∈(－∞，0)時(shí)，g ′(x ))， b ＝g (ln2)， c ＝g (－2)＝g (2)，由于ln2【高考真題解讀】 1.【2021高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知43 2a =，25 4b =，13 25c =，則（ ） （A ）b a c 【解析】因?yàn)? 223 3 5 244a b ==>=，1223 3 3 2554c a ==>=，所以b a c A. 11 0x y -> B.sin sin 0x y -> C.11()()022x y -D.ln ln 0x y +> 【答案】C 3.【2021高考新課標(biāo)1卷】函數(shù)2 2x y x e =-在[]2,2-的圖像大致為 （A ）（B ） （C ）（D ） 【答案】D 4.【2021高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知函數(shù)()()f x x ∈R 滿足()2()f x f x -=-，若函數(shù)1 x y x += 與()y f x =圖像的交點(diǎn)為1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ???則 1 ()m i i i x y =+=∑（ ） （A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C 【解析】由于()()2f x f x -+=，不妨設(shè)()1f x x =+，與函數(shù)11 1x y x x += =+的交點(diǎn)為()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故選C 。 5.【2021年高考四川理數(shù)】已知函數(shù)()f x 是定義在R 上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0＜x ＜1時(shí)，()4x f x =，則5 ()(1)2 f f -+= . 【答案】-2 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)()f x 是定義在R 上的周期為2的奇函數(shù)，所以 (1)(1),(1)(12)(1)f f f f f -=--=-+=，所以(1)(1)f f -=，即(1)0f =， 1 25111()(2)()()422222 f f f f -=--=-=-=-=-，所以5 ()(1)22f f -+=-. 6.【2021高考浙江理數(shù)】已知a >b >1.若log a b +log b a =52 ，a b =b a ，則a = ，b = . 【答案】4 2 【解析】設(shè)log ,1b a t t =>則，因?yàn)?15 22 t t a b t += ?=?=， 因此2 2222, 4.b a b b a b b b b b b a =?=?=?== 7.【2021高考天津理數(shù)】已知f (x )是定義在R 上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù) a 滿足 1 (2 )(a f f ->，則a 的取值范圍是______. 【答案】13(,)22 8.【2021年高考四川理數(shù)】在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)P (x ，y )不是原點(diǎn)時(shí)，定義P 的“伴隨點(diǎn)”為 2222 ( ,)y x P x y x y -++； 當(dāng)P 是原點(diǎn)時(shí)，定義P 的“伴隨點(diǎn)”為它自身，平面曲線C 上所有點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”所構(gòu)成的曲線 C 定 義為曲線C 的“伴隨曲線”.現(xiàn)有下列命題： ①若點(diǎn)A 的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn) A ，則點(diǎn) A 的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A ②單位圓的“伴隨曲線”是它自身； ③若曲線C 關(guān)于x 軸對稱，則其“伴隨曲線” C 關(guān)于y 軸對稱； ④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線. 其中的真命題是_____________（寫出所有真命題的序列）. 【答案】②③ 【解析】對于①，若令(1,1)P ，則其伴隨點(diǎn)為11(,)22P -，而11(,)22 P -的伴隨點(diǎn)為(1,1)--，而不是 P ，故①錯(cuò)誤；對于②，設(shè)曲線(,)0f x y =關(guān)于x 軸對稱，則(,)0f x y -=與方程(,)0f x y =表示同一曲 線，其伴隨曲線分別為2222( ,)0y x f x y x y -=++與 2222 (,)0y x f x y x y --=++也表示同一曲線，又曲線2222( ,)0y x f x y x y -=++與曲線2222 (,)0y x f x y x y --=++的圖象關(guān)于y 軸對稱，所以②正確；③設(shè)單位圓上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(cos ,sin )P x x ，其伴隨點(diǎn)為(sin ,cos )P x x -仍在單位圓上，故②正確；對于④，直線 y kx b =+上任一點(diǎn)P (,)x y 的伴隨點(diǎn)是P 2222 ( ,)y x x y x y -++，消參后點(diǎn)P 軌跡是圓，故④錯(cuò)誤.所以正 確的為序號為②③. 9.【2021高考山東理數(shù)】已知函數(shù)f (x )的定義域?yàn)镽 .當(dāng)x ()1f x x =- ；當(dāng)11x -≤≤ 時(shí)， ()()f x f x -=-；當(dāng)12x > 時(shí)，11 ()()22 f x f x +=- .則f (6)= （ ） （A ）?2 （B ）?1 （C ）0 （D ）2 【答案】D 【解析】當(dāng)12x > 時(shí)，11()()22f x f x +=-,所以當(dāng)1 2 x >時(shí)，函數(shù)()f x 是周期為1 的周期函數(shù)，所以(6)(1)f f =，又函數(shù)()f x 是奇函數(shù)，所以()3 (1)(1)112f f ??=--=---=?? ，故選D. 10.【2021高考天津理數(shù)】已知函數(shù)f （x ）=2(4,0, log (1)13,03)a x a x a x x x ?+減，且關(guān)于x 的方程|()|2f x x =-恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a 的取值范圍是（ ） （A ）（0， 23] （B ）[23，34 ] （C ）[13，2 3] { 34 }（D ）[13，2 3） { 3 4 } 【答案】 C 11.【2021高考江蘇卷】設(shè)()f x 是定義在R 上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[1,1)-上， ,10, ()2 ,01, 5x a x f x x x +-≤=?-≤其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，則(5)f a 的值是 ▲ . 【答案】25 - 【解析】5 1911123()()()()22222255 f f f f a a -=-==?-+= -?=， 因此32 (5)(3)(1)(1)155 f a f f f ===-=-+=- 12.【2021高考江蘇卷】函數(shù)y 的定義域是 ▲ . 【答案】[ ]3,1 - 【解析】要使函數(shù)有意義，必須2320x x --≥，即2 230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故答案應(yīng)填：[] 3,1-， 13.【2021年高考北京理數(shù)】設(shè)函數(shù)33,()2,x x x a f x x x a ?-≤=?->?. ①若0a =，則()f x 的最大值為______________； ②若()f x 無最大值，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是________. 【答案】2，(,1)-∞-. 1.(2021安徽卷)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是( ) A.y ＝cos x B.y ＝sin x C.y ＝ln x D.y ＝x 2 ＋1 【答案】 A 【解析】 由于y ＝sin x 是奇函數(shù)；y ＝ln x 是非奇非偶函數(shù)；y ＝x 2 ＋1是偶函數(shù)但沒有零點(diǎn)；只有 y ＝cos x 是偶函數(shù)又有零點(diǎn). 2.(2021全國Ⅱ卷)設(shè)函數(shù)f (x )＝? ??? ?1＋log 2（2－x ），x ＜1，2x －1，x ≥1，則f (－2)＋f (log 212)＝( ) A.3 B.6 C.9 D.12 【答案】 C 3.(2021北京卷)如圖，函數(shù)f (x )的圖象為折線ACB ，則不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A.{x |－1＜x ≤0} B.{x |－1≤x ≤1} C.{x |－1＜x ≤1} D.{x |－1＜x ≤2} 【答案】 C 【解析】 如圖，由圖知：f (x )≥log 2(x ＋1)的解集為{x |－1 4.(2021山東卷)已知函數(shù)f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1) 的定義域和值域都是[－1，0]，則a ＋b ＝________. 【答案】 －3 2 【解析】 當(dāng)a ＞1時(shí)，f (x )＝a x ＋b 在定義域上為增函數(shù)， ∴? ????a －1 ＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，方程組無解； 當(dāng)0＜a ＜1時(shí)，f (x )＝a x ＋b 在定義域上為減函數(shù)， ∴?????a －1 ＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得?? ???a ＝1 2，b ＝－2. ∴a ＋b ＝－32. 5．(2021天津)已知定義在R 上的函數(shù)f (x )＝2 |x －m | －1(m 為實(shí)數(shù))為偶函數(shù)，記a ＝f (log 0.53)，b ＝ (log 25)，c ＝f (2m )，則a ，b ，c 的大小關(guān)系為( ) A ．a(chǎn) ＜b ＜c B ．a(chǎn) ＜c ＜b C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a 【答案】C 6．(2014福建)若函數(shù)y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的圖象如圖所示，則所給函數(shù)圖象正確的是( ) 【答案】B 7．(2021課標(biāo)全國Ⅱ)設(shè)函數(shù)f (x )＝???? ? 1＋log 2－x ，x ＜1，2x －1 ，x ≥1， 則f (－2)＋f (log 212)等于( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 【答案】C 【解析】因?yàn)椋?＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 2122－1 ＝1212 ＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故選C 。 8．(2021陜西卷)設(shè)f (x )＝???1－x ，x ≥0， 2x ，x 則f (f (－2))＝( ) A ．－1 B.1 4 C.12 D.32 【答案】C 【解析】因?yàn)椋?＜0，所以f (－2)＝2－2 ＝14＞0，所以f ? ?? ??14＝1－ 14＝1－12＝1 2 . 9．(2021新課標(biāo)Ⅱ卷)如圖，長方形ABCD 的邊AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中點(diǎn)，點(diǎn)P 沿著邊BC ，CD 與DA 運(yùn)動(dòng)，記∠BOP ＝x .將動(dòng)點(diǎn)P 到A ，B 兩點(diǎn)距離之和表示為x 的函數(shù)f (x )，則y ＝f (x )的圖象大致為(B) 【答案】B 圍是_________________________． 【答案】(－1,3) 【解析】∵f(x)是偶函數(shù)， ∴圖象關(guān)于y軸對稱． 又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞減， 則f(x)的大致圖象如圖所示， 由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3.