《矢性函數(shù)》PPT課件.ppt

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1、 矢 量 分 析 與 場 論 第 2講 矢 性 函 數(shù)張元中中國石油大學（北京）地球物理與信息工程學院 主 要 內 容l1. 矢 性 函 數(shù) 的 概 念l2. 矢 端 曲 線l3. 矢 性 函 數(shù) 的 極 限 和 連 續(xù) 性l4. 矢 性 函 數(shù) 的 導 數(shù)l5. 矢 性 函 數(shù) 的 微 分l6. 矢 性 函 數(shù) 的 導 數(shù) 公 式 教 材 ： 第 1章 ， 第 1節(jié) ， 第 2節(jié) l常 矢 ： 矢 量 的 模 和 方 向 都 保 持 不 變 。l變 矢 ： 模 和 方 向 或 其 中 之 一 發(fā) 生 變 化 。l1.矢 性 函 數(shù) 的 概 念 )(tuu )(tAA u tl標 量 函 數(shù)

2、： 標 量 隨 參 量 的 變 化 。tAl矢 量 函 數(shù) ： 矢 量 隨 參 量 的 變 化 。 l1.矢 性 函 數(shù) 的 概 念l矢 性 函 數(shù) ： 設 有 數(shù) 性 變 量 和 變 矢 ， 如 果對 于 在 某 個 范 圍 內 的 每 一 個 數(shù) 值 ， 都有 一 個 確 定 的 矢 量 和 它 對 應 ， 則 稱 為 數(shù) 性變 量 的 矢 性 函 數(shù) ， 記 作 ： tt Gt A AA)(tAA AG并 稱 為 函 數(shù) 的 定 義 域 。 l1.矢 性 函 數(shù) 的 概 念 ktAjtAitAtAA zyx )()()()( tl矢 性 函 數(shù) 的 坐 標 函 數(shù) 分 量 也 是 的 函

3、 數(shù) 。zo yx )(tAitA x )( jtA y )(ktAz )()(tAx )(tAy )(tAz l2.矢 端 曲 線l自 由 矢 量 ： 當 兩 個 矢 量 的 模 和 方 向 相 同 時 ， 可以 認 為 這 兩 個 矢 量 相 等 。 zo yx )(tA M ll矢 端 曲 線 ：矢 量 的 終 點 隨 參 量 的變 化 曲 線 稱 為 矢 性 函 數(shù) 的 矢 端 曲 線 ， 也 稱 為 矢 性 函 數(shù) 的圖 形 。 )(tA tM )(tAl l2.矢 端 曲 線l矢 量 方 程 ： zo yx )(tA Ml)(tAA ktAjtAitAtAA zyx )()()()

4、( tl當 定 義 隨 增 大 的 方 向 為 的 走 向 ， 則 矢端 曲 線 為 有 向 曲 線 。 ll )(tA為 矢 性 函 數(shù) 的 矢 量 方 程 。 l2.矢 端 曲 線l參 數(shù) 方 程 ： zo yx )(tA Ml)(tAx xl矢 性 函 數(shù) 與 參 數(shù) 方 程 之 間 有 一 一 對 應 的 關 系 。)(tAy y )(tAz z ktAjtAitAtAr zyx )()()()( l)(tAl矢 性 函 數(shù) 對 應 矢 端 曲 線 的 參 數(shù) 方 程 。 l2.矢 端 曲 線l例 ： 圓 柱 螺 旋 線 的 參 數(shù) 方 程 （ P3圖 1-3） ：cosax l其 矢

5、 量 方 程 為 ： sinay bz kbjaiar sincos l2.矢 端 曲 線l例 ： 擺 線 的 參 數(shù) 方 程 （ P3圖 1-4） ：)sin( ttax l其 矢 量 方 程 為 ： )cos1( tay jtaittar )cos1()sin( l3.矢 性 函 數(shù) 的 極 限 和 連 續(xù) 性 0)( AtA l定 義 ： 設 矢 性 函 數(shù) 在 點 的 某 個 領 域 內有 定 義 （ 但 在 處 可 以 沒 有 定 義 ） ， 為 一 常矢 ， 若 對 于 任 意 給 定 的 正 數(shù) ， 都 存 在 一 個 正數(shù) ， 使 當 滿 足 時 ， 有 ：)(tA 0t0t

6、0A t 00 tt成 立 ， 則 稱 為 矢 性 函 數(shù) 當 的 極 限 ，記 作 ： 0A )(tA 0tt 0)(lim0 AtAtt l矢 性 函 數(shù) 極 限 與 數(shù) 性 函 數(shù) 完 全 類 似 。 l3.矢 性 函 數(shù) 的 極 限 和 連 續(xù) 性l 為 數(shù) 性 函 數(shù) ； ， 為 矢 性 函 數(shù) ，當 均 存 在 極 限 。 )(tA0tt )(tB)(tu )(lim)(lim)()(lim 000 tAtutAtu tttttt )(lim)(lim)()(lim 000 tBtAtBtA tttttt )(lim)(lim)()(lim 000 tBtAtBtA tttttt

7、)(lim)(lim)()(lim 000 tBtAtBtA tttttt l矢 性 函 數(shù) 極 限 的 運 算 法 則 l3.矢 性 函 數(shù) 的 極 限 和 連 續(xù) 性矢 性 函 數(shù) 的 極 限 ， 歸 結 為 求 三 個 數(shù) 性 函 數(shù) 的 極 限 。)(lim)(lim)(lim)(lim 0000 tAtAtAtA zttyttxtttt ktAjtAitAtA zyx )()()()( l3.矢 性 函 數(shù) 的 極 限 和 連 續(xù) 性l連 續(xù) 性 定 義 ： 若 矢 性 函 數(shù) 在 點 的 某 個領 域 內 有 定 義 ， 而 且 有 ： )(tA 0t)()(lim 00 tAtA

8、tt l矢 性 函 數(shù) 在 處 連 續(xù) 的 充 要 條 件 是 ： 都 在 處 連 續(xù) 。)(tA 0t zyx AAA , 0t)(tA 0t則 稱 在 處 連 續(xù) 。 l4.矢 性 函 數(shù) 的 導 數(shù)l矢 性 函 數(shù) 的 增 量 ： OMtA )( o M N)(tA )( ttA A l ONttA )( MNtAttA )()( 為 的 增 量 ， 表 示 為 ：)(tA )()( tAttAA l4.矢 性 函 數(shù) 的 導 數(shù) t tAttAtAtAdtAd tt )()(limlim)( 00 t tAttAtA )()( )(tAl導 數(shù) 的 定 義 ： 設 矢 性 函 數(shù) 在

9、點 的 某 一領 域 內 有 定 義 ， 并 設 也 在 這 個 領 域 之 內 ，增 量 的 比 值 為 ： ttt 在 時 ， 其 極 限 存 在 ， 則 稱 此 極 限 為 在 處 的 導 數(shù) （ 簡 稱 導 矢 ） ， 表 示 為 ：0t )(tAt l4.矢 性 函 數(shù) 的 導 數(shù) tAdtAd t 0lim ktAjtAitAtA zyx )()()()( l導 數(shù) 的 分 量 表 示 ： tzyx AAA , 在 點 處 可 導 。tkAt jAt iA ztytxt 000 limlimlim kdtdAjdtdAidtdA zyx ktAjtAitAtA zyx )()()(

10、)( l4.矢 性 函 數(shù) 的 導 數(shù)l例 1： 圓 柱 螺 旋 線 的 矢 量 方 程 （ P3圖 1-3） ：kbjaiar sincos)(求 導 矢 )( r解 ： kbjaiar )()sin()cos()( kbjaia cossin l4.矢 性 函 數(shù) 的 導 數(shù)l例 2： 設試 證 明 ： jie sincos)( ),()( 1 ee 證 ： jie cossin)(1 ),()(1 ee )()( 1 ee jie )(sin)(cos)( ji cossin )( 1 e l4.矢 性 函 數(shù) 的 導 數(shù)l例 2： 設試 證 明 jie sincos)( )()( 1

11、ee 證 ： jie cossin)(1 )()(1 ee )()( 1 ee jie 1 )(cos)sin()( ji sincos )(e l4.矢 性 函 數(shù) 的 導 數(shù)l例 2： 設試 證 明 jie sincos)( )()( 1 ee 證 ： jie cossin)(1 )()(1 ee )()( 1 ee )(cos(sin)sin)(cos)()( ee 0 )()( 1 ee l4.矢 性 函 數(shù) 的 導 數(shù)l 為 一 單 位 矢 量 ， 其 矢 端 曲 線 為 一 單 位 圓 ，因 此 也 叫 做 圓 函 數(shù) 。)(e o y x)(e)( 1 e )(1 el 亦 為

12、一 單 位矢 量 ， 其 矢 端 曲 線 也 為一 單 位 圓 。 l4.矢 性 函 數(shù) 的 導 數(shù) o M N)(tA )( ttA A )( tA tAlttAtA t )(lim)( 0 l 是 在 的 割 線 上 的 一 個 矢 量 。ttA )( l MN0tl 時 ， 其 極 限為 點 的 切 線 位 置 。Ml導 矢 在 幾 何 上 為 一 矢 端 曲 線 的 切 向 矢 量 ， 并始 終 指 向 對 應 增 大 的 方 向 。t l5.矢 性 函 數(shù) 的 微 分 dttAAd )( )( tdt l 微 分 的 概 念 ： 設 有 矢 性 函 數(shù) ， 把)(tAA 稱 為 在

13、處 的 微 分 。)(tA t o M)(tA l)0( dtAd )0( dtAd )( tAl微 分 與 導 矢 的 幾 何 意 義相 同 ， 為 矢 量 矢 端 曲 線 的切 線 。 ， 與 導 矢 的方 向 一 致 ； ， 與 導 矢的 方 向 相 反 。 0dt 0dt l5.矢 性 函 數(shù) 的 微 分l 微 分 的 計 算 表 達 式 ：dttAAd )( 或 ： kdttAjdttAidttA xyx )()()( ktdAjtdAitdAAd zx )()()( 矢 性 函 數(shù) 的 微 分 ， 歸 結 為 求 三 個 數(shù) 性 函 數(shù) 的 微 分 。 l5.矢 性 函 數(shù) 的 微

14、 分解 ：l例 3： 設 ， 求 及 。jbiar sincos)( rd rd jbdiadrd )sin()cos( jdbida cossin djbia )cossin( 22 )cos()sin( dbdard dba 2222 cossin l5.矢 性 函 數(shù) 的 微 分l 的 幾 何 意 義 ：dsrd kzjyixr ktAjtAitAtA zyx )()()()( )(tAx x )(tAy y )(tAz zF 矢 性 函 數(shù)F 矢 性 函 數(shù)F 微 分 kdzjdyidxrd F 微 分 的 模 222 )()()( dzdydxrd l5.矢 性 函 數(shù) 的 微 分l

15、 的 幾 何 意 義 ：dsrd 弧 長 微 分即 ：矢 性 函 數(shù) 微 分 的 模 ， 等 于 （ 其 矢 端 曲 線 的 ） 弧微 分 的 絕 對 值 。 dsdsrddsdsrdrd Ml0ds 0ds0M 222 )()()( dzdydxds dsrd l5.矢 性 函 數(shù) 的 微 分l 的 幾 何 意 義 ：dsrd 得 到 ： 1 dsrddsrd Ml0ds 0ds0M kjidsrd coscoscos 矢 性 函 數(shù) 對 （ 其 矢 端 曲 線 的 ） 弧 長 的 導 數(shù) 在 幾何 上 為 一 切 向 單 位 矢 量 ， 恒 指 向 增 大 的 方 向 。用 表 示 。 s

16、 s l5.矢 性 函 數(shù) 的 微 分l矢 端 切 線 方 向 的 方 向 余 弦 dsdxdzdydx dx 222 )()()(cos dsdydzdydx dy 222 )()()(cos dsdzdzdydx dz 222 )()()(cos 1coscoscos 222 l5.矢 性 函 數(shù) 的 微 分l例 4： 試 證 明證 ： dtrddtds kdtdzjdtdyidtdxdtrd 222 )()()( dtdzdtdydtdxdtrd 2 222 )( )()()( dt dzdydxdtds 222 )()()( dtdzdtdydtdx dtrd l5.矢 性 函 數(shù) 的

17、 微 分可 以 得 到 ： 矢 端 曲 線 的 切 向 單 位 矢 量 的 計 算 公 式l例 4： 試 證 明 dtrddtds dtrddtrddtdsdtrddsrd l5.矢 性 函 數(shù) 的 微 分解 ：l例 5： 求 圓 柱 螺 旋 線 的切 向 單 位 矢 量 。 ktjtitr 4sin3cos3 kjtitdtrd 4cos3sin3 54)cos3()sin3( 222 ttdtrddtds dtdsdtrddsrd / kjtit 54cos53sin53 l6.矢 性 函 數(shù) 的 導 數(shù) 公 式l設 矢 性 函 數(shù) 及 數(shù) 性 函 數(shù) 在 的某 個 范 圍 內 可 導 ，

18、 則 以 下 公 式 成 立 ：)(),( tBtA )(tu t0dtCd （ 1） （ 為 常 矢 量 ）C（ 2） dtBddtAdBAdtd )(（ 4） dtAduAdtduAudtd )(（ 3） dtAdkAkdtd )( （ 為 常 數(shù) ）k l6.矢 性 函 數(shù) 的 導 數(shù) 公 式（ 5） BdtAddtBdABAdtd )( dtduduAddtAd （ ）AAA 2dtAdAAdtd 2)( 2（ 6） BdtAddtBdABAdtd )(（ 7） 復 合 函 數(shù) 求 導 ： )(),( tuuuAA l1.矢 性 函 數(shù) 導 數(shù) 公 式 的 應 用證 明 （ 5） ：

19、BdtAddtBdABAdtd )(證 ： BABBAABA )()()( BABAABBABA BAABBA tBAtABtBAt BA )( l6.矢 性 函 數(shù) 的 導 數(shù) 公 式證 明 （ 5） ： BdtAddtBdABAdtd )( dtBddtAdBdtBdABAdtd 0)( dtAdBdtBdA 證 ： 令 兩 端 取 極 限 ， 得 到 ：0t l6.矢 性 函 數(shù) 的 導 數(shù) 公 式例 ： 設 三 階 可 導 ， 證 明 （ 習 題 1第 5題 ）)(ta證 ： )()( 322 3dt addtadadt addtadadtd )()()( 222222 dtaddtaddtdadtaddtaddtaddtaddtadadtd )()()( 33222222 dtaddtadadtaddtadadtaddtaddtad )( 33dt addtada 0)( BAA 0)( BBA H omework 1 作 業(yè)P19 習 題 1： 1， 2， 3， 4