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《矢性函數(shù)》PPT課件.ppt

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《矢性函數(shù)》PPT課件.ppt

矢 量 分 析 與 場(chǎng) 論 第 2講 矢 性 函 數(shù)張?jiān)兄袊?guó)石油大學(xué)(北京)地球物理與信息工程學(xué)院 主 要 內(nèi) 容l1. 矢 性 函 數(shù) 的 概 念l2. 矢 端 曲 線l3. 矢 性 函 數(shù) 的 極 限 和 連 續(xù) 性l4. 矢 性 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù)l5. 矢 性 函 數(shù) 的 微 分l6. 矢 性 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 公 式 教 材 : 第 1章 , 第 1節(jié) , 第 2節(jié) l常 矢 : 矢 量 的 模 和 方 向 都 保 持 不 變 。l變 矢 : 模 和 方 向 或 其 中 之 一 發(fā) 生 變 化 。l1.矢 性 函 數(shù) 的 概 念 )(tuu )(tAA u tl標(biāo) 量 函 數(shù) : 標(biāo) 量 隨 參 量 的 變 化 。tAl矢 量 函 數(shù) : 矢 量 隨 參 量 的 變 化 。 l1.矢 性 函 數(shù) 的 概 念l矢 性 函 數(shù) : 設(shè) 有 數(shù) 性 變 量 和 變 矢 , 如 果對(duì) 于 在 某 個(gè) 范 圍 內(nèi) 的 每 一 個(gè) 數(shù) 值 , 都有 一 個(gè) 確 定 的 矢 量 和 它 對(duì) 應(yīng) , 則 稱 為 數(shù) 性變 量 的 矢 性 函 數(shù) , 記 作 : tt Gt A AA)(tAA AG并 稱 為 函 數(shù) 的 定 義 域 。 l1.矢 性 函 數(shù) 的 概 念 ktAjtAitAtAA zyx )()()()( tl矢 性 函 數(shù) 的 坐 標(biāo) 函 數(shù) 分 量 也 是 的 函 數(shù) 。zo yx )(tAitA x )( jtA y )(ktAz )()(tAx )(tAy )(tAz l2.矢 端 曲 線l自 由 矢 量 : 當(dāng) 兩 個(gè) 矢 量 的 模 和 方 向 相 同 時(shí) , 可以 認(rèn) 為 這 兩 個(gè) 矢 量 相 等 。 zo yx )(tA M ll矢 端 曲 線 :矢 量 的 終 點(diǎn) 隨 參 量 的變 化 曲 線 稱 為 矢 性 函 數(shù) 的 矢 端 曲 線 , 也 稱 為 矢 性 函 數(shù) 的圖 形 。 )(tA tM )(tAl l2.矢 端 曲 線l矢 量 方 程 : zo yx )(tA Ml)(tAA ktAjtAitAtAA zyx )()()()( tl當(dāng) 定 義 隨 增 大 的 方 向 為 的 走 向 , 則 矢端 曲 線 為 有 向 曲 線 。 ll )(tA為 矢 性 函 數(shù) 的 矢 量 方 程 。 l2.矢 端 曲 線l參 數(shù) 方 程 : zo yx )(tA Ml)(tAx xl矢 性 函 數(shù) 與 參 數(shù) 方 程 之 間 有 一 一 對(duì) 應(yīng) 的 關(guān) 系 。)(tAy y )(tAz z ktAjtAitAtAr zyx )()()()( l)(tAl矢 性 函 數(shù) 對(duì) 應(yīng) 矢 端 曲 線 的 參 數(shù) 方 程 。 l2.矢 端 曲 線l例 : 圓 柱 螺 旋 線 的 參 數(shù) 方 程 ( P3圖 1-3) :cosax l其 矢 量 方 程 為 : sinay bz kbjaiar sincos l2.矢 端 曲 線l例 : 擺 線 的 參 數(shù) 方 程 ( P3圖 1-4) :)sin( ttax l其 矢 量 方 程 為 : )cos1( tay jtaittar )cos1()sin( l3.矢 性 函 數(shù) 的 極 限 和 連 續(xù) 性 0)( AtA l定 義 : 設(shè) 矢 性 函 數(shù) 在 點(diǎn) 的 某 個(gè) 領(lǐng) 域 內(nèi)有 定 義 ( 但 在 處 可 以 沒(méi) 有 定 義 ) , 為 一 常矢 , 若 對(duì) 于 任 意 給 定 的 正 數(shù) , 都 存 在 一 個(gè) 正數(shù) , 使 當(dāng) 滿 足 時(shí) , 有 :)(tA 0t0t 0A t 00 tt成 立 , 則 稱 為 矢 性 函 數(shù) 當(dāng) 的 極 限 ,記 作 : 0A )(tA 0tt 0)(lim0 AtAtt l矢 性 函 數(shù) 極 限 與 數(shù) 性 函 數(shù) 完 全 類 似 。 l3.矢 性 函 數(shù) 的 極 限 和 連 續(xù) 性l 為 數(shù) 性 函 數(shù) ; , 為 矢 性 函 數(shù) ,當(dāng) 均 存 在 極 限 。 )(tA0tt )(tB)(tu )(lim)(lim)()(lim 000 tAtutAtu tttttt )(lim)(lim)()(lim 000 tBtAtBtA tttttt )(lim)(lim)()(lim 000 tBtAtBtA tttttt )(lim)(lim)()(lim 000 tBtAtBtA tttttt l矢 性 函 數(shù) 極 限 的 運(yùn) 算 法 則 l3.矢 性 函 數(shù) 的 極 限 和 連 續(xù) 性矢 性 函 數(shù) 的 極 限 , 歸 結(jié) 為 求 三 個(gè) 數(shù) 性 函 數(shù) 的 極 限 。)(lim)(lim)(lim)(lim 0000 tAtAtAtA zttyttxtttt ktAjtAitAtA zyx )()()()( l3.矢 性 函 數(shù) 的 極 限 和 連 續(xù) 性l連 續(xù) 性 定 義 : 若 矢 性 函 數(shù) 在 點(diǎn) 的 某 個(gè)領(lǐng) 域 內(nèi) 有 定 義 , 而 且 有 : )(tA 0t)()(lim 00 tAtAtt l矢 性 函 數(shù) 在 處 連 續(xù) 的 充 要 條 件 是 : 都 在 處 連 續(xù) 。)(tA 0t zyx AAA , 0t)(tA 0t則 稱 在 處 連 續(xù) 。 l4.矢 性 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù)l矢 性 函 數(shù) 的 增 量 : OMtA )( o M N)(tA )( ttA A l ONttA )( MNtAttA )()( 為 的 增 量 , 表 示 為 :)(tA )()( tAttAA l4.矢 性 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) t tAttAtAtAdtAd tt )()(limlim)( 00 t tAttAtA )()( )(tAl導(dǎo) 數(shù) 的 定 義 : 設(shè) 矢 性 函 數(shù) 在 點(diǎn) 的 某 一領(lǐng) 域 內(nèi) 有 定 義 , 并 設(shè) 也 在 這 個(gè) 領(lǐng) 域 之 內(nèi) ,增 量 的 比 值 為 : ttt 在 時(shí) , 其 極 限 存 在 , 則 稱 此 極 限 為 在 處 的 導(dǎo) 數(shù) ( 簡(jiǎn) 稱 導(dǎo) 矢 ) , 表 示 為 :0t )(tAt l4.矢 性 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) tAdtAd t 0lim ktAjtAitAtA zyx )()()()( l導(dǎo) 數(shù) 的 分 量 表 示 : tzyx AAA , 在 點(diǎn) 處 可 導(dǎo) 。tkAt jAt iA ztytxt 000 limlimlim kdtdAjdtdAidtdA zyx ktAjtAitAtA zyx )()()()( l4.矢 性 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù)l例 1: 圓 柱 螺 旋 線 的 矢 量 方 程 ( P3圖 1-3) :kbjaiar sincos)(求 導(dǎo) 矢 )( r解 : kbjaiar )()sin()cos()( kbjaia cossin l4.矢 性 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù)l例 2: 設(shè)試 證 明 : jie sincos)( ),()( 1 ee 證 : jie cossin)(1 ),()(1 ee )()( 1 ee jie )(sin)(cos)( ji cossin )( 1 e l4.矢 性 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù)l例 2: 設(shè)試 證 明 jie sincos)( )()( 1 ee 證 : jie cossin)(1 )()(1 ee )()( 1 ee jie 1 )(cos)sin()( ji sincos )(e l4.矢 性 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù)l例 2: 設(shè)試 證 明 jie sincos)( )()( 1 ee 證 : jie cossin)(1 )()(1 ee )()( 1 ee )(cos(sin)sin)(cos)()( ee 0 )()( 1 ee l4.矢 性 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù)l 為 一 單 位 矢 量 , 其 矢 端 曲 線 為 一 單 位 圓 ,因 此 也 叫 做 圓 函 數(shù) 。)(e o y x)(e)( 1 e )(1 el 亦 為 一 單 位矢 量 , 其 矢 端 曲 線 也 為一 單 位 圓 。 l4.矢 性 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) o M N)(tA )( ttA A )( tA tAlttAtA t )(lim)( 0 l 是 在 的 割 線 上 的 一 個(gè) 矢 量 。ttA )( l MN0tl 時(shí) , 其 極 限為 點(diǎn) 的 切 線 位 置 。Ml導(dǎo) 矢 在 幾 何 上 為 一 矢 端 曲 線 的 切 向 矢 量 , 并始 終 指 向 對(duì) 應(yīng) 增 大 的 方 向 。t l5.矢 性 函 數(shù) 的 微 分 dttAAd )( )( tdt l 微 分 的 概 念 : 設(shè) 有 矢 性 函 數(shù) , 把)(tAA 稱 為 在 處 的 微 分 。)(tA t o M)(tA l)0( dtAd )0( dtAd )( tAl微 分 與 導(dǎo) 矢 的 幾 何 意 義相 同 , 為 矢 量 矢 端 曲 線 的切 線 。 , 與 導(dǎo) 矢 的方 向 一 致 ; , 與 導(dǎo) 矢的 方 向 相 反 。 0dt 0dt l5.矢 性 函 數(shù) 的 微 分l 微 分 的 計(jì) 算 表 達(dá) 式 :dttAAd )( 或 : kdttAjdttAidttA xyx )()()( ktdAjtdAitdAAd zx )()()( 矢 性 函 數(shù) 的 微 分 , 歸 結(jié) 為 求 三 個(gè) 數(shù) 性 函 數(shù) 的 微 分 。 l5.矢 性 函 數(shù) 的 微 分解 :l例 3: 設(shè) , 求 及 。jbiar sincos)( rd rd jbdiadrd )sin()cos( jdbida cossin djbia )cossin( 22 )cos()sin( dbdard dba 2222 cossin l5.矢 性 函 數(shù) 的 微 分l 的 幾 何 意 義 :dsrd kzjyixr ktAjtAitAtA zyx )()()()( )(tAx x )(tAy y )(tAz zF 矢 性 函 數(shù)F 矢 性 函 數(shù)F 微 分 kdzjdyidxrd F 微 分 的 模 222 )()()( dzdydxrd l5.矢 性 函 數(shù) 的 微 分l 的 幾 何 意 義 :dsrd 弧 長(zhǎng) 微 分即 :矢 性 函 數(shù) 微 分 的 模 , 等 于 ( 其 矢 端 曲 線 的 ) 弧微 分 的 絕 對(duì) 值 。 dsdsrddsdsrdrd Ml0ds 0ds0M 222 )()()( dzdydxds dsrd l5.矢 性 函 數(shù) 的 微 分l 的 幾 何 意 義 :dsrd 得 到 : 1 dsrddsrd Ml0ds 0ds0M kjidsrd coscoscos 矢 性 函 數(shù) 對(duì) ( 其 矢 端 曲 線 的 ) 弧 長(zhǎng) 的 導(dǎo) 數(shù) 在 幾何 上 為 一 切 向 單 位 矢 量 , 恒 指 向 增 大 的 方 向 。用 表 示 。 s s l5.矢 性 函 數(shù) 的 微 分l矢 端 切 線 方 向 的 方 向 余 弦 dsdxdzdydx dx 222 )()()(cos dsdydzdydx dy 222 )()()(cos dsdzdzdydx dz 222 )()()(cos 1coscoscos 222 l5.矢 性 函 數(shù) 的 微 分l例 4: 試 證 明證 : dtrddtds kdtdzjdtdyidtdxdtrd 222 )()()( dtdzdtdydtdxdtrd 2 222 )( )()()( dt dzdydxdtds 222 )()()( dtdzdtdydtdx dtrd l5.矢 性 函 數(shù) 的 微 分可 以 得 到 : 矢 端 曲 線 的 切 向 單 位 矢 量 的 計(jì) 算 公 式l例 4: 試 證 明 dtrddtds dtrddtrddtdsdtrddsrd l5.矢 性 函 數(shù) 的 微 分解 :l例 5: 求 圓 柱 螺 旋 線 的切 向 單 位 矢 量 。 ktjtitr 4sin3cos3 kjtitdtrd 4cos3sin3 54)cos3()sin3( 222 ttdtrddtds dtdsdtrddsrd / kjtit 54cos53sin53 l6.矢 性 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 公 式l設(shè) 矢 性 函 數(shù) 及 數(shù) 性 函 數(shù) 在 的某 個(gè) 范 圍 內(nèi) 可 導(dǎo) , 則 以 下 公 式 成 立 :)(),( tBtA )(tu t0dtCd ( 1) ( 為 常 矢 量 )C( 2) dtBddtAdBAdtd )(( 4) dtAduAdtduAudtd )(( 3) dtAdkAkdtd )( ( 為 常 數(shù) )k l6.矢 性 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 公 式( 5) BdtAddtBdABAdtd )( dtduduAddtAd ( )AAA 2dtAdAAdtd 2)( 2( 6) BdtAddtBdABAdtd )(( 7) 復(fù) 合 函 數(shù) 求 導(dǎo) : )(),( tuuuAA l1.矢 性 函 數(shù) 導(dǎo) 數(shù) 公 式 的 應(yīng) 用證 明 ( 5) : BdtAddtBdABAdtd )(證 : BABBAABA )()()( BABAABBABA BAABBA tBAtABtBAt BA )( l6.矢 性 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 公 式證 明 ( 5) : BdtAddtBdABAdtd )( dtBddtAdBdtBdABAdtd 0)( dtAdBdtBdA 證 : 令 兩 端 取 極 限 , 得 到 :0t l6.矢 性 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 公 式例 : 設(shè) 三 階 可 導(dǎo) , 證 明 ( 習(xí) 題 1第 5題 ))(ta證 : )()( 322 3dt addtadadt addtadadtd )()()( 222222 dtaddtaddtdadtaddtaddtaddtaddtadadtd )()()( 33222222 dtaddtadadtaddtadadtaddtaddtad )( 33dt addtada 0)( BAA 0)( BBA H omework 1 作 業(yè)P19 習(xí) 題 1: 1, 2, 3, 4

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