《整式的乘除與因式分解》教案(第一部分)

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1、 第十五章 整式的乘除與因式分解 15．1．1 整式 教學(xué)目標(biāo) 1 ．單項式、單項式的定義． 2 ．多項式、多項式的次數(shù)． 3、理解整式概念． 教學(xué)重點 單項式及多項式的有關(guān)概念． 教學(xué)難點 單項式及多項式的有關(guān)概念． 教學(xué)過程 Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設(shè)情境 在七年級，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用字母可以表示數(shù)，思考下列問題 1 ．要表示△ ABC的周長需要什么條件？要表示它的面積呢？ 2 ．小王用七小時行駛了 Skm的路程，請問他的平均速度是多少？結(jié)論： 1、要表示△ ABC 的周長，需要知道它的

2、各邊邊長．要表示△ ABC?的面積需 要知道一條邊長和這條邊上的高．如果設(shè) BC=a，AC=b，AB=c．AB邊上的高為 h，?那么△ ABC的周長可以表示為 a+b+c；△ ABC的面積可以表示為 1 ch． 2 2 ．小王的平均速度是 S ． t 問題：這些式子有什么特征呢？ （ 1）有數(shù)字、有表示數(shù)字的字母． （2）數(shù)字與字母、字母與字母之間還有運算符號連接． 歸納：用基本的運算符號（運算包括加、減、乘、除、乘方與開方）把數(shù)和 表示數(shù)的字母連接起來的式子叫做代數(shù)式． 判斷上面得到的三個式子： a+b+c、 1 ch、 S 是不是代數(shù)式？（

3、是） 2 t 代數(shù)式可以簡明地表示數(shù)量和數(shù)量的關(guān)系．今天我們就來學(xué)習(xí)和代數(shù)式有關(guān) 的整式． Ⅱ．明確和鞏固整式有關(guān)概念 （出示投影） 思考： 先填空，再看看列出的代數(shù)式有什么特點． （ 1）邊長為 x 的正方形的周長為 _________； （ 2）一輛汽車的速度是 v 千米 / 時，行駛 t 小時所走過的路程為 _______ 千米． （3）如圖，正方體的表面積為 _______，正方體的體積為 ________； （ 4）設(shè) n 表示

4、一個數(shù)，則它的相反數(shù)是 ________．結(jié)論：（ 1）正方形的周長： 4x． （2）汽車走過的路程： vt ． （3）正方體有六個面，每個面都是正方形，這六個正方形全等， ?所以它的 表面積為 6a2 ；正方體的體積為長寬高，即 a3 ． （4）n 的相反數(shù)是－ n． 分析這四個數(shù)的特征． 它們符合代數(shù)式的定義．這五個式子都是數(shù)與字母或字母與字母的積，而 a+b+c、 1 ch、 S 中還有和與商的運算符號．還可以發(fā)現(xiàn)這五個代數(shù)式中字母指 2 t 數(shù)各不相同，字母的個數(shù)也不盡相同． 請同學(xué)們閱讀課本 P160～P161單項式有關(guān)概念．

5、 根據(jù)這些定義判斷 4x、vt 、 6a2、a3、-n 、a+b+c、 1 ch、 S 這些代數(shù)式中，哪 2 t 些是單項式？是單項式的，寫出它的系數(shù)和次數(shù)． 結(jié)論 :4x 、vt 、6a2、a3、-n 、 1 ch 是單項式．它們的系數(shù)分別是 4、1、6、1、 -1 、 1 2 ．它們的次數(shù)分別是 1、2、2、3、1、2．所以 4x、 -n 都是一次單項式； 2 2 1 3 vt 、6a 、? ch 都是二次單項式； a 是三次單項式． 問題 :vt 中 v 和 t 的指數(shù)都是 1，它不是一次單項式嗎？

6、 結(jié)論 : 不是．根據(jù)定義，單項式 vt 中含有兩個字母，所以它的次數(shù)應(yīng)該是這 兩個字母的指數(shù)的和，而不是單個字母的指數(shù)，所以 vt 是二次單項式而不是一 次單項式． 生活中不僅僅有單項式， 像 a+b+c，它不是單項式， 和單項式有什么聯(lián)系呢？ 寫出下列式子（出示投影） 結(jié)論 : （ 1） t-5 ．（2）3x+5y+2z． （3）三角尺的面積應(yīng)是直角三角形的面積減去圓的面積，即 1 ab-3.12 r2． 2 （4）建筑面積等于四個矩形的面積之和．而右邊兩個已知矩形面積分別為 32、43，所以它們的面積和是 18．

7、于是得這所住宅的建筑面積是 x2+2x+18． 我們可以觀察下列代數(shù)式： a+b+c 、t-5 、3x+5y+2z、 1 ab-3.12 r2 、x2+2x+18．發(fā)現(xiàn)它們都是由單項式的 2 和組成的式子．是多個單項式的和，能不能叫多項式？ 這樣推理合情合理．請看 投影，熟悉下列概念． 幾個單項式的和叫做多項式． 多項式中每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫常數(shù)項． 多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)即這個多項式的次數(shù)． 根據(jù)定義，我們不難得出 a+b+c、 t-5 、3x+5y+2z、 1 ab-3.12 r2、 x2+2

8、x+18 2 都是多項式．請分別指出它們的項和次數(shù)． a+b+c 的項分別是 a、 b、 c． t-5 的項分別是 t 、 -5 ，其中 -5 是常數(shù)項． 3x+5y+2z 的項分別是 3x、5y、2z． 1 ab-3.12 r2 的項分別是 1 ab、-3.12r 2 ． 2 2 x2+2x+18 的項分別是 x2、2x、 18． 找多項式的次數(shù)應(yīng)抓住兩條， 一是找準(zhǔn)每個項的次數(shù)， ?二是取每個項次數(shù)的最大值．根據(jù)這兩條很容易得到這五個多項式中前三個是一次多項式， 后兩個是二次多項式． 這節(jié)課，通過探究我們得到單項式和多項式的有關(guān)概念，

9、它們可以反映變化的世界．同時，我們也體會到符號的魅力所在． 我們把單項式與多項式統(tǒng)稱為整 式． Ⅲ．隨堂練習(xí) 1 ．課本 P162 練習(xí)Ⅳ．課時小結(jié) 通過探究，我們了解了整式的概念． 理解并掌握單項式、 多項式的有關(guān)概念 是本節(jié)的重點， 特別是它們的次數(shù)． 在現(xiàn)實情景中進一步理解了用字母表示數(shù)的意義， ?發(fā)展符號感． Ⅴ．課后作業(yè) 1 ．課本 P165～ P166 習(xí)題 15．1─1、5、8、9 題． 2 ．預(yù)習(xí)“整式的加減” ． 課后作業(yè)：《課堂感悟與探究》 15． 1． 2 整式的加減（ 1

10、） 教學(xué)目的： 1、解字母表示數(shù)量關(guān)系的過程，發(fā)展符號感。 2、會進行整式加減的運算，并能說明其中的算理，發(fā)展有條理的思考及語言 表達能力。 教學(xué)重點： 會進行整式加減的運算，并能說明其中的算理。 教學(xué)難點： 正確地去括號、合并同類項，及符號的正確處理。 教學(xué)過程： 一、課前練習(xí)： 1、填空：整式包括 和 2、單項式 2x 2 y 的系數(shù)是 、次數(shù)是 3 3、多項式 3m 3 2m 5 m 2 是 次 項式，其中二次項 系數(shù)是 一次項是 ，常數(shù)項是

11、 4、下列各式，是同類項的一組是（ ） （A） 2 2 1 2 （ ） 2 與 2 2 與 x y 與 （ ） abc 2 3 yx B 2m n 2m n C ab 3 5、去括號后合并同類項： (3a b) (5a 2b) (7a 4b) 二、探索練習(xí)： 1 、如果用 a 、b 分別表示一個兩位數(shù)的十位

12、數(shù)字和個位數(shù)字， 那么這個兩位數(shù) 可以表示為 交換這個兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字后得到的 兩位數(shù)為 這兩個兩位數(shù)的和為 2、如果用 a 、b、c 分別表示一個三位數(shù)的百位數(shù)字、十位數(shù)字和個位數(shù)字，那 么這個三位數(shù)可以表示為 交換這個三位數(shù)的百位數(shù)字和個位 數(shù)字后得到的三位數(shù)為 這兩個三位數(shù)的差為 ●議一議：在上面的兩個問題中，分別涉及到了整式的什么運算？ 說說你是如何運算的？ ▲整式的加減運算實質(zhì)就是 運算的結(jié)果是一個多項式或單項式。 三、鞏固練習(xí)： 1、填

13、空：（1） 2a b 與 a b 的差是 （ 2）、單項式 5x 2 y 、 2x 2 y 、 2xy2 、 4 x2 y 的和為 （ 3）如圖所示，下面為由棋子所組成的三角形，一個三角形需六個棋子，三個三角形需 （ ）個棋子， n 個三角形需 個棋子 2、計算： （ 1） (3 2 7 k ) (4 2 3 1) k k k （ 2） (3x2 2 xy 1 x) (2x 2 xy x) 2 （ 3） 3a

14、5a (a 2) 4 1 3、（1）求 x 2 7x 2 與 2 x2 4 x 1的和 (2) 求 4k 2 7k 與 k 2 3k 1的差 4、先化簡，再求值： 5x2 3x 2(2 x 3) 4x2 其中 x 1 2 四、提高練習(xí)： 1、若 A 是五次多項式， B 是三次多項式，則 A+B一定是 （A） 五次整式 （ B）八次多項式 （C）三次多項式 （ D）次數(shù)不能確定 2、足球比賽中，如果勝一場記 3a 分，平一場記 a 分，負一場 記 0 分，那么某隊在比賽

15、勝 5 場，平 3 場，負 2 場，共積多少分？ 3、一個兩位數(shù)與把它的數(shù)字對調(diào)所成的數(shù)的和，一定能被 14 整除，請證明這個結(jié)論。 4、如果關(guān)于字母 x 的二次多項式 3x 2 mx nx 2 x 3 的值與 x 的取值無關(guān)， 試求 m、n 的值。 五、小結(jié)：整式的加減運算實質(zhì)就是去括號和合并同類項。 六、作業(yè)：第 8 頁習(xí)題 1、 2、 3 15． 1． 2 整式的加減（ 2） 教學(xué)目標(biāo) ：1. 會進行整式加減的運算， 并能說明其中的算理， 發(fā)展有條理的思考及其語言表達能力。 2. 通過探索規(guī)律的問題，

16、進一步體會符號表示的意義，發(fā)展符號感，發(fā)展推理能力。 教學(xué)重點 ：整式加減的運算。 教學(xué)難點 ：探索規(guī)律的猜想。 教學(xué)方法 ：嘗試練習(xí)法，討論法，歸納法。 教學(xué)用具： 投影儀 教學(xué)過程 ： I 探索練習(xí)： 擺第 1 個“小屋子”需要 5 枚棋子，擺第 2 個需要 枚棋子，擺第 3 個 需要 枚棋子。按照這樣的方式繼續(xù)擺下去。 （1）擺第 10 個這樣的“小屋子”需要 枚棋子 （2）擺第 n 個這樣的“小屋子”需要多少枚棋子？你是如何得到的？你能用 不同的方法解決

17、這個問題嗎？小組討論。 二、例題講解： 三、鞏固練習(xí)： 1、計算： （ 1）（14x3－2x2 ）＋ 2（x3－x2） （2）（ 3a2＋2a－6）－ 3（a2－ 1） （ 3） x－（ 1－2x＋x2） +（－ 1－x2） （4）（8xy－3x2）－ 5xy－ 2（ 3xy－2x2 ） 2、已知： A=x3－ x2 －1，B=x2－ 2，計算：（1）B－A （ 2） A－ 3B 3、列方程解應(yīng)用題：三角形三個內(nèi)角的和等于 180，如果三角形中第一個角等于第二個角的 3 倍，而第三個角比第

18、二個角大 15，那么 （1）第一個角是多少度？ （2）其他兩個角各是多少度？ 四、提高練習(xí)： 1、已知 A＝a2＋ b2－ c2 ，B＝－ 4a2 ＋2b2＋3c2 ，并且 A＋ B＋ C＝ 0，問 C 是什么樣的多項式？ 2、設(shè) A＝2x2 －3xy＋y2－x＋2y，B＝4x2 －6xy＋2y2－3x－ y，若│ x－2a│＋ （y＋3）2＝ 0，且 B－2A＝a，求 A 的值。 3、已知有理數(shù) a、b、c 在數(shù)軸上（ 0 為數(shù)軸原點）的對應(yīng)點如圖： 試化簡：│ a│－│ a＋ b│

19、＋│ c －a│＋│ b＋c│ c a b 0 小 結(jié)：要善于在圖形變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，能熟練的對整式加減進行運算。 作 業(yè)：課本 P14 習(xí)題 1.3 ： 1（2）、（ 3）、（6）， 2。 《課堂感悟與探究》 15．2． 1 同底數(shù)冪的乘法 教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識點 1 ．理解同底數(shù)冪的乘法法則． 2 ．運用同底數(shù)冪的乘法法則解決一些實際問題．（二）能力訓(xùn)練要求 1 ．在進一步體會冪的意義時，發(fā)展推理能力和有條理的表達能力． 2 ．通過“同底數(shù)冪的乘法法則”的推導(dǎo)和應(yīng)用， ?使學(xué)生初步理解特

20、殊──一般──特殊的認(rèn)知規(guī)律． （三）情感與價值觀要求 體味科學(xué)的思想方法，接受數(shù)學(xué)文化的熏陶，激發(fā)學(xué)生探索創(chuàng)新的精神．教學(xué)重點 正確理解同底數(shù)冪的乘法法則．教學(xué)難點 正確理解和應(yīng)用同底數(shù)冪的乘法法則．教學(xué)方法 透思探究教學(xué)法： 利用學(xué)生已有的知識、 經(jīng)驗對所學(xué)內(nèi)容進行自主探究、 發(fā)現(xiàn)，在對新知識的再創(chuàng)造和再發(fā)現(xiàn)的活動中培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新精神與創(chuàng)新能 力． 教具準(zhǔn)備 投影片（或多媒體課件） ．教學(xué)過程Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設(shè)情境 復(fù)習(xí) an 的意義： an 表示 n 個 a 相乘，我們把這種運算叫做乘方．乘方的結(jié)果叫冪； a 叫做底數(shù)， ?n 是指

21、數(shù)． （出示投影片） 提出問題： （出示投影片） 問題：一種電子計算機每秒可進行 1012 次運算，它工作 103 秒可進行多少次運算？ [ 師] 能否用我們學(xué)過的知識來解決這個問題呢？ [ 生] 運算次數(shù) =運算速度工作時間 所以計算機工作 103 秒可進行的運算次數(shù)為： 1012103． [ 師]1012 3 如何計算呢？ 10 [ 生] 根據(jù)乘方的意義可知 1012103=(10 10) （101010） =(10 1010) =1015．

22、 12個10 15個 10 [師 ]很好，通過觀察大家可以發(fā)現(xiàn) 1012、103 這兩個因數(shù)是同底數(shù)冪的形式，所以我們把像 1012103 的運算叫做同底數(shù)冪的乘法． 根據(jù)實際需要， 我們有必要研究和學(xué)習(xí)這樣的運算──同底數(shù)冪的乘法． Ⅱ．導(dǎo)入新課 1 ．做一做出示投影片： 計算下列各式： 5 2 （1）2 2 （2）a3a2 （3）5m5n（m、n 都是正整數(shù)） 你發(fā)現(xiàn)了什么？注意觀察計算前后底數(shù)和指數(shù)的關(guān)系， 并能用自己的語 言描述． [ 師] 根據(jù)乘方的意義，同學(xué)們可以獨立解決上述問題． 5 2 [生 ]（1）2

23、 2 =（22222）（22） =27=25+2． 因為 25 表示 5 個 2 相乘，；22 表示 2 個 2 相乘，根據(jù)乘方的意義，同樣道理 可得 a3 a2=（aaa）（ aa）=a5=a3+2． 5m5n= (5 5 5) (5 5 5) =5m+n ． m個5 n 個5 （讓學(xué)生自主探索，在啟發(fā)性設(shè)問的引導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并用自己的語言敘述）． [ 生] 我們可以發(fā)現(xiàn)下列規(guī)律： （一）這三個式子都是底數(shù)相同的冪相乘． （二）相乘結(jié)果的底數(shù)與原來底數(shù)相同，指數(shù)是原來兩個冪的指數(shù)的和． 2 ．議一議出示投影片 aman 等于什么（ m

24、、n 都是正整數(shù)）？為什么？ [師生共析 ] aman 表示同底數(shù)冪的乘法．根據(jù)冪的意義可得： aman= (a a a) (a a a) = a a a =am+n m個a n個a (m+n) 個a m n m+n 于是有 a a =a （m、n 都是正整數(shù)），用語言來描述此法則即為： [ 師] 請同學(xué)們用自己的語言解釋“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”的道理，深刻理解同底數(shù)冪的乘法法則． [ 生]am 表示 n 個 a 相乘，an 表示 n 個 a 相乘，aman 表示 m 個 a 相乘再乘以 n 個

25、a 相乘，也就是說有（ m+n）個 a 相乘，根據(jù)乘方的意義可得 aman=am+n． [ 師] 也就是說同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)要降一級運算，變?yōu)橄嗉樱? 3 ．例題講解出示投影片 [ 例 1] 計算： （ ） 6 （1）x25 x 2 a a 4 3 m 3m+1 （3）22 2 （ 4） x x [例 2]計算 amanap 后，能找到什么規(guī)律？ [ 師] 我們先來看例 1，是不是可以用同底數(shù)冪的乘法法則呢？ [ 生 1] （1）、（2）、（4）可以直接用“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”的

26、法則． [ 生 2] （ 3）也可以，先算 2 個同底數(shù)冪相乘，將其結(jié)果再與第三個冪相乘， 仍是同底數(shù)冪相乘，再用法則運算就可以了． [ 師] 同學(xué)們分析得很好．請自己做一遍．每組出一名同學(xué)板演， ?看誰算得 又準(zhǔn)又快． 生板演： （1）解： x2x5=x2+5=x7． 6 1 6 1+6 7 （2）解： aa=a a =a =a ． （3）解： 22423=21+423=2523=25+3=28． （4）解： xmx3m+1=xm+(3m+1)=x4m+1

27、． [師 ]接下來我們來看例 2．受（ 3）的啟發(fā)，能自己解決嗎？ ?與同伴交流一 下解題方法． 解法一： amanap=（aman）ap =am+nap=am+n+p； m n p m n p）=amn+p m+n+p． 解法二： a a a =a （a a a =a 解法三： amanap= a a a a a a a aa m個a n 個a p個a =am+n+p． 評析：解法一與解法二都直接應(yīng)用了運算法則，同時還用了乘法的結(jié)合律；

28、 ?解法三是直接應(yīng)用乘方的意義．三種解法得出了同一結(jié)果．我們需要這種開拓 思維的創(chuàng)新精神． [ 生] 那我們就可以推斷，不管是多少個冪相乘，只要是同底數(shù)冪相乘，  ?就 一定是底數(shù)不變，指數(shù)相加． [ 師] 是的，能不能用符號表示出來呢？ [生 ]am1am2, amn=am1+m2+mn [ 師] 太棒了．那么例 1 中的第（ 3）題我們就可以直接應(yīng)用法則運算了． 22423=21+4+3=28． Ⅲ．隨堂練習(xí) 1．課本 P166 練習(xí) Ⅳ．課時小結(jié) [ 師] 這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了同底數(shù)冪的乘法的

29、運算性質(zhì)， ?請同學(xué)們談一下有何新的收獲和體會呢？ [ 生] 在探索同底數(shù)冪乘法的性質(zhì)時， 進一步體會了冪的意義． 了解了同底數(shù)冪乘法的運算性質(zhì)． [ 生] 同底數(shù)冪的乘法的運算性質(zhì)是底數(shù)不變，指數(shù)相加．應(yīng)用這個性質(zhì)時， ?我覺得應(yīng)注意兩點：一是必須是同底數(shù)冪的乘法才能運用這個性質(zhì)；二是運用 這個性質(zhì)計算時一定是底數(shù)不變，指數(shù)相加，即 aman=am+n （m、n 是正整數(shù)）． Ⅴ．課后作業(yè) 1 ．課本 P175 習(xí)題 15．2─1．（1）、（2），2．（1）、8．《三級訓(xùn)練》 板書設(shè)計 15． 2．1 同底數(shù)冪的乘法 一

30、、計算機運算次數(shù)： 1012 3 計算 1012103= (10 10 10 10) （ 101010）=10 1010 =10 12個10 15個10 二、算一算，找規(guī)律 1． 2522=（ 22222）（22） =(2 2 2) =27； 7個2 2． a3 a2=（aaa）（ aa） =aaaaa=a5； 3． 5m5n= (5 5 5) (5 5 5) = 5 55=5m+n m個5 n 個5

31、(m+n) 個5 三、同底數(shù)冪的乘法法則： m n m+n 同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．即 a a =a （m、 n 都是正整數(shù)） 15．2．3 冪的乘方 教學(xué)目標(biāo) ：1、經(jīng)歷探索冪的乘方與積的乘方的運算性質(zhì)的過程，進一步體會冪的意義，發(fā)展推理能力和有條理的表達能力。 2、了解冪的乘方與積的乘方的運算性質(zhì)，并能解決一些實際問題。 教學(xué)重點 ：會進行冪的乘方的運算。 教學(xué)難點 ：冪的乘方法則的總結(jié)及運用。 教學(xué)方法 ：嘗試練習(xí)法，討論法，歸納法。 教學(xué)用具： 投影儀、常用的教學(xué)用具 活動準(zhǔn)備 ： 2

32、3  （2）x2x2 x+x4x （3）（0.75a ）3（ 1 a）4 （ 4） x3 xn-1 － xn-2 x4 4 教學(xué)過程： 通過練習(xí)的方式，先讓學(xué)生復(fù)習(xí)乘方的知識，并緊接著利用乘方的知識探索新課的內(nèi)容。 一、探索練習(xí)： 1、 6 4 表示 _________個___________相乘 . (6 2 ) 4 表示 _________個 ___________相乘 . a3 表示 _________個___________相乘 . (a 2) 3 表示 ______

33、___個___________相乘 . 在這個練習(xí)中，要引導(dǎo)學(xué)生觀察，推測 (6 2) 4 與(a 2 ) 3 的底數(shù)、指數(shù)。并用乘方的概念解答問題。 2 、（62）4 =________ ________________________ =__________( 根據(jù) an am=anm) =__________ （ 33）5=___________________________ _______ =__________(  根據(jù)  an am=anm) =__________ （ a2）3=_______ __

34、______________ =__________(  根據(jù)  an am=anm) =__________ （ am）2=_________________ =__________(  根據(jù)  an am=anm) =__________ （am） n=________________, ______________ =__________( 根據(jù) an am=anm) =__________ 即 （ am）n= ______________( 其中 m、n 都是正整數(shù)

35、 ) 通過上面的探索活動 , 發(fā)現(xiàn)了什么 ? 冪的乘方 ,底數(shù) __________,指數(shù) __________. 學(xué)生在探索練習(xí)的指引下 ,自主的完成有關(guān)的練習(xí) ,并在練習(xí)中發(fā)現(xiàn)冪的乘方的法則 ,從猜測到探索到理解法則的實際意義從而從本質(zhì)上認(rèn)識、學(xué)習(xí)冪的乘 方的來歷。教師應(yīng)當(dāng)鼓勵學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)冪的乘方的性質(zhì)特點 （如底數(shù)、指數(shù)發(fā)生了怎樣的變化） 并運用自己的語言進行描述。 然后再讓學(xué)生回顧這一性質(zhì)的得來過程，進一步體會冪的意義。 二、鞏固練習(xí)： 1、1、計算下列各題： （ 1）（103）3 （ ） （

36、 2 ） 3 4 （ 3） [（－ 6） 3 4 2 [ ] ] 3 （ 6）－（ as）3 （ 4）（x2） 5 （5）－（ a2）7 （ 7）（x3） 4x2 （8）2（x2）n－（ xn） 2 （ 9） [（x 2） 3] 7 學(xué)生在做練習(xí)時， 不要鼓勵他們直接套用公式， 而應(yīng)讓學(xué)生說明每一步的運算 理由，進一步體會乘方的意義與冪的意義。 2、判斷題，錯誤的予以改正。 （ 1） a5+a5=2a10

37、 （ ） （ 2）（s3） 3=x6 （－ ）6 － 6 （ ） （ 3）（－ 3） 2（－ 3）4 （ ） （ 4） x3 3 （ = 3 = 3 （ ） +y x+y ）3 = （ 5） [（m－ n） 3]4－[（m－n）2] 6=0 （ ） 學(xué)生通過練習(xí)鞏固剛剛學(xué)習(xí)的新知識。在此基礎(chǔ)上加深知識的應(yīng)用 . 三、提高練習(xí)： 1、1、計算 5（P3） 4（－ P2） 3+2[（－ P） 2] 4（－ P5） 2 [ （－

38、 1）m]2n+1m-1 +02002―（― 1）1990 2、若（ x2）n=x8，則 m=_____________. 3、、若 [（x3）m]2=x12，則 m=_____________。 m 2m 9m 4、若 x x =2，求 x 的值。 6、已知 am=2,an=3,求 a2m+3n 的值 . 小 結(jié)：會進行冪的乘方的運算。 作 業(yè)：課本 P16 習(xí)題 1.7： 1、2、3。 《三級訓(xùn)練》 15． 2．3 積的乘方 教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識點 1 ．經(jīng)歷探索積的乘方的運算法則的過程，進一步體會冪的意義． 2

39、 ．理解積的乘方運算法則，能解決一些實際問題． （二）能力訓(xùn)練要求 1 ．在探究積的乘方的運算法則的過程中，發(fā)展推理能力和有條理的表達能 力． 2 ．學(xué)習(xí)積的乘方的運算法則，提高解決問題的能力． （三）情感與價值觀要求 在發(fā)展推理能力和有條理的語言、 符號表達能力的同時， 進一步體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，感受數(shù)學(xué)的簡潔美． 教學(xué)重點 積的乘方運算法則及其應(yīng)用． 教學(xué)難點 冪的運算法則的靈活運用． 教學(xué)方法 自學(xué)─引導(dǎo)相結(jié)合的方法． 同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方成一個體系，研究方法類同，有前兩節(jié)課做

40、基礎(chǔ)， 本節(jié)課可放手讓學(xué)生自學(xué)， 教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)， 從而讓學(xué)生真正理解冪的運算方法，能解決一些實際問題． 教具準(zhǔn)備 投影片． 教學(xué)過程 Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設(shè)情境 [ 師 ] 還是就上節(jié)課開課提出的問題：若已知一個正方體的棱長為 1.1 103cm， ?你能計算出它的體積是多少嗎？ 3 3 3 [ 生] 它的體積應(yīng)是 V=（1.1 10 ） cm ． [ 生] 不是，底數(shù)是 1.1 和 103 的乘積，雖然 103 是冪，但總體來看， ?我認(rèn)為應(yīng)是積的乘方才有道理． [ 師] 你分析得很有道理，積的乘方如何運算呢？能不能找到一

41、個運算法則？ ?有前兩節(jié)課的探究經(jīng)驗，老師想請同學(xué)們自己探索，發(fā)現(xiàn)其中的奧秒． Ⅱ．導(dǎo)入新課 老師列出自學(xué)提綱，引導(dǎo)學(xué)生自主探究、討論、嘗試、歸納． 1 ．填空，看看運算過程用到哪些運算律， 從運算結(jié)果看能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ （1）（ ab）2=（ ab）（ab） =（ aa）（bb）=a( )b( ) 3 ( ) ( ) （2）（ ab） =______=_______=a b n ( ) ( ) （n 是正整數(shù)） （3）（ ab） =______=______=a b 2 ．把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用

42、文字語言表述，再用符號語言表達． 3 ．解決前面提到的正方體體積計算問題． 4 ．積的乘方的運算法則能否進行逆運算呢？請驗證你的想法． 5 ．完成課本 P170 例 3． 出示投影片 學(xué)生探究的經(jīng)過： 1．（1）（ ab）2 =（ab） （ab）= （ aa） （bb）= a2b2 ，其中第①步是用乘方的意義；第②步是用乘法的交換律和結(jié)合律；第③步是用同底數(shù)冪的乘法法則． ?同樣的方法可以算出（ 2）、（3）題． （2）（ab）3 =（ab）（ab） （ab）=（aaa）（ bbb）=a3b3； （3）（ab）n = (ab) (ab)

43、  = (a a  a) (b b  =anbn n個ab  n個a  n個b 2 ．積的乘方的結(jié)果是把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，也就是說積的乘方等于冪的乘積． 用符號語言敘述便是： （ab） n=anbn（n 是正整數(shù)） 3．正方體的體積 V=（1.1 103）3 它不是最簡形式，根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可作如下運算： V= （1.1 103）3=1.14 （103）3=1.14 1033=1.14 109=1.331 109（ cm3） 通過上述探究，我們可以發(fā)現(xiàn)積的乘方的運算法則： n n n （ab）

44、=a b （n 為正整數(shù)） 積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘． 4 ．積的乘方法則可以進行逆運算．即： an bn=（ ab）n（n 為正整數(shù)） 分析這個等式：左邊是冪的乘積，而且冪指數(shù)相同，右邊是積的乘方，且指 數(shù)與左邊指數(shù)相等，那么可以總結(jié)為： an bn= ( a a 同指數(shù)冪相乘，底數(shù)相乘，指數(shù)不變． 看來這也是降級運算了，即將冪的乘積轉(zhuǎn)化為底數(shù)的乘法運算． n n n a) (b b b) ──冪的意義 n個a n個b = (a b) (a b)( a b) ──乘法交換律、結(jié)合律

45、 n個(a b) ＝（ ab）n ──乘方的意義 5 ．[ 例 3] 計算 （1）（2a）3 =23a3=8a3． （2）（-5b ）3=（ -5 ）3b3=-125b3． 2 2 2 2 2 2 22 2 4 2 4 （3）（xy ） =x （y ） =x y =x y =x y ． （學(xué)生活動時，老師要深入到學(xué)生中，發(fā)現(xiàn)問題，及時啟發(fā)引導(dǎo)， ?使各個層面的學(xué)生都能學(xué)有所獲） [ 師] 通過自己的努力，發(fā)現(xiàn)了積的乘方的運算法則，并能做簡單的應(yīng)用． ? 可以作如下歸納總結(jié)： 1 ．積的乘方法則：積的乘方等于每一個因式乘方的積．即（ ab）n=

46、anbn（n為正整數(shù)）． 2 ．三個或三個以上的因式的積的乘方也具有這一性質(zhì)．如（ abc）n=anbncn （ n 為正整數(shù)）． 3 ．積的乘方法則也可以逆用．即 anbn=（ab） n，anbncn=（ abc） n，（n 為正整數(shù)）． Ⅲ．隨堂練習(xí) 1 ．課本 P170練習(xí) （由學(xué)生板演或口答） Ⅳ．課時小結(jié) [ 師] 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么新的體會和收獲？ [ 生] 通過自己的努力，探索總結(jié)出了積的乘方法則， 還能理解它的真正含義． [ 生] 其實數(shù)學(xué)新知識的學(xué)習(xí)， 好多都是由舊知識推理出來的． 我現(xiàn)在逐漸體

47、 會到溫故知新的深刻道理了． [ 生] 通過一些例子，我們更熟悉了積的乘方的運算性質(zhì)， 而且還能在不同情況下對冪的運算性質(zhì)活用． Ⅴ．課后作業(yè) 1 ．課本 P175 習(xí)題 15．2─1．（5）、（6），2， 3 題． 2 ．總結(jié)我們學(xué)過的三個冪的運算法則，反思作業(yè)中的錯誤． 3 ．預(yù)習(xí)“ 15．2．4 整式的乘法”一節(jié)． 板書設(shè)計 《三級訓(xùn)練》 15．3．1 平方差公式 教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識點 1 ．經(jīng)歷探索平方差公式的過程． 2 ．會推導(dǎo)平方差公式，并能運用公式進行簡單的運算．（二）能力訓(xùn)練要求

48、 1 ．在探索平方差公式的過程中，培養(yǎng)符號感和推理能力． 2 ．培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括的能力． （三）情感與價值觀要求 在計算過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用符號表示，從而體會數(shù)學(xué)的簡捷美． 教學(xué)重點 平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用． 教學(xué)難點 理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，靈活應(yīng)用平方差公式． 教學(xué)方法 探究與講練相結(jié)合． 通過計算發(fā)現(xiàn)規(guī)律， 進一步探索公式的結(jié)構(gòu)特征， 在老師的講解和學(xué)生的練習(xí)中讓學(xué)生體會公式實質(zhì)，學(xué)會靈活運用． 教具準(zhǔn)備 投影片． 教學(xué)過程 Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設(shè)情境 [ 師] 你能用簡便方法計算下列

49、各題嗎？ （1）20011999 （2）9981002 [ 生甲 ] 直接乘比較復(fù)雜， 我考慮把它化成整百， 整千的運算， 從而使運算簡單， 2001 可以寫成 2000+1， 1999 可以寫成 2000-1 ，那么 20011999 可以看成是多項式的積，根據(jù)多項式乘法法則可以很快算出． [ 生乙 ] 那么 9981002=（ 1000-2 ）（ 1000+2）了． [ 師] 很好，請同學(xué)們自己動手運算一下． [ 生] （1）2001 1999=（2000+1）（2000-1 ） 2 =2000 -1 2000+1 2000+1（ -1 ） =4

50、000000-1 =3999999 ． （2）998 1002=（1000-2 ）（1000+2） 2 =1000 +10002+（-2） 1000+（-2） 2 =1000000-4 =1999996 ． 2 2 [師 ]20011999=2000 -1 2 2 9981002=1000 -2 它們積的結(jié)果都是兩個數(shù)的平方差， 那么其他滿足這個特點的運算是否也有這個規(guī)律呢？我們繼續(xù)進行探索． Ⅱ．導(dǎo)入新課 [ 師] 出示投影片 計算下列多項式的積． （1）（x+1）（x-1 ） （2）（m+2）（m-2）

51、 （3）（2x+1）（2x-1 ） （4）（x+5y）（x-5y ） 觀察上述算式， 你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？運算出結(jié)果后， 你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？再舉兩例驗證你的發(fā)現(xiàn)． （學(xué)生討論，教師引導(dǎo)） [ 生甲 ] 上面四個算式中每個因式都是兩項． [ 生乙 ] 我認(rèn)為更重要的是它們都是兩個數(shù)的和與差的積．例如算式（ 1）是 x 與 1 這兩個數(shù)的和與差的積；算式（ 2）是 m與 2 這兩個數(shù)的和與差的積；算 式（ 3）是 2x 與 1?這兩個數(shù)的和與差的積；算式（ 4）是 x 與 5y 這兩個數(shù)的和 與差的積． [ 師] 這個發(fā)現(xiàn)很重

52、要，請同學(xué)們動筆算一下，相信你還會有更大的發(fā)現(xiàn)． [ 生] 解：（1）（x+1）（x-1 ） =x2+x-x-1=x 2-12 （2）（m+2）（m-2） =m2+2m-2m-2 2=m2-22 （3）（2x+1）（2x-1 ） 2 2 2 =（ 2x） +2x-2x-1=（ 2x） -1 2 2 =x +5y x-x 5y-（5y） [ 生 ] 從剛才的運算我發(fā)現(xiàn)： 也就是說，兩個數(shù)的和與差的積等于這兩個數(shù)的平方差，這和我

53、們前面的簡便運算得出的是同一結(jié)果． [ 師] 能不能再舉例驗證你的發(fā)現(xiàn)？ [ 生] 能．例如： 5149=（ 50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12． 即（ 50+1）（50-1）=502-12． （ -a+b ）（-a-b ） =（ -a ）（ -a ）+（-a ）（-b ）+b（-a ） +b（-b ）=（ -a）2-b2=a2-b2 這同樣可以驗證：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積， 等于這兩個數(shù)的平方差． [ 師] 為什么會是這樣的呢？

54、[ 生] 因為利用多項式與多項式的乘法法則展開后， 中間兩項是同類項， 且系數(shù)互為相反數(shù)，所以和為零，只剩下這兩個數(shù)的平方差了． [ 師] 很好．請用一般形式表示上述規(guī)律，并對此規(guī)律進行證明． [ 生] 這個規(guī)律用符號表示為： （a+b）（a-b）=a2-b2．其中 a、b 表示任意數(shù)，也可以表示任意的單項式、多項式． 利用多項式與多項式的乘法法則可以做如下證明： （a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2． [ 師] 同學(xué)們真不簡單．老師為你們感到驕傲． 能不能給我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律 （a+b） （ a-b ）=a2-b 2 起一個名字呢？

55、 [ 生] 最終結(jié)果是兩個數(shù)的平方差，叫它“平方差公式”怎樣樣？ [ 師] 有道理．這就是我們探究得到的 “平方差公式”，?請同學(xué)們分別用文字語言和符號語言敘述這個公式． （出示投影） 兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差． 即：（a+b）（a-b）=a2-b2 平方差公式是多項式乘法運算中一個重要的公式，用它直接運算會很簡便，但必須注意符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能應(yīng)用． 在應(yīng)用中體會公式特征， 感受平方差公式給運算帶來的方便， 從而靈活運用平方差公式進行計算 （出示投影片） 例 1：運用平方差公式計算：（1）（3x+2）（3x-2 ）

56、 （2）（b+2a）（2a-b ）（3）（-x+2y ）（-x-2y ） 例 2：計算： （1）102 98 （2）（y+2）（y-2 ）- （y-1 ）（y+5） [ 師生共析 ] 運用平方差公式時要注意公式的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)會對號入座． 在例 1 的（ 1）中可以把 3x 看作 a， 2 看作 b． 2 2 即：（3x+2）（3x-2） =（ 3x） -2 （a+b）（a-b）=a2-b2 同樣的方法可以完成（ 2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些簡單的轉(zhuǎn)化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（ 2）應(yīng)先作如下轉(zhuǎn)化： （b+2a）（

57、2a-b ） =（ 2a+b）（2a-b ）． 如果轉(zhuǎn)化后還不能符合公式特征，則應(yīng)考慮多項式的乘法法則． （作如上分析后，學(xué)生可以自己完成兩個例題． ?也可以通過學(xué)生的板演進行評析達到鞏固和深化的目的） [例 1]解：（1）（3x+2）（ 3x-2）=（3x）2-22=9x2-4． 2 2 2 2 （2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（ 2a-b）=（2a） -b =4a -b ． [ 例 2] 解：（1）10298=（100+2）（ 100-2 ） 2 2 （2）（y+2）（y-2 ）- （y-1 ）（y+5） 2 2 2 =y

58、 -2 -（y +5y-y-5 ） =y2 -4-y2-4y+5 =-4y+1 ． [ 師] 我們能不能總結(jié)一下利用平方差公式應(yīng)注意什么？ [ 生] 我覺得應(yīng)注意以下幾點： （1）公式中的字母 a、b 可以表示數(shù)，也可以是表示數(shù)的單項式、多項式即 整式． （2）要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運用平方差公式． （3）有些多項式與多項式的乘法表面上不能應(yīng)用公式， ?但通過加法或乘法 的交換律、結(jié)合律適當(dāng)變形實質(zhì)上能應(yīng)用公式． [ 生] 運算的最后結(jié)果應(yīng)該是最簡才行． [ 師] 同學(xué)們總結(jié)得很好． 下面請同學(xué)們完成一

59、組闖關(guān)練習(xí)． 優(yōu)勝組選派一名 代表做總結(jié)發(fā)言． Ⅲ．隨堂練習(xí) 出示投影片： 計算： （1）（a+b）（-b+a） （2）（-a-b ）（a-b ） （3）（3a+2b）（3a-2b ） 5 2 5 2 （4）（a -b ）（a +b ） （5）（a+2b+2c）（a+2b-2c ） 2 2 （6）（a-b）（a+b）（a +b ） Ⅳ．課時小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)我們掌握了如下知識． （1）平方差公式 兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差． ?這個公式叫做乘法的平方差公式．即（ a+b）（a-b）=a2-b2．

60、 （2）公式的結(jié)構(gòu)特征 ①公式的字母 a、b 可以表示數(shù)，也可以表示單項式、多項式；②要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運用平方差公式；③有些式子表面上不能應(yīng)用公式，但通過適當(dāng)變形實質(zhì)上能應(yīng)用公 式． ?如：（x+y-z ）（x-y-z ） =[ （x-z ） +y][ （ x-z ）-y]= （ x-z ）2-y2 ． Ⅴ．課后作業(yè) 1 ．課本 P179 練習(xí) 1、 2． 2 ．課本 P182～ P183 習(xí)題 15．3─1 題．《三級訓(xùn)練》 板書設(shè)計 15．3．1 平方差公式 一、 1．用簡便方法計算 （1）200119

61、99 （2）9981002 2 ．計算： （1）（ x+1）（ x-1 ） （2）（ m+2）（ m-2） （3）（ 2x+1）（2x-1 ） （4）（ x+5y）（x-5y ） 二、探究、歸納規(guī)律──平方差公式； 文字語言：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差符號語言：（a+b）（a-b ）=a2-b 2 三、應(yīng)用、升華： 1 ．例 1： 例 2： 2 ．闖關(guān)練習(xí)四、小結(jié) 15． 3． 2． 1 完全平方公式（一） 教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識點 1 ．完全平方公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用． 2 ．完全平方公式的

62、幾何解釋． （二）能力訓(xùn)練要求 1 ．經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進一步發(fā)展符號感和推理能力． 2 ．重視學(xué)生對算理的理解，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的思維條理性和表達能力． （三）情感與價值觀要求 在靈活應(yīng)用公式的過程中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣， 培養(yǎng)創(chuàng)新能力和探索精 神． 教學(xué)重點 完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點、幾何解釋，靈活應(yīng)用． 教學(xué)難點 理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征并能靈活應(yīng)用公式進行計算． 教學(xué)方法 自主探索法 有了平方差公式的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，學(xué)生可以在教師引導(dǎo)下自主探索完全平方公式，最后達到靈活、準(zhǔn)確應(yīng)用公式的目的．

63、 教具準(zhǔn)備 投影片． 教學(xué)過程 Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設(shè)情境 [ 師] 請同學(xué)們探究下列問題： （出示投影片） 一位老人非常喜歡孩子． 每當(dāng)有孩子到他家做客時， 老人都要拿出糖果招待他們．來一個孩子，老人就給這個孩子一塊糖，來兩個孩子，老人就給每個孩子 兩塊塘，, （1）第一天有 a 個男孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？（2）第二天有 b 個女孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？（3）第三天這（ a+b）個孩子一起去看老人，老人一共給了這些孩子多少塊 糖？ （4）這些孩子第三天得到的糖果數(shù)與前兩天他們

64、得到的糖果總數(shù)哪個多？ 多多少？為什么？ 2 [ 生] （1）第一天老人一共給了這些孩子 a 糖． 2 （2）第二天老人一共給了這些孩子 b 糖． （3）第三天老人一共給了這些孩子（ a+b）2 糖． （4）孩子們第三天得到的糖塊總數(shù)與前兩天他們得到的糖塊總數(shù)比較，應(yīng)用減法．即： （a+b） 2（a2+b2） 我們上一節(jié)學(xué)了平方差公式即（ a+b）（a-b ）=a2 -b 2，現(xiàn)在遇到了兩個數(shù)的和的平方，這倒是個新問題． [ 師] 老師很欣賞你的觀察力，這正是我們這節(jié)課要研究的問題． Ⅱ．導(dǎo)入新課 [師 ]能不能將（ a+b）2 轉(zhuǎn)化為我們學(xué)

65、過的知識去解決呢？ [生 ]可以．我們知道 a2=aa，所以（ a+b）2=（a+b）（a+b），這樣就轉(zhuǎn)化成多項式與多項式的乘積了． 2 [ 師] 像研究平方差公式一樣， 我們探究一下（a+b） 的運算結(jié)果有什么規(guī)律． 計算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ （1）（p+1）2=（ p+1）（ p+1）=_______； （2）（m+2） 2=_______； （3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________； （4）（m-2）2=________； （5）（a+b）2=________； （6）（a-b） 2=________． [生甲 ]（ 1）（p+1） 2=（p+1）（p+1） =p2+p+p+1=p2+2p+1 （2）（m+2） 2=（m+2）（m+2）=m2+2m+m 2+22=m2+4m+4 （3）（ p-1）2=（p-1）（ p-1）=p2+p（ -1）+（-1）p+（ -1）（-1）=p2-2p+1（4）（ m-2）2=（ m-2）（ m-2）=m2+m（-2）+（-2）m+（ -2）（-2）=m2-4m+4