《整式的乘除與因式分解》教案(第一部分)
第十五章 整式的乘除與因式分解
15.1.1 整式
教學(xué)目標(biāo)
1 .單項(xiàng)式、單項(xiàng)式的定義.
2 .多項(xiàng)式、多項(xiàng)式的次數(shù).
3、理解整式概念.
教學(xué)重點(diǎn)
單項(xiàng)式及多項(xiàng)式的有關(guān)概念.
教學(xué)難點(diǎn)
單項(xiàng)式及多項(xiàng)式的有關(guān)概念.
教學(xué)過程
Ⅰ.提出問題,創(chuàng)設(shè)情境
在七年級(jí),我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用字母可以表示數(shù),思考下列問題
1 .要表示△ ABC的周長(zhǎng)需要什么條件?要表示它的面積呢?
2 .小王用七小時(shí)行駛了 Skm的路程,請(qǐng)問他的平均速度是多少?結(jié)論:
1、要表示△ ABC 的周長(zhǎng),需要知道它的各邊邊長(zhǎng).要表示△ ABC?的面積需
要知道一條邊長(zhǎng)和這條邊上的高.如果設(shè) BC=a,AC=b,AB=c.AB邊上的高為 h,?那么△ ABC的周長(zhǎng)可以表示為 a+b+c;△ ABC的面積可以表示為 1 ch.
2
2 .小王的平均速度是 S . t
問題:這些式子有什么特征呢?
( 1)有數(shù)字、有表示數(shù)字的字母.
(2)數(shù)字與字母、字母與字母之間還有運(yùn)算符號(hào)連接.
歸納:用基本的運(yùn)算符號(hào)(運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方與開方)把數(shù)和
表示數(shù)的字母連接起來的式子叫做代數(shù)式.
判斷上面得到的三個(gè)式子: a+b+c、 1 ch、 S 是不是代數(shù)式?(是)
2 t
代數(shù)式可以簡(jiǎn)明地表示數(shù)量和數(shù)量的關(guān)系.今天我們就來學(xué)習(xí)和代數(shù)式有關(guān)
的整式.
Ⅱ.明確和鞏固整式有關(guān)概念
(出示投影)
思考:
先填空,再看看列出的代數(shù)式有什么特點(diǎn).
( 1)邊長(zhǎng)為 x 的正方形的周長(zhǎng)為 _________;
( 2)一輛汽車的速度是 v 千米 / 時(shí),行駛 t 小時(shí)所走過的路程為 _______
千米.
(3)如圖,正方體的表面積為 _______,正方體的體積為 ________;
( 4)設(shè) n 表示一個(gè)數(shù),則它的相反數(shù)是 ________.結(jié)論:( 1)正方形的周長(zhǎng): 4x.
(2)汽車走過的路程: vt .
(3)正方體有六個(gè)面,每個(gè)面都是正方形,這六個(gè)正方形全等, ?所以它的
表面積為 6a2 ;正方體的體積為長(zhǎng)寬高,即 a3 .
(4)n 的相反數(shù)是- n.
分析這四個(gè)數(shù)的特征.
它們符合代數(shù)式的定義.這五個(gè)式子都是數(shù)與字母或字母與字母的積,而
a+b+c、 1 ch、 S 中還有和與商的運(yùn)算符號(hào).還可以發(fā)現(xiàn)這五個(gè)代數(shù)式中字母指
2 t
數(shù)各不相同,字母的個(gè)數(shù)也不盡相同.
請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本 P160~P161單項(xiàng)式有關(guān)概念.
根據(jù)這些定義判斷 4x、vt 、 6a2、a3、-n 、a+b+c、 1 ch、 S 這些代數(shù)式中,哪
2 t
些是單項(xiàng)式?是單項(xiàng)式的,寫出它的系數(shù)和次數(shù).
結(jié)論 :4x 、vt 、6a2、a3、-n 、 1 ch 是單項(xiàng)式.它們的系數(shù)分別是
4、1、6、1、
-1 、 1
2
.它們的次數(shù)分別是
1、2、2、3、1、2.所以 4x、 -n 都是一次單項(xiàng)式;
2
2 1 3
vt 、6a 、? ch 都是二次單項(xiàng)式; a 是三次單項(xiàng)式.
問題 :vt 中 v 和 t 的指數(shù)都是 1,它不是一次單項(xiàng)式嗎?
結(jié)論 : 不是.根據(jù)定義,單項(xiàng)式 vt 中含有兩個(gè)字母,所以它的次數(shù)應(yīng)該是這
兩個(gè)字母的指數(shù)的和,而不是單個(gè)字母的指數(shù),所以 vt 是二次單項(xiàng)式而不是一
次單項(xiàng)式.
生活中不僅僅有單項(xiàng)式, 像 a+b+c,它不是單項(xiàng)式, 和單項(xiàng)式有什么聯(lián)系呢?
寫出下列式子(出示投影)
結(jié)論 : ( 1) t-5 .(2)3x+5y+2z.
(3)三角尺的面積應(yīng)是直角三角形的面積減去圓的面積,即
1 ab-3.12 r2.
2
(4)建筑面積等于四個(gè)矩形的面積之和.而右邊兩個(gè)已知矩形面積分別為
32、43,所以它們的面積和是 18.于是得這所住宅的建筑面積是 x2+2x+18.
我們可以觀察下列代數(shù)式:
a+b+c 、t-5 、3x+5y+2z、 1 ab-3.12 r2 、x2+2x+18.發(fā)現(xiàn)它們都是由單項(xiàng)式的
2
和組成的式子.是多個(gè)單項(xiàng)式的和,能不能叫多項(xiàng)式?
這樣推理合情合理.請(qǐng)看 投影,熟悉下列概念.
幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式.
多項(xiàng)式中每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng),其中不含字母的項(xiàng)叫常數(shù)項(xiàng).
多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)即這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù).
根據(jù)定義,我們不難得出 a+b+c、 t-5 、3x+5y+2z、 1 ab-3.12 r2、 x2+2x+18
2
都是多項(xiàng)式.請(qǐng)分別指出它們的項(xiàng)和次數(shù).
a+b+c 的項(xiàng)分別是 a、 b、 c.
t-5 的項(xiàng)分別是 t 、 -5 ,其中 -5 是常數(shù)項(xiàng).
3x+5y+2z 的項(xiàng)分別是 3x、5y、2z.
1 ab-3.12 r2 的項(xiàng)分別是 1 ab、-3.12r 2 .
2 2
x2+2x+18 的項(xiàng)分別是 x2、2x、 18.
找多項(xiàng)式的次數(shù)應(yīng)抓住兩條, 一是找準(zhǔn)每個(gè)項(xiàng)的次數(shù), ?二是取每個(gè)項(xiàng)次數(shù)的最大值.根據(jù)這兩條很容易得到這五個(gè)多項(xiàng)式中前三個(gè)是一次多項(xiàng)式, 后兩個(gè)是二次多項(xiàng)式.
這節(jié)課,通過探究我們得到單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的有關(guān)概念, 它們可以反映變化的世界.同時(shí),我們也體會(huì)到符號(hào)的魅力所在. 我們把單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整
式.
Ⅲ.隨堂練習(xí)
1 .課本 P162 練習(xí)Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
通過探究,我們了解了整式的概念. 理解并掌握單項(xiàng)式、 多項(xiàng)式的有關(guān)概念
是本節(jié)的重點(diǎn), 特別是它們的次數(shù). 在現(xiàn)實(shí)情景中進(jìn)一步理解了用字母表示數(shù)的意義, ?發(fā)展符號(hào)感.
Ⅴ.課后作業(yè)
1 .課本 P165~ P166 習(xí)題 15.1─1、5、8、9 題.
2 .預(yù)習(xí)“整式的加減” .
課后作業(yè):《課堂感悟與探究》
15. 1. 2 整式的加減( 1)
教學(xué)目的:
1、解字母表示數(shù)量關(guān)系的過程,發(fā)展符號(hào)感。
2、會(huì)進(jìn)行整式加減的運(yùn)算,并能說明其中的算理,發(fā)展有條理的思考及語(yǔ)言
表達(dá)能力。
教學(xué)重點(diǎn):
會(huì)進(jìn)行整式加減的運(yùn)算,并能說明其中的算理。
教學(xué)難點(diǎn):
正確地去括號(hào)、合并同類項(xiàng),及符號(hào)的正確處理。
教學(xué)過程:
一、課前練習(xí):
1、填空:整式包括
和
2、單項(xiàng)式
2x 2 y 的系數(shù)是
、次數(shù)是
3
3、多項(xiàng)式
3m 3
2m 5 m 2 是
次
項(xiàng)式,其中二次項(xiàng)
系數(shù)是
一次項(xiàng)是
,常數(shù)項(xiàng)是
4、下列各式,是同類項(xiàng)的一組是(
)
(A)
2
2
1
2
( )
2
與
2
2
與
x
y 與
( )
abc
2
3
yx
B 2m n
2m n
C
ab
3
5、去括號(hào)后合并同類項(xiàng): (3a b) (5a 2b) (7a 4b)
二、探索練習(xí):
1 、如果用 a 、b 分別表示一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字,
那么這個(gè)兩位數(shù)
可以表示為
交換這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字后得到的
兩位數(shù)為
這兩個(gè)兩位數(shù)的和為
2、如果用 a 、b、c 分別表示一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字、十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字,那
么這個(gè)三位數(shù)可以表示為 交換這個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字和個(gè)位
數(shù)字后得到的三位數(shù)為
這兩個(gè)三位數(shù)的差為
●議一議:在上面的兩個(gè)問題中,分別涉及到了整式的什么運(yùn)算?
說說你是如何運(yùn)算的?
▲整式的加減運(yùn)算實(shí)質(zhì)就是
運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式或單項(xiàng)式。
三、鞏固練習(xí):
1、填空:(1) 2a b 與 a b 的差是
( 2)、單項(xiàng)式 5x 2 y 、 2x 2 y 、 2xy2 、 4 x2 y 的和為
( 3)如圖所示,下面為由棋子所組成的三角形,一個(gè)三角形需六個(gè)棋子,三個(gè)三角形需
(
)個(gè)棋子, n 個(gè)三角形需
個(gè)棋子
2、計(jì)算:
( 1) (3 2
7
k
) (4 2
3
1)
k
k
k
( 2) (3x2
2 xy
1 x) (2x 2
xy x)
2
( 3) 3a 5a (a 2) 4 1
3、(1)求 x 2
7x
2 與 2 x2
4 x 1的和
(2) 求 4k 2
7k 與
k 2
3k
1的差
4、先化簡(jiǎn),再求值: 5x2
3x 2(2 x 3) 4x2
其中 x
1
2
四、提高練習(xí):
1、若 A 是五次多項(xiàng)式, B 是三次多項(xiàng)式,則 A+B一定是
(A) 五次整式 ( B)八次多項(xiàng)式
(C)三次多項(xiàng)式 ( D)次數(shù)不能確定
2、足球比賽中,如果勝一場(chǎng)記 3a 分,平一場(chǎng)記 a 分,負(fù)一場(chǎng)
記 0 分,那么某隊(duì)在比賽勝 5 場(chǎng),平 3 場(chǎng),負(fù) 2 場(chǎng),共積多少分?
3、一個(gè)兩位數(shù)與把它的數(shù)字對(duì)調(diào)所成的數(shù)的和,一定能被 14 整除,請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論。
4、如果關(guān)于字母 x 的二次多項(xiàng)式 3x 2 mx nx 2 x 3 的值與 x 的取值無關(guān),
試求 m、n 的值。
五、小結(jié):整式的加減運(yùn)算實(shí)質(zhì)就是去括號(hào)和合并同類項(xiàng)。
六、作業(yè):第 8 頁(yè)習(xí)題 1、 2、 3
15. 1. 2 整式的加減( 2)
教學(xué)目標(biāo) :1. 會(huì)進(jìn)行整式加減的運(yùn)算, 并能說明其中的算理, 發(fā)展有條理的思考及其語(yǔ)言表達(dá)能力。
2. 通過探索規(guī)律的問題,進(jìn)一步體會(huì)符號(hào)表示的意義,發(fā)展符號(hào)感,發(fā)展推理能力。
教學(xué)重點(diǎn) :整式加減的運(yùn)算。
教學(xué)難點(diǎn) :探索規(guī)律的猜想。
教學(xué)方法 :嘗試練習(xí)法,討論法,歸納法。
教學(xué)用具: 投影儀
教學(xué)過程 :
I 探索練習(xí):
擺第 1 個(gè)“小屋子”需要 5 枚棋子,擺第 2 個(gè)需要 枚棋子,擺第 3 個(gè)
需要 枚棋子。按照這樣的方式繼續(xù)擺下去。
(1)擺第 10 個(gè)這樣的“小屋子”需要 枚棋子
(2)擺第 n 個(gè)這樣的“小屋子”需要多少枚棋子?你是如何得到的?你能用
不同的方法解決這個(gè)問題嗎?小組討論。
二、例題講解:
三、鞏固練習(xí):
1、計(jì)算:
( 1)(14x3-2x2 )+ 2(x3-x2) (2)( 3a2+2a-6)- 3(a2- 1)
( 3) x-( 1-2x+x2) +(- 1-x2) (4)(8xy-3x2)- 5xy- 2( 3xy-2x2 )
2、已知: A=x3- x2 -1,B=x2- 2,計(jì)算:(1)B-A ( 2) A- 3B
3、列方程解應(yīng)用題:三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于 180,如果三角形中第一個(gè)角等于第二個(gè)角的 3 倍,而第三個(gè)角比第二個(gè)角大 15,那么
(1)第一個(gè)角是多少度?
(2)其他兩個(gè)角各是多少度?
四、提高練習(xí):
1、已知 A=a2+ b2- c2 ,B=- 4a2 +2b2+3c2 ,并且 A+ B+ C= 0,問 C 是什么樣的多項(xiàng)式?
2、設(shè) A=2x2 -3xy+y2-x+2y,B=4x2 -6xy+2y2-3x- y,若│ x-2a│+
(y+3)2= 0,且 B-2A=a,求 A 的值。
3、已知有理數(shù) a、b、c 在數(shù)軸上( 0 為數(shù)軸原點(diǎn))的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖:
試化簡(jiǎn):│ a│-│ a+ b│+│ c -a│+│ b+c│
c
a
b
0
小 結(jié):要善于在圖形變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,能熟練的對(duì)整式加減進(jìn)行運(yùn)算。
作 業(yè):課本 P14 習(xí)題 1.3 : 1(2)、( 3)、(6), 2。
《課堂感悟與探究》
15.2. 1 同底數(shù)冪的乘法
教學(xué)目標(biāo)
(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)
1 .理解同底數(shù)冪的乘法法則.
2 .運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則解決一些實(shí)際問題.(二)能力訓(xùn)練要求
1 .在進(jìn)一步體會(huì)冪的意義時(shí),發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力.
2 .通過“同底數(shù)冪的乘法法則”的推導(dǎo)和應(yīng)用, ?使學(xué)生初步理解特殊──一般──特殊的認(rèn)知規(guī)律.
(三)情感與價(jià)值觀要求
體味科學(xué)的思想方法,接受數(shù)學(xué)文化的熏陶,激發(fā)學(xué)生探索創(chuàng)新的精神.教學(xué)重點(diǎn)
正確理解同底數(shù)冪的乘法法則.教學(xué)難點(diǎn)
正確理解和應(yīng)用同底數(shù)冪的乘法法則.教學(xué)方法
透思探究教學(xué)法: 利用學(xué)生已有的知識(shí)、 經(jīng)驗(yàn)對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行自主探究、 發(fā)現(xiàn),在對(duì)新知識(shí)的再創(chuàng)造和再發(fā)現(xiàn)的活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新精神與創(chuàng)新能
力.
教具準(zhǔn)備
投影片(或多媒體課件) .教學(xué)過程Ⅰ.提出問題,創(chuàng)設(shè)情境
復(fù)習(xí) an 的意義:
an 表示 n 個(gè) a 相乘,我們把這種運(yùn)算叫做乘方.乘方的結(jié)果叫冪; a 叫做底數(shù), ?n 是指數(shù).
(出示投影片)
提出問題:
(出示投影片)
問題:一種電子計(jì)算機(jī)每秒可進(jìn)行 1012 次運(yùn)算,它工作 103 秒可進(jìn)行多少次運(yùn)算?
[ 師] 能否用我們學(xué)過的知識(shí)來解決這個(gè)問題呢?
[ 生] 運(yùn)算次數(shù) =運(yùn)算速度工作時(shí)間
所以計(jì)算機(jī)工作 103 秒可進(jìn)行的運(yùn)算次數(shù)為: 1012103.
[
師]1012 3
如何計(jì)算呢?
10
[
生] 根據(jù)乘方的意義可知
1012103=(10
10) (101010) =(10
1010) =1015.
12個(gè)10
15個(gè) 10
[師 ]很好,通過觀察大家可以發(fā)現(xiàn) 1012、103 這兩個(gè)因數(shù)是同底數(shù)冪的形式,所以我們把像 1012103 的運(yùn)算叫做同底數(shù)冪的乘法. 根據(jù)實(shí)際需要, 我們有必要研究和學(xué)習(xí)這樣的運(yùn)算──同底數(shù)冪的乘法.
Ⅱ.導(dǎo)入新課
1 .做一做出示投影片:
計(jì)算下列各式:
5 2
(1)2 2
(2)a3a2
(3)5m5n(m、n 都是正整數(shù))
你發(fā)現(xiàn)了什么?注意觀察計(jì)算前后底數(shù)和指數(shù)的關(guān)系, 并能用自己的語(yǔ)
言描述.
[ 師] 根據(jù)乘方的意義,同學(xué)們可以獨(dú)立解決上述問題.
5 2
[生 ](1)2 2 =(22222)(22)
=27=25+2.
因?yàn)?25 表示 5 個(gè) 2 相乘,;22 表示 2 個(gè) 2 相乘,根據(jù)乘方的意義,同樣道理
可得
a3 a2=(aaa)( aa)=a5=a3+2.
5m5n= (5 5 5) (5 5 5) =5m+n .
m個(gè)5 n 個(gè)5
(讓學(xué)生自主探索,在啟發(fā)性設(shè)問的引導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并用自己的語(yǔ)言敘述).
[ 生] 我們可以發(fā)現(xiàn)下列規(guī)律:
(一)這三個(gè)式子都是底數(shù)相同的冪相乘.
(二)相乘結(jié)果的底數(shù)與原來底數(shù)相同,指數(shù)是原來兩個(gè)冪的指數(shù)的和.
2 .議一議出示投影片
aman 等于什么( m、n 都是正整數(shù))?為什么?
[師生共析 ]
aman 表示同底數(shù)冪的乘法.根據(jù)冪的意義可得:
aman= (a a
a) (a a
a) = a a
a =am+n
m個(gè)a
n個(gè)a
(m+n) 個(gè)a
m n m+n
于是有 a a =a (m、n 都是正整數(shù)),用語(yǔ)言來描述此法則即為:
[ 師] 請(qǐng)同學(xué)們用自己的語(yǔ)言解釋“同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加”的道理,深刻理解同底數(shù)冪的乘法法則.
[ 生]am 表示 n 個(gè) a 相乘,an 表示 n 個(gè) a 相乘,aman 表示 m 個(gè) a 相乘再乘以 n 個(gè) a 相乘,也就是說有( m+n)個(gè) a 相乘,根據(jù)乘方的意義可得 aman=am+n.
[ 師] 也就是說同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)要降一級(jí)運(yùn)算,變?yōu)橄嗉樱?
3 .例題講解出示投影片
[ 例 1] 計(jì)算:
( ) 6
(1)x25
x
2 a a
4 3
m
3m+1
(3)22 2
( 4) x
x
[例 2]計(jì)算 amanap 后,能找到什么規(guī)律?
[ 師] 我們先來看例 1,是不是可以用同底數(shù)冪的乘法法則呢?
[ 生 1] (1)、(2)、(4)可以直接用“同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加”的法則.
[ 生 2] ( 3)也可以,先算 2 個(gè)同底數(shù)冪相乘,將其結(jié)果再與第三個(gè)冪相乘,
仍是同底數(shù)冪相乘,再用法則運(yùn)算就可以了.
[ 師] 同學(xué)們分析得很好.請(qǐng)自己做一遍.每組出一名同學(xué)板演,
?看誰算得
又準(zhǔn)又快.
生板演:
(1)解: x2x5=x2+5=x7.
6
1
6
1+6
7
(2)解: aa=a
a =a
=a .
(3)解: 22423=21+423=2523=25+3=28.
(4)解: xmx3m+1=xm+(3m+1)=x4m+1.
[師 ]接下來我們來看例
2.受( 3)的啟發(fā),能自己解決嗎? ?與同伴交流一
下解題方法.
解法一: amanap=(aman)ap
=am+nap=am+n+p;
m
n
p
m
n p)=amn+p m+n+p.
解法二: a
a
a =a (a
a
a =a
解法三: amanap= a a
a a a
a a aa
m個(gè)a
n 個(gè)a
p個(gè)a
=am+n+p.
評(píng)析:解法一與解法二都直接應(yīng)用了運(yùn)算法則,同時(shí)還用了乘法的結(jié)合律;
?解法三是直接應(yīng)用乘方的意義.三種解法得出了同一結(jié)果.我們需要這種開拓
思維的創(chuàng)新精神.
[ 生] 那我們就可以推斷,不管是多少個(gè)冪相乘,只要是同底數(shù)冪相乘,
?就
一定是底數(shù)不變,指數(shù)相加.
[ 師] 是的,能不能用符號(hào)表示出來呢?
[生 ]am1am2, amn=am1+m2+mn
[ 師] 太棒了.那么例 1 中的第( 3)題我們就可以直接應(yīng)用法則運(yùn)算了.
22423=21+4+3=28.
Ⅲ.隨堂練習(xí)
1.課本 P166 練習(xí)
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
[ 師] 這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算性質(zhì), ?請(qǐng)同學(xué)們談一下有何新的收獲和體會(huì)呢?
[ 生] 在探索同底數(shù)冪乘法的性質(zhì)時(shí), 進(jìn)一步體會(huì)了冪的意義. 了解了同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì).
[ 生] 同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算性質(zhì)是底數(shù)不變,指數(shù)相加.應(yīng)用這個(gè)性質(zhì)時(shí),
?我覺得應(yīng)注意兩點(diǎn):一是必須是同底數(shù)冪的乘法才能運(yùn)用這個(gè)性質(zhì);二是運(yùn)用
這個(gè)性質(zhì)計(jì)算時(shí)一定是底數(shù)不變,指數(shù)相加,即 aman=am+n (m、n 是正整數(shù)).
Ⅴ.課后作業(yè)
1 .課本 P175 習(xí)題 15.2─1.(1)、(2),2.(1)、8.《三級(jí)訓(xùn)練》
板書設(shè)計(jì)
15. 2.1 同底數(shù)冪的乘法
一、計(jì)算機(jī)運(yùn)算次數(shù): 1012
3
計(jì)算 1012103= (10
10
10
10) ( 101010)=10 1010 =10
12個(gè)10
15個(gè)10
二、算一算,找規(guī)律
1. 2522=( 22222)(22)
=(2
2
2) =27;
7個(gè)2
2. a3 a2=(aaa)( aa) =aaaaa=a5;
3. 5m5n= (5 5
5) (5
5
5) = 5
55=5m+n
m個(gè)5
n 個(gè)5
(m+n) 個(gè)5
三、同底數(shù)冪的乘法法則:
m n m+n
同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加.即 a a =a (m、 n 都是正整數(shù))
15.2.3 冪的乘方
教學(xué)目標(biāo) :1、經(jīng)歷探索冪的乘方與積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)的過程,進(jìn)一步體會(huì)冪的意義,發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力。
2、了解冪的乘方與積的乘方的運(yùn)算性質(zhì),并能解決一些實(shí)際問題。
教學(xué)重點(diǎn) :會(huì)進(jìn)行冪的乘方的運(yùn)算。
教學(xué)難點(diǎn) :冪的乘方法則的總結(jié)及運(yùn)用。
教學(xué)方法 :嘗試練習(xí)法,討論法,歸納法。
教學(xué)用具: 投影儀、常用的教學(xué)用具
活動(dòng)準(zhǔn)備 :
2 3
(2)x2x2 x+x4x
(3)(0.75a )3( 1 a)4
( 4) x3 xn-1 - xn-2 x4
4
教學(xué)過程:
通過練習(xí)的方式,先讓學(xué)生復(fù)習(xí)乘方的知識(shí),并緊接著利用乘方的知識(shí)探索新課的內(nèi)容。
一、探索練習(xí):
1、 6 4 表示 _________個(gè)___________相乘 .
(6 2 ) 4 表示 _________個(gè) ___________相乘 .
a3 表示 _________個(gè)___________相乘 .
(a 2) 3 表示 _________個(gè)___________相乘 .
在這個(gè)練習(xí)中,要引導(dǎo)學(xué)生觀察,推測(cè) (6 2) 4 與(a 2 ) 3 的底數(shù)、指數(shù)。并用乘方的概念解答問題。
2 、(62)4 =________ ________________________
=__________( 根據(jù) an am=anm)
=__________
( 33)5=___________________________ _______
=__________(
根據(jù)
an am=anm)
=__________
( a2)3=_______ ________________
=__________(
根據(jù)
an am=anm)
=__________
( am)2=_________________
=__________(
根據(jù)
an am=anm)
=__________
(am) n=________________, ______________
=__________( 根據(jù) an am=anm)
=__________
即 ( am)n= ______________( 其中 m、n 都是正整數(shù) )
通過上面的探索活動(dòng) , 發(fā)現(xiàn)了什么 ?
冪的乘方 ,底數(shù) __________,指數(shù) __________.
學(xué)生在探索練習(xí)的指引下 ,自主的完成有關(guān)的練習(xí) ,并在練習(xí)中發(fā)現(xiàn)冪的乘方的法則 ,從猜測(cè)到探索到理解法則的實(shí)際意義從而從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)冪的乘
方的來歷。教師應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)冪的乘方的性質(zhì)特點(diǎn) (如底數(shù)、指數(shù)發(fā)生了怎樣的變化) 并運(yùn)用自己的語(yǔ)言進(jìn)行描述。 然后再讓學(xué)生回顧這一性質(zhì)的得來過程,進(jìn)一步體會(huì)冪的意義。
二、鞏固練習(xí):
1、1、計(jì)算下列各題:
( 1)(103)3
( )
(
2 ) 3 4
( 3) [(- 6)
3 4
2 [
]
]
3
( 6)-( as)3
( 4)(x2) 5
(5)-( a2)7
( 7)(x3) 4x2
(8)2(x2)n-( xn) 2
( 9) [(x 2) 3] 7
學(xué)生在做練習(xí)時(shí), 不要鼓勵(lì)他們直接套用公式, 而應(yīng)讓學(xué)生說明每一步的運(yùn)算
理由,進(jìn)一步體會(huì)乘方的意義與冪的意義。
2、判斷題,錯(cuò)誤的予以改正。
( 1) a5+a5=2a10
(
)
( 2)(s3) 3=x6
(- )6
-
6
(
)
( 3)(- 3) 2(- 3)4
(
)
( 4) x3
3 (
=
3 =
3
(
)
+y
x+y
)3
=
( 5) [(m- n) 3]4-[(m-n)2] 6=0
(
)
學(xué)生通過練習(xí)鞏固剛剛學(xué)習(xí)的新知識(shí)。在此基礎(chǔ)上加深知識(shí)的應(yīng)用 .
三、提高練習(xí):
1、1、計(jì)算 5(P3) 4(- P2) 3+2[(- P) 2] 4(- P5) 2
[ (- 1)m]2n+1m-1 +02002―(― 1)1990
2、若( x2)n=x8,則 m=_____________.
3、、若 [(x3)m]2=x12,則 m=_____________。
m 2m 9m
4、若 x x =2,求 x 的值。
6、已知 am=2,an=3,求 a2m+3n 的值 .
小 結(jié):會(huì)進(jìn)行冪的乘方的運(yùn)算。
作 業(yè):課本 P16 習(xí)題 1.7: 1、2、3。
《三級(jí)訓(xùn)練》
15. 2.3 積的乘方
教學(xué)目標(biāo)
(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)
1 .經(jīng)歷探索積的乘方的運(yùn)算法則的過程,進(jìn)一步體會(huì)冪的意義.
2 .理解積的乘方運(yùn)算法則,能解決一些實(shí)際問題.
(二)能力訓(xùn)練要求
1 .在探究積的乘方的運(yùn)算法則的過程中,發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能
力.
2 .學(xué)習(xí)積的乘方的運(yùn)算法則,提高解決問題的能力.
(三)情感與價(jià)值觀要求
在發(fā)展推理能力和有條理的語(yǔ)言、 符號(hào)表達(dá)能力的同時(shí), 進(jìn)一步體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心,感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.
教學(xué)重點(diǎn)
積的乘方運(yùn)算法則及其應(yīng)用.
教學(xué)難點(diǎn)
冪的運(yùn)算法則的靈活運(yùn)用.
教學(xué)方法
自學(xué)─引導(dǎo)相結(jié)合的方法.
同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方成一個(gè)體系,研究方法類同,有前兩節(jié)課做基礎(chǔ), 本節(jié)課可放手讓學(xué)生自學(xué), 教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié), 從而讓學(xué)生真正理解冪的運(yùn)算方法,能解決一些實(shí)際問題.
教具準(zhǔn)備
投影片.
教學(xué)過程
Ⅰ.提出問題,創(chuàng)設(shè)情境
[ 師 ] 還是就上節(jié)課開課提出的問題:若已知一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為 1.1
103cm, ?你能計(jì)算出它的體積是多少嗎?
3 3 3
[ 生] 它的體積應(yīng)是 V=(1.1 10 ) cm .
[ 生] 不是,底數(shù)是 1.1 和 103 的乘積,雖然 103 是冪,但總體來看, ?我認(rèn)為應(yīng)是積的乘方才有道理.
[ 師] 你分析得很有道理,積的乘方如何運(yùn)算呢?能不能找到一個(gè)運(yùn)算法則?
?有前兩節(jié)課的探究經(jīng)驗(yàn),老師想請(qǐng)同學(xué)們自己探索,發(fā)現(xiàn)其中的奧秒.
Ⅱ.導(dǎo)入新課
老師列出自學(xué)提綱,引導(dǎo)學(xué)生自主探究、討論、嘗試、歸納.
1 .填空,看看運(yùn)算過程用到哪些運(yùn)算律, 從運(yùn)算結(jié)果看能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?
(1)( ab)2=( ab)(ab) =( aa)(bb)=a( )b( )
3
(
)
( )
(2)( ab)
=______=_______=a
b
n
(
) (
)
(n 是正整數(shù))
(3)( ab)
=______=______=a
b
2 .把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用文字語(yǔ)言表述,再用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá).
3 .解決前面提到的正方體體積計(jì)算問題.
4 .積的乘方的運(yùn)算法則能否進(jìn)行逆運(yùn)算呢?請(qǐng)驗(yàn)證你的想法.
5 .完成課本 P170 例 3.
出示投影片
學(xué)生探究的經(jīng)過:
1.(1)( ab)2 =(ab) (ab)= ( aa) (bb)= a2b2 ,其中第①步是用乘方的意義;第②步是用乘法的交換律和結(jié)合律;第③步是用同底數(shù)冪的乘法法則. ?同樣的方法可以算出( 2)、(3)題.
(2)(ab)3 =(ab)(ab) (ab)=(aaa)( bbb)=a3b3;
(3)(ab)n = (ab) (ab)
= (a a
a) (b b
=anbn
n個(gè)ab
n個(gè)a
n個(gè)b
2 .積的乘方的結(jié)果是把積的每一個(gè)因式分別乘方,再把所得的冪相乘,也就是說積的乘方等于冪的乘積.
用符號(hào)語(yǔ)言敘述便是:
(ab) n=anbn(n 是正整數(shù))
3.正方體的體積 V=(1.1 103)3 它不是最簡(jiǎn)形式,根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可作如下運(yùn)算:
V= (1.1 103)3=1.14 (103)3=1.14 1033=1.14 109=1.331 109( cm3)
通過上述探究,我們可以發(fā)現(xiàn)積的乘方的運(yùn)算法則:
n n n
(ab) =a b (n 為正整數(shù))
積的乘方,等于把積的每一個(gè)因式分別乘方,再把所得的冪相乘.
4 .積的乘方法則可以進(jìn)行逆運(yùn)算.即: an bn=( ab)n(n 為正整數(shù))
分析這個(gè)等式:左邊是冪的乘積,而且冪指數(shù)相同,右邊是積的乘方,且指
數(shù)與左邊指數(shù)相等,那么可以總結(jié)為:
an bn= ( a a
同指數(shù)冪相乘,底數(shù)相乘,指數(shù)不變.
看來這也是降級(jí)運(yùn)算了,即將冪的乘積轉(zhuǎn)化為底數(shù)的乘法運(yùn)算.
n n n
a) (b b b) ──冪的意義
n個(gè)a n個(gè)b
= (a b) (a b)( a b) ──乘法交換律、結(jié)合律
n個(gè)(a b)
=( ab)n ──乘方的意義
5 .[ 例 3] 計(jì)算
(1)(2a)3 =23a3=8a3.
(2)(-5b )3=( -5 )3b3=-125b3.
2 2 2 2 2 2 22 2 4 2 4
(3)(xy ) =x (y ) =x y =x y =x y .
(學(xué)生活動(dòng)時(shí),老師要深入到學(xué)生中,發(fā)現(xiàn)問題,及時(shí)啟發(fā)引導(dǎo), ?使各個(gè)層面的學(xué)生都能學(xué)有所獲)
[ 師] 通過自己的努力,發(fā)現(xiàn)了積的乘方的運(yùn)算法則,并能做簡(jiǎn)單的應(yīng)用. ?
可以作如下歸納總結(jié):
1 .積的乘方法則:積的乘方等于每一個(gè)因式乘方的積.即( ab)n=anbn(n為正整數(shù)).
2 .三個(gè)或三個(gè)以上的因式的積的乘方也具有這一性質(zhì).如( abc)n=anbncn
( n 為正整數(shù)).
3 .積的乘方法則也可以逆用.即 anbn=(ab) n,anbncn=( abc) n,(n 為正整數(shù)).
Ⅲ.隨堂練習(xí)
1 .課本 P170練習(xí)
(由學(xué)生板演或口答)
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
[ 師] 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你有什么新的體會(huì)和收獲?
[ 生] 通過自己的努力,探索總結(jié)出了積的乘方法則, 還能理解它的真正含義.
[ 生] 其實(shí)數(shù)學(xué)新知識(shí)的學(xué)習(xí), 好多都是由舊知識(shí)推理出來的. 我現(xiàn)在逐漸體
會(huì)到溫故知新的深刻道理了.
[ 生] 通過一些例子,我們更熟悉了積的乘方的運(yùn)算性質(zhì), 而且還能在不同情況下對(duì)冪的運(yùn)算性質(zhì)活用.
Ⅴ.課后作業(yè)
1 .課本 P175 習(xí)題 15.2─1.(5)、(6),2, 3 題.
2 .總結(jié)我們學(xué)過的三個(gè)冪的運(yùn)算法則,反思作業(yè)中的錯(cuò)誤.
3 .預(yù)習(xí)“ 15.2.4 整式的乘法”一節(jié).
板書設(shè)計(jì)
《三級(jí)訓(xùn)練》
15.3.1 平方差公式
教學(xué)目標(biāo)
(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)
1 .經(jīng)歷探索平方差公式的過程.
2 .會(huì)推導(dǎo)平方差公式,并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算.(二)能力訓(xùn)練要求
1 .在探索平方差公式的過程中,培養(yǎng)符號(hào)感和推理能力.
2 .培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括的能力.
(三)情感與價(jià)值觀要求
在計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并能用符號(hào)表示,從而體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)捷美.
教學(xué)重點(diǎn)
平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.
教學(xué)難點(diǎn)
理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征,靈活應(yīng)用平方差公式.
教學(xué)方法
探究與講練相結(jié)合.
通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律, 進(jìn)一步探索公式的結(jié)構(gòu)特征, 在老師的講解和學(xué)生的練習(xí)中讓學(xué)生體會(huì)公式實(shí)質(zhì),學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.
教具準(zhǔn)備
投影片.
教學(xué)過程
Ⅰ.提出問題,創(chuàng)設(shè)情境
[ 師] 你能用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下列各題嗎?
(1)20011999 (2)9981002
[ 生甲 ] 直接乘比較復(fù)雜, 我考慮把它化成整百, 整千的運(yùn)算, 從而使運(yùn)算簡(jiǎn)單, 2001 可以寫成 2000+1, 1999 可以寫成 2000-1 ,那么 20011999 可以看成是多項(xiàng)式的積,根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則可以很快算出.
[ 生乙 ] 那么 9981002=( 1000-2 )( 1000+2)了.
[ 師] 很好,請(qǐng)同學(xué)們自己動(dòng)手運(yùn)算一下.
[ 生] (1)2001 1999=(2000+1)(2000-1 )
2
=2000 -1 2000+1 2000+1( -1 )
=4000000-1
=3999999 .
(2)998 1002=(1000-2 )(1000+2)
2
=1000 +10002+(-2) 1000+(-2) 2
=1000000-4
=1999996 .
2 2
[師 ]20011999=2000 -1
2 2
9981002=1000 -2
它們積的結(jié)果都是兩個(gè)數(shù)的平方差, 那么其他滿足這個(gè)特點(diǎn)的運(yùn)算是否也有這個(gè)規(guī)律呢?我們繼續(xù)進(jìn)行探索.
Ⅱ.導(dǎo)入新課
[ 師] 出示投影片
計(jì)算下列多項(xiàng)式的積.
(1)(x+1)(x-1 )
(2)(m+2)(m-2)
(3)(2x+1)(2x-1 )
(4)(x+5y)(x-5y )
觀察上述算式, 你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?運(yùn)算出結(jié)果后, 你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?再舉兩例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn).
(學(xué)生討論,教師引導(dǎo))
[
生甲 ] 上面四個(gè)算式中每個(gè)因式都是兩項(xiàng).
[
生乙 ] 我認(rèn)為更重要的是它們都是兩個(gè)數(shù)的和與差的積.例如算式(
1)是
x 與 1 這兩個(gè)數(shù)的和與差的積;算式(
2)是 m與 2 這兩個(gè)數(shù)的和與差的積;算
式( 3)是 2x 與 1?這兩個(gè)數(shù)的和與差的積;算式(
4)是 x 與 5y 這兩個(gè)數(shù)的和
與差的積.
[
師] 這個(gè)發(fā)現(xiàn)很重要,請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)筆算一下,相信你還會(huì)有更大的發(fā)現(xiàn).
[
生] 解:(1)(x+1)(x-1 )
=x2+x-x-1=x 2-12
(2)(m+2)(m-2)
=m2+2m-2m-2 2=m2-22
(3)(2x+1)(2x-1 )
2 2 2
=( 2x) +2x-2x-1=( 2x) -1
2 2
=x +5y x-x 5y-(5y)
[ 生 ] 從剛才的運(yùn)算我發(fā)現(xiàn):
也就是說,兩個(gè)數(shù)的和與差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差,這和我們前面的簡(jiǎn)便運(yùn)算得出的是同一結(jié)果.
[ 師] 能不能再舉例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)?
[ 生] 能.例如:
5149=( 50+1)(50-1)=502+50-50-1=502-12.
即( 50+1)(50-1)=502-12.
( -a+b )(-a-b ) =( -a )( -a )+(-a )(-b )+b(-a ) +b(-b )=( -a)2-b2=a2-b2
這同樣可以驗(yàn)證:兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積, 等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.
[ 師] 為什么會(huì)是這樣的呢?
[ 生] 因?yàn)槔枚囗?xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則展開后, 中間兩項(xiàng)是同類項(xiàng), 且系數(shù)互為相反數(shù),所以和為零,只剩下這兩個(gè)數(shù)的平方差了.
[ 師] 很好.請(qǐng)用一般形式表示上述規(guī)律,并對(duì)此規(guī)律進(jìn)行證明.
[ 生] 這個(gè)規(guī)律用符號(hào)表示為:
(a+b)(a-b)=a2-b2.其中 a、b 表示任意數(shù),也可以表示任意的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.
利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則可以做如下證明:
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
[ 師] 同學(xué)們真不簡(jiǎn)單.老師為你們感到驕傲. 能不能給我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律 (a+b)
( a-b )=a2-b 2 起一個(gè)名字呢?
[ 生] 最終結(jié)果是兩個(gè)數(shù)的平方差,叫它“平方差公式”怎樣樣?
[ 師] 有道理.這就是我們探究得到的 “平方差公式”,?請(qǐng)同學(xué)們分別用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言敘述這個(gè)公式.
(出示投影)
兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積,等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.
即:(a+b)(a-b)=a2-b2
平方差公式是多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中一個(gè)重要的公式,用它直接運(yùn)算會(huì)很簡(jiǎn)便,但必須注意符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能應(yīng)用.
在應(yīng)用中體會(huì)公式特征, 感受平方差公式給運(yùn)算帶來的方便, 從而靈活運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算
(出示投影片)
例 1:運(yùn)用平方差公式計(jì)算:(1)(3x+2)(3x-2 )
(2)(b+2a)(2a-b )(3)(-x+2y )(-x-2y )
例 2:計(jì)算:
(1)102 98
(2)(y+2)(y-2 )- (y-1 )(y+5)
[ 師生共析 ] 運(yùn)用平方差公式時(shí)要注意公式的結(jié)構(gòu)特征,學(xué)會(huì)對(duì)號(hào)入座.
在例 1 的( 1)中可以把 3x 看作 a, 2 看作 b.
2 2
即:(3x+2)(3x-2) =( 3x) -2
(a+b)(a-b)=a2-b2
同樣的方法可以完成( 2)、(3).如果形式上不符合公式特征,可以做一些簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化工作,使它符合平方差公式的特征.比如( 2)應(yīng)先作如下轉(zhuǎn)化:
(b+2a)(2a-b ) =( 2a+b)(2a-b ).
如果轉(zhuǎn)化后還不能符合公式特征,則應(yīng)考慮多項(xiàng)式的乘法法則.
(作如上分析后,學(xué)生可以自己完成兩個(gè)例題. ?也可以通過學(xué)生的板演進(jìn)行評(píng)析達(dá)到鞏固和深化的目的)
[例 1]解:(1)(3x+2)( 3x-2)=(3x)2-22=9x2-4.
2 2 2 2
(2)(b+2a)(2a-b)=(2a+b)( 2a-b)=(2a) -b =4a -b .
[ 例 2] 解:(1)10298=(100+2)( 100-2 )
2 2
(2)(y+2)(y-2 )- (y-1 )(y+5)
2 2 2
=y -2 -(y +5y-y-5 )
=y2 -4-y2-4y+5
=-4y+1
.
[
師]
我們能不能總結(jié)一下利用平方差公式應(yīng)注意什么?
[
生]
我覺得應(yīng)注意以下幾點(diǎn):
(1)公式中的字母 a、b 可以表示數(shù),也可以是表示數(shù)的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式即
整式.
(2)要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運(yùn)用平方差公式.
(3)有些多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法表面上不能應(yīng)用公式,
?但通過加法或乘法
的交換律、結(jié)合律適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)上能應(yīng)用公式.
[
生]
運(yùn)算的最后結(jié)果應(yīng)該是最簡(jiǎn)才行.
[
師]
同學(xué)們總結(jié)得很好. 下面請(qǐng)同學(xué)們完成一組闖關(guān)練習(xí). 優(yōu)勝組選派一名
代表做總結(jié)發(fā)言.
Ⅲ.隨堂練習(xí)
出示投影片:
計(jì)算:
(1)(a+b)(-b+a)
(2)(-a-b )(a-b )
(3)(3a+2b)(3a-2b )
5 2 5 2
(4)(a -b )(a +b )
(5)(a+2b+2c)(a+2b-2c )
2 2
(6)(a-b)(a+b)(a +b )
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
通過本節(jié)學(xué)習(xí)我們掌握了如下知識(shí).
(1)平方差公式
兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差. ?這個(gè)公式叫做乘法的平方差公式.即( a+b)(a-b)=a2-b2.
(2)公式的結(jié)構(gòu)特征
①公式的字母 a、b 可以表示數(shù),也可以表示單項(xiàng)式、多項(xiàng)式;②要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運(yùn)用平方差公式;③有些式子表面上不能應(yīng)用公式,但通過適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)上能應(yīng)用公
式. ?如:(x+y-z )(x-y-z ) =[ (x-z ) +y][ ( x-z )-y]= ( x-z )2-y2 .
Ⅴ.課后作業(yè)
1 .課本 P179 練習(xí) 1、 2.
2 .課本 P182~ P183 習(xí)題 15.3─1 題.《三級(jí)訓(xùn)練》
板書設(shè)計(jì)
15.3.1 平方差公式
一、 1.用簡(jiǎn)便方法計(jì)算
(1)20011999 (2)9981002
2 .計(jì)算:
(1)( x+1)( x-1 )
(2)( m+2)( m-2)
(3)( 2x+1)(2x-1 )
(4)( x+5y)(x-5y )
二、探究、歸納規(guī)律──平方差公式;
文字語(yǔ)言:兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積,等于它們的平方差符號(hào)語(yǔ)言:(a+b)(a-b )=a2-b 2
三、應(yīng)用、升華:
1 .例 1: 例 2:
2 .闖關(guān)練習(xí)四、小結(jié)
15. 3. 2. 1 完全平方公式(一)
教學(xué)目標(biāo)
(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)
1 .完全平方公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用.
2 .完全平方公式的幾何解釋.
(二)能力訓(xùn)練要求
1 .經(jīng)歷探索完全平方公式的過程,進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)感和推理能力.
2 .重視學(xué)生對(duì)算理的理解,有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的思維條理性和表達(dá)能力.
(三)情感與價(jià)值觀要求
在靈活應(yīng)用公式的過程中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣, 培養(yǎng)創(chuàng)新能力和探索精
神.
教學(xué)重點(diǎn)
完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、幾何解釋,靈活應(yīng)用.
教學(xué)難點(diǎn)
理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征并能靈活應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算.
教學(xué)方法
自主探索法
有了平方差公式的學(xué)習(xí)基礎(chǔ),學(xué)生可以在教師引導(dǎo)下自主探索完全平方公式,最后達(dá)到靈活、準(zhǔn)確應(yīng)用公式的目的.
教具準(zhǔn)備
投影片.
教學(xué)過程
Ⅰ.提出問題,創(chuàng)設(shè)情境
[ 師] 請(qǐng)同學(xué)們探究下列問題:
(出示投影片)
一位老人非常喜歡孩子. 每當(dāng)有孩子到他家做客時(shí), 老人都要拿出糖果招待他們.來一個(gè)孩子,老人就給這個(gè)孩子一塊糖,來兩個(gè)孩子,老人就給每個(gè)孩子
兩塊塘,,
(1)第一天有 a 個(gè)男孩去了老人家,老人一共給了這些孩子多少塊糖?(2)第二天有 b 個(gè)女孩去了老人家,老人一共給了這些孩子多少塊糖?(3)第三天這( a+b)個(gè)孩子一起去看老人,老人一共給了這些孩子多少塊
糖?
(4)這些孩子第三天得到的糖果數(shù)與前兩天他們得到的糖果總數(shù)哪個(gè)多?
多多少?為什么?
2
[ 生] (1)第一天老人一共給了這些孩子 a 糖.
2
(2)第二天老人一共給了這些孩子 b 糖.
(3)第三天老人一共給了這些孩子( a+b)2 糖.
(4)孩子們第三天得到的糖塊總數(shù)與前兩天他們得到的糖塊總數(shù)比較,應(yīng)用減法.即:
(a+b) 2(a2+b2)
我們上一節(jié)學(xué)了平方差公式即( a+b)(a-b )=a2 -b 2,現(xiàn)在遇到了兩個(gè)數(shù)的和的平方,這倒是個(gè)新問題.
[ 師] 老師很欣賞你的觀察力,這正是我們這節(jié)課要研究的問題.
Ⅱ.導(dǎo)入新課
[師 ]能不能將( a+b)2 轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的知識(shí)去解決呢?
[生 ]可以.我們知道 a2=aa,所以( a+b)2=(a+b)(a+b),這樣就轉(zhuǎn)化成多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積了.
2
[ 師] 像研究平方差公式一樣, 我們探究一下(a+b) 的運(yùn)算結(jié)果有什么規(guī)律.
計(jì)算下列各式,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?
(1)(p+1)2=( p+1)( p+1)=_______;
(2)(m+2) 2=_______;
(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=________;
(4)(m-2)2=________;
(5)(a+b)2=________;
(6)(a-b) 2=________.
[生甲 ]( 1)(p+1) 2=(p+1)(p+1) =p2+p+p+1=p2+2p+1
(2)(m+2) 2=(m+2)(m+2)=m2+2m+m 2+22=m2+4m+4
(3)( p-1)2=(p-1)( p-1)=p2+p( -1)+(-1)p+( -1)(-1)=p2-2p+1(4)( m-2)2=( m-2)( m-2)=m2+m(-2)+(-2)m+( -2)(-2)=m2-4m+4