高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題四 立體幾何 專題強(qiáng)化練十 空間幾何體的三視圖、表面積及體積 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題強(qiáng)化練十 空間幾何體的三視圖、表面積及體積 一、選擇題 1．如圖，在正方形ABCD­A1B1C1D1中，P為BD1的中點(diǎn)，則△PAC在該正方體各個面上的正投影可能是(　　) A．①②　　　 B．①④　　　 C．②③　　　 D．②④ 解析：圖①是△PAC在底面上的投影，④是△PAC在前后側(cè)面上的投影．因此正投影可能是①④，選項(xiàng)B正確． 答案：B 2．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為(　　) A．60 B．30 C．20 D．10 解析：由三視圖知可把三棱錐放在一個長方體內(nèi)部，則三棱錐A1­BCD是三視圖所示三棱錐，VA1­BCD＝××3×5×4＝10. 答案：D 3．(2018·北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：在正方體中作出該幾何體的直觀圖，記為四棱錐P­ABCD，如圖，由圖可知在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為3. 答案：C 4．中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”．已知“塹堵”的正視圖和俯視圖如圖所示，則該“塹堵”的側(cè)視圖的面積為(　　) A．18 B．18 C．18 D. 解析：在俯視圖Rt△ABC中， 作AH⊥BC交于H. 由三視圖的意義，則BH＝6，HC＝3， 根據(jù)射影定理，AH2＝BH·HC，所以AH＝3. 易知該“塹堵”的側(cè)(左)視圖是矩形，長為6，寬為AH＝3， 故側(cè)視圖的面積S＝6×3＝18. 答案：C 5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是(　　) A．π B．2π C．3π D．8π 解析：由三視圖知，該幾何體是一個圓柱挖去一個同底的圓錐． 所以該幾何體的體積V＝3×π×12－·π×12×3＝2π. 答案：B 6．(2018·全國卷Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D­ABC體積的最大值為(　　) A．12 B．18 C．24 D．54 解析：設(shè)等邊△ABC的邊長為x， 則x2sin 60°＝9，得x＝6. 設(shè)△ABC外接圓的半徑為r，則2r＝，得r＝2. 所以球心到△ABC所在平面的距離d＝＝2， 則點(diǎn)D到平面ABC的最大距離d1＝d＋4＝6. 故V三棱錐D­ABC的最大值為·S△ABC×6＝×9×6＝18. 答案：B 二、填空題 7．(2018·浙江卷改編)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是________． 解析：由三視圖知，該幾何體是一個底面為直角梯形的直四棱柱， 所以其體積V＝×(1＋2)×2×2＝6. 答案：6 8．(2018·濟(jì)南市模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖的輪廓是底邊為2，高為1的等腰三角形，俯視圖的輪廓為菱形，左視圖是個半圓．則該幾何體的體積為________． 解析：由三視圖知，幾何體是由兩個大小相同的半圓錐的組合體． 其中r＝1，高h(yuǎn)＝. 故幾何體的體積V＝π×12×＝π. 答案：π 9．已知長方體ABCD­A1B1C1D1內(nèi)接于球O，底面ABCD是邊長為2的正方形，E為AA1的中點(diǎn)，OA⊥平面BDE，則球O的表面積為________． 解析：取BD的中點(diǎn)為O1，連接OO1，OE，O1E，O1A. 則四邊形OO1AE為矩形， 因?yàn)镺A⊥平面BDE，所以O(shè)A⊥EO1， 即四邊形OO1AE為正方形，則球O的半徑R＝OA＝2， 所以球O的表面積S＝4π×22＝16π. 答案：16π 10．(2018·鄭州調(diào)研)某幾何體的三視圖如圖所示，三個視圖中的曲線都是圓弧，則該幾何體的體積為________． 解析：由三視圖可知，該幾何體是由半個圓柱與個球組成的組合體，其體積為×π×12×3＋××13＝. 答案： 11．(2018·煙臺質(zhì)檢)已知三棱錐P­ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長為的正三角形，PA，PB，PC兩兩垂直，則球O的表面積是________． 解析：設(shè)球O的半徑為R， 且2R＝. 因?yàn)椤鰽BC是邊長為2的正三角形，PA、PB、PC兩兩垂直． 所以PA＝PB＝PC＝＝1，則2R＝， 所以球的表面積S球＝4πR2＝3π. 答案：3π 三、解答題 12．(2018·佛山質(zhì)檢)如圖，四棱錐P­ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA＝PB，AD∥BC，AB＝AC，AD＝BC＝1，PD＝3，∠BAD＝120°，M為PC的中點(diǎn)． (1)證明：DM∥平面PAB； (2)求四面體M­ABD的體積． (1)證明：取PB中點(diǎn)N，連接MN、AN. 因?yàn)镸為PC的中點(diǎn)，所以MN∥BC且MN＝BC， 又AD∥BC，且AD＝BC，得MN綊AD， 所以ADMN為平行四邊形，所以DM∥AN. 又AN?平面PAB，DM?平面PAB，所以DM∥平面PAB. (2)解：取AB中點(diǎn)O，連接PO，PO⊥AB. 又因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，則PO⊥平面ABCD， 取BC中點(diǎn)H，連結(jié)AH， 因?yàn)锳B＝AC，所以AH⊥BC，又因?yàn)锳D∥BC，∠BAD＝120°，所以∠ABC＝60°， Rt△ABH中，BH＝BC＝1，AB＝2，所以AO＝1，又AD＝1， △AOD中，由余弦定理知，OD＝， Rt△POD中，PO＝＝， 所以VM­ABD＝·S△ABD·PO＝.