（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月 必考題型過(guò)關(guān)練 第17練 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 理

第17練　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 題型一　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象 例1　下面四個(gè)圖象中，有一個(gè)是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象，則f(－1)＝________. 破題切入點(diǎn)　先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，確定導(dǎo)函數(shù)圖象，從而求出a的值．然后代入－1求得函數(shù)值． 答案　或－ 解析　∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1， ∴f′(x)的圖象開(kāi)口向上，則②④排除． 若圖象不過(guò)原點(diǎn)，則f′(x)的圖象為①， 此時(shí)a＝0，f(－1)＝； 若圖象過(guò)原點(diǎn)，則f′(x)的圖象為③， 此時(shí)a2－1＝0， 又對(duì)稱軸x＝－a>0，∴a＝－1， ∴f(－1)＝－. 題型二　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根 例2　設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－ax2－ax，g(x)＝2x2＋4x＋c. (1)試判斷函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)； (2)若a＝－1，當(dāng)x∈[－3,4]時(shí)，函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，求c的取值范圍． 破題切入點(diǎn)　(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)找出極值點(diǎn)、對(duì)a討論看圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)． (2)結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的圖象求解． 解　(1)f(x)＝x3－ax2－ax＝x(x2－ax－a)， 令f(x)＝0，得x＝0或x2－ax－a＝0.(*) 顯然方程(*)的根的判別式Δ＝(－a)2－4××(－a) ＝a2＋a＝a(a＋)． 當(dāng)a<－或a>0時(shí)，Δ>0，方程(*)有兩個(gè)非零實(shí)根， 此時(shí)函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)a＝－時(shí)，Δ＝0，方程(*)有兩個(gè)相等的非零實(shí)根， 此時(shí)函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)a＝0時(shí)，Δ＝0，方程(*)有兩個(gè)相等的零實(shí)根， 此時(shí)函數(shù)f(x)有1個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)－<a<0時(shí)，Δ<0，方程(*)沒(méi)有實(shí)根， 此時(shí)函數(shù)f(x)有1個(gè)零點(diǎn)． 綜上所述：當(dāng)a<－或a>0時(shí)，函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)a＝－時(shí)，函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)－<a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)只有1個(gè)零點(diǎn)． (2)設(shè)f(x)＝g(x)，則x3－ax2－ax＝2x2＋4x＋c， 因?yàn)閍＝－1，所以c＝x3－x2－3x. 設(shè)F(x)＝x3－x2－3x，x∈[－3,4]， 則F′(x)＝x2－2x－3，令F′(x)＝0， 解得x1＝－1，x2＝3. 當(dāng)x變化時(shí)，F(xiàn)′(x)和F(x)的變化情況如下表： x －3 (－3，－1) －1 (－1，3) 3 (3，4) 4 F′(x) ＋ ＋ 0 － 0 ＋ ＋ F(x) －9   －9  － 由此可知F(x)在[－3，－1]，[3,4]上是增函數(shù)， 在[－1,3]上是減函數(shù)． 當(dāng)x＝－1時(shí)，F(xiàn)(x)取得極大值F(－1)＝； 當(dāng)x＝3時(shí)，F(xiàn)(x)取得極小值F(3)＝－9， 而F(－3)＝－9，F(xiàn)(4)＝－. 如果函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)， 則函數(shù)F(x)與y＝c的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)， 所以－<c<或c＝－9. 題型三　導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 例3　某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為立方米，且l≥2r.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c(c>3)千元．設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元． (1)寫(xiě)出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域； (2)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r. 破題切入點(diǎn)　考查圓柱及球的表面積與體積求法，函數(shù)關(guān)系式的建立及實(shí)際問(wèn)題中定義域的求解，通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的最值等問(wèn)題． 解　(1)設(shè)容器的容積為V， 由題意知V＝πr2l＋πr3，又V＝， 故l＝＝－r＝(－r)． 由于l≥2r，因此0<r≤2. 所以建造費(fèi)用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×(－r)×3＋4πr2c， 因此y＝4π(c－2)r2＋，0<r≤2. (2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－ ＝(r3－)，0<r≤2. 由于c>3，所以c－2>0. 當(dāng)r3－＝0時(shí)，r＝ . 令 ＝m，則m>0， 所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)． ①當(dāng)0<m<2，即c>時(shí)， 當(dāng)r＝m時(shí)，y′＝0；當(dāng)r∈(0，m)時(shí)，y′<0； 當(dāng)r∈(m,2)時(shí)，y′>0， 所以r＝m是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)． ②當(dāng)m≥2，即3<c≤時(shí)， 當(dāng)r∈(0,2)時(shí)，y′<0，函數(shù)單調(diào)遞減， 所以r＝2是函數(shù)y的最小值點(diǎn)． 綜上所述，當(dāng)3<c≤時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r＝2； 當(dāng)c>時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r＝ . 總結(jié)提高　(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象或方程的根、零點(diǎn)等問(wèn)題，一般都是先求導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)性與極值，然后再畫(huà)出函數(shù)的大致圖象． (2)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題要注意：①函數(shù)的定義域；②極值和最值的區(qū)別；③最后還原到實(shí)際問(wèn)題中作答． 1．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，現(xiàn)給出如下結(jié)論： ①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0； ④f(0)f(3)<0. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是________． 答案?、冖? 解析　f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c， f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x2－4x＋3) ＝3(x－1)(x－3)， 函數(shù)f(x)和導(dǎo)函數(shù)f′(x)的大致圖象如圖所示： 由圖得f(1)＝1－6＋9－abc＝4－abc>0， f(3)＝27－54＋27－abc＝－abc<0， 且f(0)＝－abc＝f(3)<0， 所以f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0. 2.若函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象可能為_(kāi)_______． 答案?、? 解析　根據(jù)f′(x)的符號(hào)，f(x)圖象應(yīng)該是先下降后上升，最后下降，排除①④；從適合f′(x)＝0的點(diǎn)可以排除②. 3．已知a≤＋ln x對(duì)任意x∈[，2]恒成立，則a的最大值為_(kāi)_______． 答案　0 解析　設(shè)f(x)＝＋ln x，則f′(x)＝＋＝.當(dāng)x∈[，1)時(shí)，f′(x)<0，故函數(shù)f(x)在[，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1,2]時(shí)，f′(x)>0，故函數(shù)f(x)在(1,2]上單調(diào)遞增，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，即a的最大值為0. 4．函數(shù)f(x)的定義域是R，f(0)＝2，對(duì)任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，則不等式ex·f(x)>ex＋1的解集為_(kāi)_______． 答案　(0，＋∞) 解析　構(gòu)造函數(shù)g(x)＝ex·f(x)－ex， 因?yàn)間′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex ＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex ＝0， 所以g(x)＝ex·f(x)－ex為R上的增函數(shù)． 又因?yàn)間(0)＝e0·f(0)－e0＝1， 所以原不等式轉(zhuǎn)化為g(x)>g(0)，解得x>0. 5．關(guān)于x的方程x3－3x2－a＝0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 答案　(－4,0) 解析　由題意知使函數(shù)f(x)＝x3－3x2－a的極大值大于0且極小值小于0即可， 又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)， 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2. 當(dāng)x<0或x>2時(shí)，f′(x)>0； 當(dāng)0<x<2時(shí)，f′(x)<0. 所以當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得極大值， 即f(0)＝－a， 當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得極小值，即f(2)＝－4－a. 所以解得－4<a<0. 6．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－1,5]，部分對(duì)應(yīng)值如下表，f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖，下列關(guān)于函數(shù)f(x)的四個(gè)命題： x －1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 ①函數(shù)y＝f(x)是周期函數(shù)； ②函數(shù)f(x)在[0,2]上是減函數(shù)； ③如果當(dāng)x∈[－1，t]時(shí)，f(x)的最大值是2，那么t的最大值為4； ④當(dāng)1<a<2時(shí)，函數(shù)y＝f(x)－a有4個(gè)零點(diǎn)． 其中真命題的個(gè)數(shù)是________． 答案　1 解析　首先排除①，不能確定周期性；f(x)在[0,2]上時(shí)，f′(x)<0，故②正確；當(dāng)x∈[－1，t]時(shí)，f(x)的最大值是2，結(jié)合原函數(shù)的單調(diào)性知0≤t≤5，所以排除③；不能確定在x＝2時(shí)函數(shù)值和a的大小，故不能確定幾個(gè)零點(diǎn)，故④錯(cuò)誤． 7．已知函數(shù)f(x)＝ex－2x＋a有零點(diǎn)，則a的取值范圍是________． 答案　(－∞，2ln 2－2] 解析　函數(shù)f(x)＝ex－2x＋a有零點(diǎn)，即方程ex－2x＋a＝0有實(shí)根，即函數(shù)g(x)＝2x－ex，y＝a有交點(diǎn)，而g′(x)＝2－ex，易知函數(shù)g(x)＝2x－ex在(－∞，ln 2)上遞增，在(ln 2，＋∞)上遞減，因而g(x)＝2x－ex的值域?yàn)?－∞，2ln 2－2]，所以要使函數(shù)g(x)＝2x－ex，y＝a有交點(diǎn)，只需a≤2ln 2－2即可． 8．某名牌電動(dòng)自行車的耗電量y與速度x之間有如下關(guān)系：y＝x3－x2－40x(x>0)，為使耗電量最小，則速度應(yīng)定為_(kāi)_______． 答案　40 解析　∵y′＝x2－39x－40，令y′＝0. 即x2－39x－40＝0，解得x＝40或x＝－1(舍)． 當(dāng)x>40時(shí)，y′>0，當(dāng)0<x<40時(shí)，y′<0， 所以當(dāng)x＝40時(shí)，y最小． 9．把一個(gè)周長(zhǎng)為12 cm的長(zhǎng)方形圍成一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，該圓柱的底面周長(zhǎng)與高的比為_(kāi)_______． 答案　2∶1 解析　設(shè)圓柱高為x，底面半徑為r，則r＝，圓柱體積V＝π2x＝(x3－12x2＋36x)(0<x<6)， V′＝(x－2)(x－6)． 當(dāng)x＝2時(shí)，V最大．此時(shí)底面周長(zhǎng)為6－x＝4,4∶2＝2∶1. 10．(2013·重慶)某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率)． (1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域； (2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大． 解　(1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為100·2πrh＝200πrh元，底面的總成本為160πr2元． 所以蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr2)元． 又根據(jù)題意得200πrh＋160πr2＝12 000π， 所以h＝(300－4r2)， 從而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)． 因?yàn)閞>0，又由h>0可得r<5， 故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)?0,5)． (2)因?yàn)閂(r)＝(300r－4r3)， 故V′(r)＝(300－12r2)， 令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因?yàn)閞2＝－5不在定義域內(nèi)，舍去)． 當(dāng)r∈(0,5)時(shí)，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)； 當(dāng)r∈(5,5)時(shí)，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上為減函數(shù)． 由此可知，V(r)在r＝5處取得最大值，此時(shí)h＝8. 即當(dāng)r＝5，h＝8時(shí)，該蓄水池的體積最大． 11．(2013·江蘇)已知函數(shù)f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)． (1)證明：f(x)是R上的偶函數(shù)； (2)若關(guān)于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (3)已知正數(shù)a滿足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)<a(－x＋3x0)成立．試比較ea－1與ae－1的大小，并證明你的結(jié)論． (1)證明　因?yàn)閷?duì)任意x∈R，都有f(－x)＝e－x＋e－(－x) ＝e－x＋ex＝f(x)， 所以f(x)是R上的偶函數(shù)． (2)解　由條件知m(ex＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立． 令t＝ex(x>0)，則t>1， 所以m≤－＝－對(duì)任意t>1成立． 因?yàn)閠－1＋＋1≥2＋1＝3， 所以－≥－， 當(dāng)且僅當(dāng)t＝2，即x＝ln 2時(shí)等號(hào)成立． 因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是. (3)解　令函數(shù)g(x)＝ex＋－a(－x3＋3x)， 則g′(x)＝ex－＋3a(x2－1)． 當(dāng)x≥1時(shí)，ex－>0，x2－1≥0， 又a>0，故g′(x)>0. 所以g(x)是[1，＋∞)上的單調(diào)增函數(shù)， 因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是g(1)＝e＋e－1－2a. 由于存在x0∈[1，＋∞)， 使ex0＋e－x0－a(－x＋3x0)<0成立， 當(dāng)且僅當(dāng)最小值g(1)<0. 故e＋e－1－2a<0，即a>. 令函數(shù)h(x)＝x－(e－1)ln x－1， 則h′(x)＝1－. 令h′(x)＝0，得x＝e－1. 當(dāng)x∈(0，e－1)時(shí)，h′(x)<0， 故h(x)是(0，e－1)上的單調(diào)減函數(shù)； 當(dāng)x∈(e－1，＋∞)時(shí)，h′(x)>0， 故h(x)是(e－1，＋∞)上的單調(diào)增函數(shù)， 所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)． 注意到h(1)＝h(e)＝0， 所以當(dāng)x∈(1，e－1)?(0，e－1)時(shí)， h(e－1)≤h(x)<h(1)＝0； 當(dāng)x∈(e－1，e)?(e－1，＋∞)時(shí)，h(x)<h(e)＝0. 所以h(x)<0對(duì)任意的x∈(1，e)成立． ①當(dāng)a∈?(1，e)時(shí)， h(a)<0，即a－1>(e－1)ln a， 從而ea－1<ae－1； ②當(dāng)a＝e時(shí)，ea－1＝ae－1； ③當(dāng)a∈(e，＋∞)?(e－1，＋∞)時(shí)， h(a)>h(e)＝0，即a－1>(e－1)ln a， 故ea－1>ae－1. 綜上所述，當(dāng)a∈時(shí)，ea－1<ae－1； 當(dāng)a＝e時(shí)，ea－1＝ae－1； 當(dāng)a∈(e，＋∞)時(shí)，ea－1>ae－1. 12．(2013·陜西)已知函數(shù)f(x)＝ex，x∈R. (1)求f(x)的反函數(shù)的圖象在點(diǎn)(1,0)處的切線方程； (2)證明：曲線y＝f(x)與曲線y＝x2＋x＋1有唯一公共點(diǎn)； (3)設(shè)a<b，比較f與的大小，并說(shuō)明理由． (1)解　f(x)的反函數(shù)為g(x)＝ln x，設(shè)所求切線的斜率為k， ∵g′(x)＝，∴k＝g′(1)＝1. 于是在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為y＝x－1. (2)證明　方法一　曲線y＝ex與y＝x2＋x＋1公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于函數(shù)φ(x)＝ex－x2－x－1零點(diǎn)的個(gè)數(shù)． ∵φ(0)＝1－1＝0，∴φ(x)存在零點(diǎn)x＝0. 又φ′(x)＝ex－x－1，令h(x)＝φ′(x)＝ex－x－1， 則h′(x)＝ex－1， 當(dāng)x<0時(shí)，h′(x)<0，∴φ′(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減； 當(dāng)x>0時(shí)，h′(x)>0，∴φ′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． ∴φ′(x)在x＝0處有唯一的極小值φ′(0)＝0， 即φ′(x)在R上的最小值為φ′(0)＝0. ∴φ′(x)≥0(僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立)， ∴φ(x)在R上是單調(diào)遞增的， ∴φ(x)在R上有唯一的零點(diǎn)， 故曲線y＝f(x)與y＝x2＋x＋1有唯一的公共點(diǎn)． 方法二　∵ex>0，x2＋x＋1>0， ∴曲線y＝ex與y＝x2＋x＋1公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于曲線y＝與y＝1公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)， 設(shè)φ(x)＝，則φ(0)＝1，即x＝0時(shí)，兩曲線有公共點(diǎn)． 又φ′(x)＝＝≤0(僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立)， ∴φ(x)在R上單調(diào)遞減， ∴φ(x)與y＝1有唯一的公共點(diǎn)， 故曲線y＝f(x)與y＝x2＋x＋1有唯一的公共點(diǎn)． (3)解?。璮＝－e ＝＝[e－e－(b－a)]． 設(shè)函數(shù)u(x)＝ex－－2x(x≥0)， 則u′(x)＝ex＋－2≥2－2＝0， ∴u′(x)≥0(僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立)， ∴u(x)單調(diào)遞增． 當(dāng)x>0時(shí)，u(x)>u(0)＝0. 令x＝，則e－e－(b－a)>0， ∴>f.