大學(xué)物理g電磁感應(yīng)與麥克斯韋方程組

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1、第 七 章 電 磁 感 應(yīng) 與 麥 克 斯 韋 方 程 組 第 七 章 電 磁 感 應(yīng) 與 麥 克 斯 韋 方 程 組Electromagnetic Induction and Maxwells Equationsm 變 化 回 路 中 產(chǎn) 生 Ii電 磁 感 應(yīng)典 型 情 形 ： 回 路 不 變 , 變 (感 生 ) BBL 不 變 , 回 路 變 (動(dòng) 生 )B 法 拉 第 定 律 動(dòng) 生 電 動(dòng) 勢 感 生 電 動(dòng) 勢 互 感 與 自 感 磁 場 的 能 量 麥 克 斯 韋 方 程 組主 要 內(nèi) 容 ：第 七 章 電 磁 感 應(yīng) 與 麥 克 斯 韋 方 程 組Electromagneti

2、c Induction and Maxwells Equations 表 示 法 ab 方 向 ： () (+)(U低 U高 ) 物 理 意 義 ： qA )()( 7.1 法 拉 第 定 律 Faradays Law 電 動(dòng) 勢 Electromotive force ab + ba ( )大 小 ： 開 路 電 壓ab=UbUa 電 源 內(nèi) 部 存 在 非 靜 電 場( )( ) ( ) ( ) dA F l 非 非 靜 電 場 場 強(qiáng)( ) ( ) dE l 非 場 的 觀 點(diǎn) ( )( ) dq E l 非一 般 ： L L dE l 非 dd mi t 計(jì) 算 ： 設(shè) 定 回 路 L

3、 的 方 向 (此 即 i 的 正 方 向 )右 手 螺 旋 法 線 方 向 n 法 拉 第 定 律 m法 拉 第 定 律 i ( 0, 則 實(shí) 際 方 向 與 所L, iBn設(shè) 方 向 一 致 ； 0, 則 相 反 ) N匝 線 圈 ： dd mi t 楞 次 定 律 Lenzs Law 感 應(yīng) 電 流 的 方 向 , 總 是 使 它 產(chǎn) 生 的 磁 場 抵抗 引 起 這 個(gè) 感 應(yīng) 電 流 的 磁 通 的 變 化 。Note: 磁 鏈 (magnetic linkage)mm N其 中 特 點(diǎn) ： 磁 場 不 變 ， 導(dǎo) 體 運(yùn) 動(dòng) 。ab運(yùn) 動(dòng) , 其 中 電 子 受洛 侖 茲 力 ：F

4、 e B v 洛 eE 非E B v 非 7.2 動(dòng) 生 電 動(dòng) 勢 Motional Electromotive Force Bvcd ab 動(dòng) 生 電 動(dòng) 勢 ：ab dabL E l 非 普 遍 計(jì) 算 式( ) dB l ba v 例 7-1解 ： 轉(zhuǎn) 軸 在 中 點(diǎn)兩 側(cè) 各 線 元 上 的 di 兩 兩 抵 消0i 導(dǎo) 體 棒 長 L, 角 速 度 。若 轉(zhuǎn) 軸 在 棒 的 中 點(diǎn) , 則整 個(gè) 棒 上 電 動(dòng) 勢 的 值 為； 若 轉(zhuǎn) 軸 在 棒 的端 點(diǎn) , 則 電 動(dòng) 勢 的 值 為。Br+drrdl 轉(zhuǎn) 軸 在 端 點(diǎn)于 是 di iL d ( ) di B l v 則 r

5、 r+dr 線 元 ：設(shè) 轉(zhuǎn) 軸 在 左 下 端 , L方 向 指向 右 上 端 。 dB r r 2 2BLBdr dB rv r0L Br+drrdl ab c B abc為 金 屬 框 ， bc邊長 為 L， 則 a、 c兩 點(diǎn)間 的 電 勢 差 UaUc=? Hint: 整 個(gè) 框 i = ab+bc+ca= 0bc=BL2/2 ca = BL2/2ab=0 =UaUcWhy? mi tdd 思 考 轉(zhuǎn) 軸 位 于 L/3處 ， 結(jié) 果 ？ 例 7-2 v I=40A, v =2m/s, 則 金屬 桿 AB中 的 感 應(yīng) 電 動(dòng)勢 i = , 電 勢較 高 端 為 端 。解 ： O X

6、xx+dx1m 1mI A Bld 設(shè) i 正 方 向 為 ABd ( ) di B l v則 對(duì) 于 xx+dx 線 元 ， 有 dB xv 0 d2I xx v 于 是 di i 20 1 d2I xx v 0 ln22I v50 ln2 1.1 102i I V v i =UBUA 0 A端 電 勢 較 高思 考 若 金 屬 桿 彎 曲 ? I 7.3 感 生 電 動(dòng) 勢 Induced Electromotive Force1.感 生 電 動(dòng) 勢 的 計(jì) 算特 點(diǎn) ： 回 路 不 變 ， 磁 場 變 化 dd mi t a aI b L,ixx+dx XO 如 圖 ,金 屬 框 與 長

7、 直載 流 導(dǎo) 線 共 面 ,設(shè) 導(dǎo)線 中 電 流 I=I0cost,求 金 屬 框 中 的 感 生 電動(dòng) 勢 i。例 7-3解 ： 設(shè) 定 回 路 的 正 方 向 如 圖 ， 此 即 i的 正 方 向任 意 時(shí) 刻 t的 磁 通 ： dm B S dB S 2 0 d2aa I b xx 2ln20 Ib 感 生 電 動(dòng) 勢 ： 0d ln2 dd 2 dmi b It t 0 0 ln2sin2bI t 思 考 若 金 屬 框 以 速 率 v右 移 , 在 t 時(shí) 刻 正 處于 圖 示 位 置 , 則 i =? 思 考 若 金 屬 框 以 速 率 v右 移 , 在 t 時(shí) 刻 正 處于 圖

8、 示 位 置 , 則 i =?a aI b L,iXOI b L,ix x+a XO v任 意 t 時(shí) 刻 aI b L,ixx +dx XO 任 意 t 時(shí) 刻2 0 d2a ti a t I b xx vv 2.感 生 電 場 Induced electric field (Maxwell首 次 提 出 )感 生 電 場 與 變 化 的 磁 場 相 聯(lián) 系 ： dd mi t di iL E l d dd S B St dS B St 來 自 某 種 非 靜 電 場 感 生 電 場F iE非感 生 電 動(dòng) 勢 中 ： F F 非 洛 d diL S BE l St 對(duì) 于 非 導(dǎo) 體 回

9、路 或 空 間 回 路 ,上 式都 成 立 .Notes: 感 生 電 場 線 是 閉 合 曲 線 ,感 生 電 場又 稱 渦 旋 (vortex)電 場 . 感 生 電 場 不 是 保 守 場 . 3.感 應(yīng) 電 流 的 應(yīng) 用 表 面 熱 處 理 ， 表 面 去 氣 冶 煉 難 熔 金 屬 (高 頻 感 應(yīng) 爐 ) 產(chǎn) 生 電 磁 阻 尼 (儀 表 ) B阻 尼4.電 子 感 應(yīng) 加 速 器 (See P.328 329) *1.互 感 現(xiàn) 象 互 感 現(xiàn) 象I12121I21212I1 I2(I2所 產(chǎn) 生 ) 12 21 (I1所 產(chǎn) 生 )2112 7.4 互 感 與 自 感 Mut

10、ual Induction and Self-Induction 2.自 感 現(xiàn) 象 載 流 線 圈 中 :自 感 現(xiàn) 象 自 感 系 數(shù) L表 征 線 圈 產(chǎn) 生 自 感 的 能 力定 義 ： IL m 穿 過 線 圈 的 磁 通線 圈 中 電 流I B I m iB SI單 位 ： H (Henry)， 1H=1Wb/A1mH=10-3H1H=10-6H L僅 依 賴 于 線 圈 的 幾 何 及 周 圍 磁 介質(zhì) 性 質(zhì) ； 無 鐵 磁 介 質(zhì) 時(shí) ,L與 I無 關(guān) . 對(duì) 于 一 個(gè) N匝 線 圈 ： IL m 線 圈 的 磁 鏈Notes: 例 7-4長 直 螺 線 管 的 自 感 系

11、 數(shù) (管 長 d, 截 面 積 S, 單 位 長 度 上 匝 數(shù) n)解 ： 設(shè) 通 電 流 I， 則 管 內(nèi) B=0nIm=nd0nIS 螺 管 體 積L=m/I=0n2V若 管 內(nèi) 充 滿 某 種 磁 介 質(zhì) , 則 L = 0rn2V。 細(xì) 螺 繞 環(huán) 的 自 感 系 數(shù) 表 達(dá) 式 同 此 。Note =0n2VI 自 感 電 動(dòng) 勢d dd dmi ILt t (i 與 I兩 者 正 方 向 一 致 ) 上 式 僅 適 用 于 無 鐵 磁 介 質(zhì) (L不 隨 I變 化 )的 情 形 . L的 另 一 定 義d d iL I t Notes: I, iB 7.5 磁 場 的 能 量

12、Energy of Magnetic Field 1.載 流 線 圈 的 磁 能 ba Li i： 0 Ii 阻 礙 電 流 增 長電 場 力 克 服 i 做 功 , 此功 轉(zhuǎn) 化 為 磁 能 .i i+di 過 程 （ tt+dt） , 電 場 力 做 功 ：dA=dq(UaUb)i =idt(i)=idtLdi/dt=Lidi= Ldi/dt 0I過 程 ,電 場 力 做 的 總 功 ： 2120 dIA Li i LI 載 流 線 圈 的 磁 能 ： 221 LIAWm 上 式 適 用 于 L一 定 (即 L不 隨 I變 化 )的 任 意 載流 線 圈 2.磁 場 能 量 密 度載 流

13、細(xì) 螺 繞 環(huán) ：管 內(nèi) B=0nI管 外 B=0磁 能 221 LIWm 22021 IVn VB 022 I磁 場 能 量 密 度 ： 022Bwm 3.磁 場 的 能 量 dm mW w V rm Bw 022若 環(huán) 內(nèi) 充 滿 某 種 磁 介 質(zhì) ,則 磁 場 能 量密 度 為 (普 遍 成 立 )Note: 7.6 麥 克 斯 韋 方 程 組 Maxwells Equations In 1864, J.C.Maxwell： Dynamical Theory of the Electromagnetic Field自 由 電 荷 密 度 的 高 斯 定 律D(反 映 電 場 的 有 源

14、 性 )磁 場 的 高 斯 定 律(反 映 磁 場 的 渦 旋 性 or無 源 性 ) d dS VD S V d 0S B S d ( ) dL S DH l J St 普 遍 的 安 培 環(huán) 路 定 理(反 映 電 流 和 變 化 的 電 場 與 磁 場 的 聯(lián) 系 )其 中 ： 0/ rH B 磁 場 強(qiáng) 度J 傳 導(dǎo) 電 流 密 度 d dL S BE l St 法 拉 第 電 磁 感 應(yīng) 定 律(反 映 變 化 的 磁 場 與 電 場 的 聯(lián) 系 ) 麥 氏 方 程 組 除 積 分 形 式 外 ,還 有 微分 形 式 (See P.370)Notes: Maxwell對(duì) 電 磁 學(xué)

15、的 貢 獻(xiàn) ：i)提 出 了 位 移 電 流 和 感 應(yīng) 電 場 的 概 念ii)系 統(tǒng) 總 結(jié) 了 電 磁 場 的 基 本 規(guī) 律iii)預(yù) 言 了 電 磁 波 的 存 在iv)指 出 光 是 一 種 電 磁 波 Chap.7 SUMMARY 法 拉 第 定 律 電 動(dòng) 勢 ： L dL E l 非 dd mi t （ L, , i方 向 間 的 關(guān) 系 ! ）nL,iBn 動(dòng) 生 電 動(dòng) 勢E B v 非L ( ) dL B l v 感 生 電 動(dòng) 勢 iEE 非 (渦 旋 電 場 )dd mi t 自 感 自 感 電 動(dòng) 勢 ： dd i IL t (i與 I兩 者 正 方 向 一 致

16、) 自 感 線 圈 的 磁 能 ： 221 LIWm 自 感 系 數(shù) ： IL m 長 直 螺 線 管 與 細(xì) 螺 繞 環(huán) ： L=0n2V* 互 感 磁 場 的 能 量 能 量 密 度 ： 區(qū) 域 能 量 ： dm mW w V 022Bwm (真 空 中 ) 麥 氏 方 程 組 的 積 分 形 式 及 其 物 理 意 義 Chap.7 EXERCISES 一 根 直 導(dǎo) 線 在 均 勻 磁 場 中 以 速 度 運(yùn)動(dòng) , 則 導(dǎo) 線 中 對(duì) 應(yīng) 于 非 靜 電 力 的 場 強(qiáng) （ 稱作 非 靜 電 場 場 強(qiáng) ） =。B vkE答 ： Bv 思 考 若 為 彎 曲 導(dǎo) 線 呢 ? 答 案 ：

17、 (D)(A) 閉 合 曲 線 上 處 處 相 等 在 感 生 電 場 中 電 磁 感 應(yīng) 定 律 可 寫 成式 中 為 感 生 電 場 的 電 場 強(qiáng) 度 ,此 式 表 明iE dd d miL E l t iE(B) 感 生 電 場 是 保 守 場 .(C) 感 生 電 場 的 電 場 線 不 是 閉 合 曲 線 .(D) 在 感 生 電 場 中 不 能 像 對(duì) 靜 電 場 那 樣 引 入 電 勢 的 概 念 . 當(dāng) 線 圈 的 幾 何 形 狀 、 大 小 及 周 圍 磁 介 質(zhì)分 布 不 變 ,且 無 鐵 磁 性 物 質(zhì) 時(shí) ,若 線 圈 中 的電 流 強(qiáng) 度 變 小 ,則 線 圈 的

18、自 感 系 數(shù) L答 案 ： (C)(A) 變 大 ,與 電 流 成 反 比 關(guān) 系 .(B) 變 小 . (C) 不 變 . (D) 變 大 ,但 與 電 流 不 成 反 比 關(guān) 系 . 用 線 圈 的 自 感 系 數(shù) L來 表 示 載 流 線 圈 磁 場能 量 的 公 式 Wm=LI2/2 (A)只 適 用 于 無 限 長 密 繞 螺 線 管 .(B)只 適 用 于 單 匝 圓 線 圈 . (C)只 適 用 于 匝 數(shù) 很 多 且 密 繞 的 螺 線 環(huán) . (D)適 用 于 自 感 系 數(shù) L一 定 的 任 意 線 圈 .答 案 ： (D) 解 ： X YZa bcO BL,i 穿 過

19、回 路 abca 的 磁 通 ： BR m 24dd mi t 回 路 中 感 生 電 動(dòng) 勢 ： 2 d4 dBR t kR24 一 導(dǎo) 線 被 彎 成 半 徑 為 R的 三 段圓 弧 ,分 別 位 于 三 個(gè) 坐 標(biāo) 平 面 內(nèi) .均 勻 磁 場 沿 X軸 正 向 ,磁 感 應(yīng)強(qiáng) 度 隨 時(shí) 間 的 變 化 率 為 k(k0),則 回 路 abca 中 感 生 電 動(dòng) 勢 的 數(shù)值 為 ,圓 弧 中 感 應(yīng) 電流 的 方 向 為 .B bc ? 其 數(shù) 值 為 kR240i思 考 將 回 路 圍 繞 何 方 向 旋 轉(zhuǎn) ， 結(jié) 果 不 變 ？ 中 感 應(yīng) 電 流 方 向 ： 從 c到 bb

20、c 如 圖 , 電 量 Q均 勻 分 布 在 長為 L的 絕 緣 圓 筒 上 。 若 圓筒 以 角 速 度 =0(1t/t0)線性 減 速 旋 轉(zhuǎn) , 則 矩 形 線 圈 中的 感 應(yīng) 電 流 為 。解 ： 穿 過 線 圈 的 磁 通 始 終 為 零 i=0Ii=0思 考 筒 內(nèi) 磁 場 隨 時(shí) 間 變 化 的 規(guī) 律 ？ XO L0 L1i ad cbv L2如 圖 , t =0時(shí) , ab邊與 cd邊 重 合 . 金 屬框 自 感 忽 略 不 計(jì) . 如 i =I0cos t, 求 ab邊 運(yùn) 動(dòng) 到 圖 示 位置 時(shí) , 金 屬 框 中 的總 感 應(yīng) 電 動(dòng) 勢 。解 ： 建 立 坐 標(biāo)

21、 軸 如 圖如 何 建 立 微 元 ？ dm SB S 設(shè) 框 中 i的 正 方 向 為 順時(shí) 針 ,則 在 t時(shí) 刻 ,穿 過 框的 磁 通 為 0 100 0 cos d2 L LLI t t xx v0 0 0 10cos ln2I t t L LL v dS B S0 10 0 0 cos d2L LL I t t xx vB S/d XO L0 L1I ad cbv L2x x+dxdS=vtdx dd mi t 0 10 0 0ln sin cos2 L LI t t tL v令 t =L2/v， 得 0 10 0 2 2 20ln sin cos2i L LI L L LL v

22、v v v思 考 結(jié) 果 中 的 “ 感 生 ” 項(xiàng) 與 “ 動(dòng) 生 ” 項(xiàng) ? 感 應(yīng) 電 動(dòng) 勢 : 金 屬 圓 環(huán) 半 徑 r =10cm， 電 阻 R=1， 水 平放 置 。 若 地 球 磁 場 磁 感 應(yīng) 強(qiáng) 度 的 豎 直 分 量為 5105T， 則 將 環(huán) 面 翻 轉(zhuǎn) 一 次 ， 沿 環(huán) 流過 任 一 橫 截 面 的 電 量 q =。解 ： BL 設(shè) 回 路 L正 方 向 如 圖 ,則有 ： RI ii tt+dt內(nèi) ： d diq I t d dmR td mR 0 1d dmmq mq R 作 積 分 ： 1( )m mq R RBr 22 )(1 22 BrBrR C610

23、14.3 思 考 在 翻 轉(zhuǎn) 中 , 環(huán) 中 電 流 方 向 是 否 不 變 ? 兩 個(gè) 長 度 相 同 、 匝 數(shù) 相 同 、 截 面 積 不 同 的 長 直螺 線 管 , 通 以 相 同 大 小 的 電 流 。 現(xiàn) 將 小 螺 管 放 入大 螺 管 里 , 且 使 兩 者 產(chǎn) 生 的 磁 場 方 向 一 致 , 則 小螺 管 內(nèi) 的 磁 能 密 度 是 原 來 的 倍 。 解 ： 單 個(gè) 螺 管 : B=0nI放 入 后 , 小 螺 管 內(nèi) : B=2B 022Bwm 2 2/ / 4m mw w B B 思 考 系 統(tǒng) 的 磁 能 是 否 與 原 來 相 等 ？ 原 因 ？ QP 線 圈 P的 自 感 和 電 阻 分 別 是線 圈 Q的 兩 倍 ,兩 線 圈 間 的互 感 忽 略 不 計(jì) ,則 P與 Q的 磁場 能 量 的 比 值 為(A)4 (B)2 (C)1 (D)1/2解 ： W=LI2/2 2P P PQ Q QW L IW L I 212 2 21 )(D思 考 若 兩 線 圈 串 聯(lián) ， 結(jié) 果 ？ 思 考 若 金 屬 框 以 速 率 v右 移 , 在 t 時(shí) 刻 正 處于 圖 示 位 置 , 則 i =?a aI b L,iXOI b L,ix x+a XO v任 意 t 時(shí) 刻 aI b L,ixx +dx XO 任 意 t 時(shí) 刻