《(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第48課 直線與橢圓的位置關(guān)系課時分層訓(xùn)練-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第48課 直線與橢圓的位置關(guān)系課時分層訓(xùn)練-人教版高三數(shù)學(xué)試題(5頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第九章 平面解析幾何 第48課 直線與橢圓的位置關(guān)系課時分層訓(xùn)練
A組 基礎(chǔ)達標(biāo)
(建議用時:30分鐘)
1.如圖48-5,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓+=1(a>b>0)過點A(2,1),離心率為.
圖48-5
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線l:y=kx+m(k≠0)與橢圓相交于B,C兩點(異于點A),線段BC被y軸平分,且AB⊥AC,求直線l的方程. 【導(dǎo)學(xué)號:62172267】
[解] (1)由條件知橢圓+=1(a>b>0)的離心率為e==,
所以b2=a2-c2=a2.
又點A(2,1)在橢圓+=1(a>b>0)上,
所以+=1,
解得
所以,所求
2、橢圓的方程為+=1.
(2)將y=kx+m(k≠0)代入橢圓方程,得x2+4(kx+m)2-8=0,
整理得(1+4k2)x2+8mkx+4m2-8=0.?、?
由線段BC被y軸平分,得xB+xC=-=0,
因為k≠0,所以m=0.
因為當(dāng)m=0時,B,C關(guān)于原點對稱,設(shè)B(x,kx),C(-x,-kx),
由方程①,得x2=,
又因為AB⊥AC,A(2,1),
所以·=(x-2)(-x-2)+(kx-1)(-kx-1)=5-(1+k2)x2=5-=0,
所以k=±.
由于k=時,直線y=x過點A(2,1),故k=不符合題設(shè).
所以,此時直線l的方程為y=-x.
2.已
3、知中心在原點,焦點在y軸上的橢圓C,其上一點P到兩個焦點F1,F(xiàn)2的距離之和為4,離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線y=kx+1與曲線C交于A,B兩點,求△OAB面積的取值范圍.
[解] (1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0),
由條件可得a=2,c=,b=1,故橢圓C的方程+x2=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(k2+4)x2+2kx-3=0,
故x1+x2=-,x1x2=-.
設(shè)△OAB的面積為S,由x1x2=-<0,
知S=(|x1|+|x2|)=|x1-x2|
==2,
令k2+3=t,知t≥3,∴S=2,
對函數(shù)y
4、=t+(t≥3),知y′=1-=>0,
∴y=t+在t∈[3,+∞)上單調(diào)遞增,
∴t+≥,∴0<≤,∴S∈.
B組 能力提升
(建議用時:15分鐘)
1.(2017·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研一)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:+=1(a>b>0)過點P,離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A,B兩點.
①若直線l過橢圓C的右焦點,記△ABP三條邊所在直線的斜率的乘積為t,求t的最大值;
②若直線l的斜率為,試探究OA2+OB2是否為定值?若是定值,則求出此定值;若不是定值,請說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號:62172268】
[解] (1)+=1,=,得a2=4
5、,b2=3.
所以橢圓C:+=1.
(2)①設(shè)直線l的方程為x=my+1,直線l與橢圓C的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),
由化簡得(3m2+4)y2+6my-9=0,易知Δ>0,
所以y1+y2=-,y1y2=-,
所以kAP·kBP=·=·=·
=--,
所以t=kAB·kAP·kBP=--=-2+,
所以當(dāng)m=-時,t有最大值.
②設(shè)直線l的方程為y=x+n,直線l與橢圓C的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),得3x2+2nx+2n2-6=0,
Δ=(2n)2-4×3(2n2-6)>0,即-
6、+y+x+y=(x+x)+(y+y)
=x+x+2+2=(x+x)+n(x1+x2)+2n2
=(x1+x2)2-x1x2+n(x1+x2)+2n2
=2-+n+2n2=7.
所以當(dāng)直線l的斜率為時,OA2+OB2為定值7.
2.(2017·泰州期末)如圖48-6,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓O:x2+y2=4,橢圓C:+y2=1,A為橢圓右頂點.過原點O且異于坐標(biāo)軸的直線與橢圓C交于B,C兩點,直線AB與圓O的另一交點為P,直線PD與圓O的另一交點為Q,其中D.設(shè)直線AB,AC的斜率分別為k1,k2.
圖48-6
(1)求k1k2的值;
(2)記直線PQ,BC的斜率分
7、別為kPQ,kBC,是否存在常數(shù)λ,使得kPQ=λkBC?若存在,求λ值;若不存在,說明理由;
(3)求證:直線AC必過點Q.
[解] (1)設(shè)B(x0,y0),則C(-x0,-y0),+y=1,A(2,0),
所以k1k2=·===-.
(2)聯(lián)立得(1+k)x2-4kx+4(k-1)=0,
解得xp=,yp=k1(xp-2)=,
聯(lián)立得(1+4k)x2-16kx+4(4k-1)=0,
解得xB=,yB=k1(xB-2)=,
所以kBC==,kPQ===,
所以kPQ=kBC,故存在常數(shù)λ=,使得kPQ=kBC.
(3)當(dāng)直線PQ與x軸垂直時,Q,
則kAQ===k2,所以直線AC必過點Q.
當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時,直線PQ方程為:y=,
聯(lián)立,解得xQ=,yQ=,所以kAQ==-=k2,故直線AC必過點Q.