（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第48課 直線與橢圓的位置關(guān)系課時(shí)分層訓(xùn)練-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第九章 平面解析幾何 第48課 直線與橢圓的位置關(guān)系課時(shí)分層訓(xùn)練 A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 1．如圖48­5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＋＝1(a>b>0)過點(diǎn)A(2,1)，離心率為. 圖48­5 (1)求橢圓的方程； (2)若直線l：y＝kx＋m(k≠0)與橢圓相交于B，C兩點(diǎn)(異于點(diǎn)A)，線段BC被y軸平分，且AB⊥AC，求直線l的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172267】 [解]　(1)由條件知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為e＝＝， 所以b2＝a2－c2＝a2. 又點(diǎn)A(2,1)在橢圓＋＝1(a>b>0)上， 所以＋＝1， 解得 所以，所求橢圓的方程為＋＝1. (2)將y＝kx＋m(k≠0)代入橢圓方程，得x2＋4(kx＋m)2－8＝0， 整理得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－8＝0.?、? 由線段BC被y軸平分，得xB＋xC＝－＝0， 因?yàn)閗≠0，所以m＝0. 因?yàn)楫?dāng)m＝0時(shí)，B，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)B(x，kx)，C(－x，－kx)， 由方程①，得x2＝， 又因?yàn)锳B⊥AC，A(2,1)， 所以·＝(x－2)(－x－2)＋(kx－1)(－kx－1)＝5－(1＋k2)x2＝5－＝0， 所以k＝±. 由于k＝時(shí)，直線y＝x過點(diǎn)A(2,1)，故k＝不符合題設(shè)． 所以，此時(shí)直線l的方程為y＝－x. 2．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C，其上一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為4，離心率為. (1)求橢圓C的方程； (2)若直線y＝kx＋1與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求△OAB面積的取值范圍． [解]　(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)， 由條件可得a＝2，c＝，b＝1，故橢圓C的方程＋x2＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0， 故x1＋x2＝－，x1x2＝－. 設(shè)△OAB的面積為S，由x1x2＝－<0， 知S＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2| ＝＝2， 令k2＋3＝t，知t≥3，∴S＝2， 對(duì)函數(shù)y＝t＋(t≥3)，知y′＝1－＝>0， ∴y＝t＋在t∈[3，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴t＋≥，∴0<≤，∴S∈. B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．(2017·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研一)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)過點(diǎn)P，離心率為. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)． ①若直線l過橢圓C的右焦點(diǎn)，記△ABP三條邊所在直線的斜率的乘積為t，求t的最大值； ②若直線l的斜率為，試探究OA2＋OB2是否為定值？若是定值，則求出此定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172268】 [解]　(1)＋＝1，＝，得a2＝4，b2＝3. 所以橢圓C：＋＝1. (2)①設(shè)直線l的方程為x＝my＋1，直線l與橢圓C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由化簡(jiǎn)得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，易知Δ>0， 所以y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以kAP·kBP＝·＝·＝· ＝－－， 所以t＝kAB·kAP·kBP＝－－＝－2＋， 所以當(dāng)m＝－時(shí)，t有最大值. ②設(shè)直線l的方程為y＝x＋n，直線l與橢圓C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，得3x2＋2nx＋2n2－6＝0， Δ＝(2n)2－4×3(2n2－6)>0，即－<n<. x1＋x2＝－，x1x2＝， OA2＋OB2＝x＋y＋x＋y＝(x＋x)＋(y＋y) ＝x＋x＋2＋2＝(x＋x)＋n(x1＋x2)＋2n2 ＝(x1＋x2)2－x1x2＋n(x1＋x2)＋2n2 ＝2－＋n＋2n2＝7. 所以當(dāng)直線l的斜率為時(shí)，OA2＋OB2為定值7. 2．(2017·泰州期末)如圖48­6，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2＋y2＝4，橢圓C：＋y2＝1，A為橢圓右頂點(diǎn)．過原點(diǎn)O且異于坐標(biāo)軸的直線與橢圓C交于B，C兩點(diǎn)，直線AB與圓O的另一交點(diǎn)為P，直線PD與圓O的另一交點(diǎn)為Q，其中D.設(shè)直線AB，AC的斜率分別為k1，k2. 圖48­6 (1)求k1k2的值； (2)記直線PQ，BC的斜率分別為kPQ，kBC，是否存在常數(shù)λ，使得kPQ＝λkBC？若存在，求λ值；若不存在，說明理由； (3)求證：直線AC必過點(diǎn)Q. [解]　(1)設(shè)B(x0，y0)，則C(－x0，－y0)，＋y＝1，A(2,0)， 所以k1k2＝·＝＝＝－. (2)聯(lián)立得(1＋k)x2－4kx＋4(k－1)＝0， 解得xp＝，yp＝k1(xp－2)＝， 聯(lián)立得(1＋4k)x2－16kx＋4(4k－1)＝0， 解得xB＝，yB＝k1(xB－2)＝， 所以kBC＝＝，kPQ＝＝＝， 所以kPQ＝kBC，故存在常數(shù)λ＝，使得kPQ＝kBC. (3)當(dāng)直線PQ與x軸垂直時(shí)，Q， 則kAQ＝＝＝k2，所以直線AC必過點(diǎn)Q. 當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時(shí)，直線PQ方程為：y＝， 聯(lián)立，解得xQ＝，yQ＝，所以kAQ＝＝－＝k2，故直線AC必過點(diǎn)Q.