概率論與數(shù)理統(tǒng)計：第3章連續(xù)型隨機變量及其分布2

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計：第3章連續(xù)型隨機變量及其分布2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計：第3章連續(xù)型隨機變量及其分布2（44頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、3.3常用連續(xù)型隨機變量常用連續(xù)型隨機變量下面介紹幾種常用的連續(xù)型隨機變量。下面介紹幾種常用的連續(xù)型隨機變量。一、一、均勻分布均勻分布設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為通常稱這個隨機變量通常稱這個隨機變量X服從區(qū)間服從區(qū)間(a,b)上的上的(連續(xù)連續(xù)型型)均勻分布，記作均勻分布，記作。一維情形下的幾何概率可以用均勻分布來描述。一維情形下的幾何概率可以用均勻分布來描述。均勻分布的分布函數(shù)為：均勻分布的分布函數(shù)為：在隨機模擬技術(shù)中，服從均勻分布在隨機模擬技術(shù)中，服從均勻分布R(0,1)的隨機變量的隨機變量是最基本的一類隨機變量。是最基本的一類隨機變量。二、指數(shù)分布二、指數(shù)分

2、布一般地，如果隨機變量一般地，如果隨機變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為那么稱這個隨機變量那么稱這個隨機變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的指數(shù)分布，的指數(shù)分布，記作記作，其中，其中。指數(shù)分布的分布函數(shù)為指數(shù)分布的分布函數(shù)為指數(shù)分布在可靠性理論及排隊論中有廣泛的應(yīng)指數(shù)分布在可靠性理論及排隊論中有廣泛的應(yīng)用，因為許多優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的壽命常常服從指數(shù)分布；用，因為許多優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的壽命常常服從指數(shù)分布；某一復(fù)雜系統(tǒng)中接連兩次故障的時間間隔服從指某一復(fù)雜系統(tǒng)中接連兩次故障的時間間隔服從指數(shù)分布。數(shù)分布。指數(shù)分布有一個性質(zhì)，稱此性質(zhì)為無后效性：設(shè)指數(shù)分布有一個性質(zhì)，稱此性質(zhì)為無后效性：設(shè)隨機變量隨機變量，則對于任意的，則對

3、于任意的，有，有因此，因此，假如把假如把X解釋為壽命，則上式表明，如果已知壽解釋為壽命，則上式表明，如果已知壽命長于命長于年，則再活年，則再活年的概率與年齡年的概率與年齡無關(guān)，所以無關(guān)，所以有人風(fēng)趣地稱指數(shù)分布是有人風(fēng)趣地稱指數(shù)分布是“永遠年青永遠年青”的分布。的分布。例例1根據(jù)歷史資料分析，某地連續(xù)兩次強地根據(jù)歷史資料分析，某地連續(xù)兩次強地震之間相隔的年數(shù)震之間相隔的年數(shù)X是一個隨機變量，它服從參數(shù)是一個隨機變量，它服從參數(shù)為為的指數(shù)分布，現(xiàn)該地剛發(fā)生了一次強地震。的指數(shù)分布，現(xiàn)該地剛發(fā)生了一次強地震。試求試求(1)今后今后3年內(nèi)再次發(fā)生強地震的概率；年內(nèi)再次發(fā)生強地震的概率；(2)今后今后

4、3年至年至5年再次發(fā)生強地震的概率。年再次發(fā)生強地震的概率。解解(1)所求概率為所求概率為(2)所求概率為所求概率為例例2假設(shè)顧客在銀行的窗口等待服務(wù)的時間假設(shè)顧客在銀行的窗口等待服務(wù)的時間（單位：分鐘）；如果某顧客在窗口等（單位：分鐘）；如果某顧客在窗口等待服務(wù)的時間超過待服務(wù)的時間超過10分鐘他就離開，分鐘他就離開，（1）求這位顧客某天去銀行未等到服務(wù)而離）求這位顧客某天去銀行未等到服務(wù)而離開的概率；開的概率；（2）假如他一個月要去銀行五次，求他五次）假如他一個月要去銀行五次，求他五次中至多有一次未等到服務(wù)而離開的概率。中至多有一次未等到服務(wù)而離開的概率。解解（1）所求概率為）所求概率為(

5、2)用用Y表示他離開的次數(shù)，則表示他離開的次數(shù)，則，所，所求概率為求概率為三、正態(tài)分布三、正態(tài)分布(高斯（高斯（Gauss）分布）分布)如果隨機變量如果隨機變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為那么稱這個隨機變量那么稱這個隨機變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的正態(tài)分布的正態(tài)分布（或高斯分布），記作（或高斯分布），記作，其中，其中服從正態(tài)分布的隨機變量統(tǒng)稱為正態(tài)隨機變量。服從正態(tài)分布的隨機變量統(tǒng)稱為正態(tài)隨機變量。由高等數(shù)學(xué)的知識不難得到由高等數(shù)學(xué)的知識不難得到具有下列性質(zhì)：具有下列性質(zhì)：(1)關(guān)于關(guān)于對稱；對稱；(2)在在處有最大值處有最大值；(3)當當時，時，。正態(tài)分布在理論上與實際應(yīng)用中都是一個極其正態(tài)分

6、布在理論上與實際應(yīng)用中都是一個極其重要的分布，高斯在研究誤差理論時曾用它來刻重要的分布，高斯在研究誤差理論時曾用它來刻劃誤差的分布。經(jīng)驗表明，當一個變量受到大量劃誤差的分布。經(jīng)驗表明，當一個變量受到大量微小的、獨立的隨機因素影響時，這個變量一般微小的、獨立的隨機因素影響時，這個變量一般服從或近似服從正態(tài)分布。服從或近似服從正態(tài)分布。正態(tài)分布正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖像見下圖：的密度函數(shù)的圖像見下圖：上圖還給出了參數(shù)上圖還給出了參數(shù)的一個幾何解釋：當?shù)囊粋€幾何解釋：當較大時，函數(shù)曲線平坦；當較大時，函數(shù)曲線平坦；當較小時，曲線陡峭。較小時，曲線陡峭。四、標準正態(tài)分布四、標準正態(tài)分布參數(shù)參數(shù)且且的正態(tài)

7、分布的正態(tài)分布N(0,1)稱為標準稱為標準正態(tài)分布正態(tài)分布,它的密度函數(shù)為它的密度函數(shù)為它的分布函數(shù)記作它的分布函數(shù)記作，即，即由于由于N(0,1)的密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，因此，由的密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，因此，由推得：推得：當當時，時，的值可以查附表四得到。的值可以查附表四得到。由概率計算過程可得如下公式：當由概率計算過程可得如下公式：當時時,其中其中。當當時，由于時，由于X的分布函數(shù)的分布函數(shù)（令（令）因此因此通常稱這個公式為正態(tài)概率計算公式。通常稱這個公式為正態(tài)概率計算公式。例例2設(shè)設(shè)。查附表四可以得到。查附表四可以得到例例3設(shè)設(shè)，查附表四可以得到，查附表四可以得到例例4從南郊某地到北區(qū)火

8、車站有兩條路可選，從南郊某地到北區(qū)火車站有兩條路可選，一條路線穿過市區(qū)，路程短，但交通擁堵，所需一條路線穿過市區(qū)，路程短，但交通擁堵，所需時間時間（單位：分鐘），另一條路線（單位：分鐘），另一條路線沿環(huán)線走，路程長，但意外堵塞較少，所需時間沿環(huán)線走，路程長，但意外堵塞較少，所需時間（單位：分鐘）。（單位：分鐘）。（1）假定有）假定有70分鐘可用，應(yīng)選哪一條路線？分鐘可用，應(yīng)選哪一條路線？（2）假定有）假定有65分鐘可用，應(yīng)選哪一條路線？分鐘可用，應(yīng)選哪一條路線？解解（1）由于由于所以，應(yīng)選第二條路線。所以，應(yīng)選第二條路線。（2）由于）由于所以，應(yīng)選第一條路線。所以，應(yīng)選第一條路線。例例4某人上

9、班所需的時間某人上班所需的時間(單單位：分位：分)，已知上班時間為早晨，已知上班時間為早晨8時，他每天時，他每天7時出時出門。試求，門。試求，(1)某天遲到的概率；某天遲到的概率；(2)某周某周(以五天計以五天計)最多遲到一次的概率。最多遲到一次的概率。解解(1)所求概率為所求概率為(2)設(shè)一周內(nèi)遲到次數(shù)為設(shè)一周內(nèi)遲到次數(shù)為Y，則，則Y為離散型隨機為離散型隨機變量，且變量，且，所求概率為，所求概率為當當時，附表四對每一個時，附表四對每一個，給出，給出了了的值。反過來，給定的值。反過來，給定也可以從也可以從附表四查得附表四查得，使得由，使得由，稱，稱為標準為標準正態(tài)隨機變量正態(tài)隨機變量X的的p分

10、位數(shù)分位數(shù)(見下圖見下圖)，即，即.當當時，時，可以直接查表得到。當可以直接查表得到。當時，由時，由的性質(zhì)知道的性質(zhì)知道。例如，當例如，當時，時，有時候，需要對給定的有時候，需要對給定的求出常數(shù)求出常數(shù)c，使得使得，由于，由于即即因此因此，例如，當，例如，當時，相應(yīng)的時，相應(yīng)的 3.4二維隨機變量及其分布二維隨機變量及其分布如果一個二維隨機變量的值域是平面上的一個如果一個二維隨機變量的值域是平面上的一個區(qū)域，那么稱它為二維連續(xù)型隨機變（向）量，類區(qū)域，那么稱它為二維連續(xù)型隨機變（向）量，類似地有似地有n維連續(xù)型隨機變（向）量。維連續(xù)型隨機變（向）量。本節(jié)主要研究二維連續(xù)型隨機變量取值的統(tǒng)計本節(jié)

11、主要研究二維連續(xù)型隨機變量取值的統(tǒng)計規(guī)律性（即分布）。規(guī)律性（即分布）。一、聯(lián)合密度函數(shù)一、聯(lián)合密度函數(shù)定義定義3.4給定二維連續(xù)型隨機變量給定二維連續(xù)型隨機變量，如果存在一個定義域為整個平面的二元非負實值函如果存在一個定義域為整個平面的二元非負實值函數(shù)數(shù)，使得，使得的分布函數(shù)的分布函數(shù)可以表可以表達成達成那么稱那么稱為連續(xù)性隨機變量為連續(xù)性隨機變量的的(概率概率)密密度函數(shù)度函數(shù)(或分布或分布)，或者稱它為隨機變量，或者稱它為隨機變量X與與Y的聯(lián)合的聯(lián)合(概率概率)密度函數(shù)密度函數(shù)(或聯(lián)合分布或聯(lián)合分布)。按照分布函數(shù)的定義與性質(zhì)，聯(lián)合密度函數(shù)必按照分布函數(shù)的定義與性質(zhì)，聯(lián)合密度函數(shù)必須滿足

12、下列兩個條件：須滿足下列兩個條件：(1)；(2)。這兩個條件刻劃了聯(lián)合密度函數(shù)的特征。這兩個條件刻劃了聯(lián)合密度函數(shù)的特征。定理定理3.5設(shè)設(shè)是任意一個二維連續(xù)型隨機是任意一個二維連續(xù)型隨機變量，變量，與與分別是它的分布函數(shù)與密度分別是它的分布函數(shù)與密度函數(shù)，那么函數(shù)，那么(1)為連續(xù)函數(shù)，且在為連續(xù)函數(shù)，且在的連續(xù)點的連續(xù)點處，處，有有 (2)對任意一條平面曲線對任意一條平面曲線L，；(3)對任意一個平面上的集合對任意一個平面上的集合D：例例1設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)的聯(lián)合密度函數(shù)為為求求（1）常數(shù)）常數(shù)A的值；的值；（2）概率）概率解解(1)由由可得可得(2)概率概率一、均

13、勻分布：一、均勻分布：設(shè)設(shè)的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為其中，其中，G是平面上某個區(qū)域，通常稱這個隨機變量是平面上某個區(qū)域，通常稱這個隨機變量服從區(qū)域服從區(qū)域G上的上的(二維連續(xù)型二維連續(xù)型)均勻分布。均勻分布。二、二維正態(tài)分布：二、二維正態(tài)分布：如果隨機變量如果隨機變量的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為那么稱隨機變量那么稱隨機變量服從參數(shù)為服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布，記作的二維正態(tài)分布，記作,其中其中.例例1設(shè)設(shè)服從區(qū)域服從區(qū)域G上的均勻分布，其中上的均勻分布，其中G為區(qū)域為區(qū)域試求關(guān)于試求關(guān)于t的一元二次方程的一元二次方程無實數(shù)根無實數(shù)根的概率。的概率。解解由于由于G的面積為的面積為1，因此，因此的密度函數(shù)

14、的密度函數(shù)于是，所求概率為于是，所求概率為思考：思考：概率概率二、邊緣密度函數(shù)二、邊緣密度函數(shù)設(shè)二維連續(xù)型隨機變量設(shè)二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)為為，對于任意一個，對于任意一個，稱稱為為的邊緣分布函數(shù)。類似地，稱的邊緣分布函數(shù)。類似地，稱為為的邊緣分布函數(shù)。即的邊緣分布函數(shù)。即例例1設(shè)設(shè)的聯(lián)合分布函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)為求求與與邊緣分布函數(shù)。邊緣分布函數(shù)。解解由邊緣分布函數(shù)的計算公式可知由邊緣分布函數(shù)的計算公式可知當當時，時，當當時，時，所以，所以，的邊緣分的邊緣分布函數(shù)為布函數(shù)為同理可得，同理可得，的邊緣分布函數(shù)為的邊緣分布函數(shù)為思考：三個分布函數(shù)之間有什么關(guān)系？思考：三個分

15、布函數(shù)之間有什么關(guān)系？設(shè)二維連續(xù)型隨機變量設(shè)二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為稱稱為為的邊緣密度函數(shù)。類似地，稱的邊緣密度函數(shù)。類似地，稱為為的邊緣密度函數(shù)。的邊緣密度函數(shù)。事實上，由事實上，由的邊緣分布函數(shù)的定義的邊緣分布函數(shù)的定義,可得可得例例2設(shè)設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為求求X與與Y的邊緣密度函數(shù)。的邊緣密度函數(shù)。解解由公式由公式可知，當可知，當時，時，當當時，時，所以所以的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為同理，當同理，當時，所以時，所以所以，所以，的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為例例3設(shè)設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為其中其中，試求，試求X與與Y的邊的邊緣密度函數(shù)。緣密度函數(shù)。解解當當時，時，其余的取值對應(yīng)其余的取值對應(yīng)。所以，所以，X的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為同理，當同理，當時，時，因此，因此，Y的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為例例4設(shè)設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布，它的聯(lián)合密度服從二維正態(tài)分布，它的聯(lián)合密度函數(shù)為函數(shù)為求求X與與Y的邊緣密度函數(shù)。的邊緣密度函數(shù)。解解:X的邊緣密度函數(shù)的邊緣密度函數(shù)作代換作代換，利用利用便得便得同理可得同理可得定理定理3.6設(shè)設(shè)，則，則X的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為Y的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為即即