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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 拋物線的幾何性質(zhì)知識(shí)精講 文 人教版第二冊(cè).doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 拋物線的幾何性質(zhì)知識(shí)精講 文 人教版第二冊(cè).doc

2019-2020 年高中數(shù)學(xué) 拋物線的幾何性質(zhì)知識(shí)精講 文 人教版第二冊(cè) 【本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容: 拋物線的幾何性質(zhì) 二. 重點(diǎn)、難點(diǎn): 1. 重點(diǎn): 拋物線的性質(zhì),焦半徑,焦點(diǎn)弦的應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合。 2. 難點(diǎn): 注意拋物線與橢圓、雙曲線的聯(lián)系。 【典型例題】 [例 1] 給定拋物線,設(shè) A() () ,P 是拋物線上的一點(diǎn),且,試求的最小值。 解:設(shè)() () 則 ∴ 1a2)]1(x[2)ax(000 ?????? ∵ , ∴(1)當(dāng)時(shí), ,此時(shí)當(dāng)時(shí), d?最 小 (2)當(dāng)時(shí), ,此時(shí)當(dāng)時(shí), [例 2] 過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線,設(shè)交拋物線于 A、B 兩點(diǎn),求。 解:當(dāng)時(shí),直線 AB 的方程為 由 ??? ??22pxy 得 A() 、B(, ) ∴ 當(dāng)時(shí),直線 AB 的方程為 由 ??? ???pxy2tan)(? 得 0tan4)tan2(t 222 ????? ??pxpx 設(shè) A() 、B() ,則 ∴ ?2221 sintap???? [例 3] 過拋物線的準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)作直線,交拋物線于 M、N 兩點(diǎn),問直線的傾斜角 多大時(shí),以線段 MN 為直徑的圓經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)? 解:拋物線的準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為() ,設(shè)直線 MN 的方程為 由 得 0)2(2???kxxk ∵ 直線與拋物線交于 M、N 兩點(diǎn) ∴ 即, , 設(shè) M(, ) ,N() ,拋物線焦點(diǎn)為 F(1,0) ∵ 以線段 MN 為直徑的圓經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn) ∴ MF⊥NF ∴ 即 01)(221 ????xxy 又 , ,且、同號(hào) ∴ 解得 ∴ 即直線的傾斜角為或時(shí),以線段 MN 為直徑的圓經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)。 [例 4] 過拋物線的焦點(diǎn) F 的直線與拋物線交于 A、B 兩點(diǎn),求的值。 解:如圖所示,設(shè) A() 、B() ,AB 的方程為 由 ??? ???22pkyx 得 ∴ 又 ∵ , ∴ ∴ ∴ 又 211pxBFA??4)(4)(2)(2 2122111 pxpxxp ?????)(21? [例 5] 如圖,已知直線:交拋物線于 A、B 兩點(diǎn),試在拋物線 AOB 這段曲線上求一點(diǎn) P,使 的面積最大,并求這個(gè)最大面積。 解:由解得 A(4,4) 、B(1, ) ,知,所以直線 AB 的方程為 設(shè) P()為拋物線 AOB 這條曲線上一點(diǎn),為 P 點(diǎn)到直線 AB 的距離9)(522200????yyxd ∵ ∴ ∴ 從而當(dāng)時(shí), 因此,當(dāng)點(diǎn) P 坐標(biāo)為時(shí), 4275321)(max????APBS [例 6] 已知直線與曲線在第一象限有公共點(diǎn),求的取值范圍。 解:如圖,易知拋物線與軸交于 A(0,1) 、B(0,3) 直線恒過 C() ,由圖象及拋物線的延伸趨勢(shì)可知 當(dāng)大于零且小于 BC 的斜率時(shí)滿足題意 而,故。 [例 7] 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為 F,經(jīng)過點(diǎn) F 的直徑交拋物線于 A、B 兩點(diǎn),點(diǎn) C 在拋物線的準(zhǔn)線 上,且 BC//軸,證明:直線 AC 經(jīng)過原點(diǎn) O。 證法一:因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F() 所以經(jīng)過點(diǎn) F 的直線 AB 的方程為 代入拋物線方程得 0 設(shè) A() 、B() ,則 ∵ BC//軸,且點(diǎn) C 在準(zhǔn)線上 ∴ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 故直線 OC 的斜率為 112xypyk??? 即也是 OA 的斜率,所以直線 AC 經(jīng)過原點(diǎn) O 證法二:如圖所示,設(shè)軸與拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)為 E,過點(diǎn) A 作 AD⊥,D 為垂足 則。連結(jié) AC,與 EF 相交于 N,則 ,根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì),得, ∴ FABCFDEN???? ∴ 點(diǎn) N 是線段 EF 的中點(diǎn),與拋物線的頂點(diǎn) O 重合 ∴ 直線 AC 經(jīng)過點(diǎn) O 證法三:設(shè) A() 、B() ,由已知 C 得 直線 AC 的方程為 )2(12pxyy???,把原點(diǎn)的坐標(biāo)代入,得212pxy??? 利用得上面等式恒成立 ∴ 直線 AC 經(jīng)過點(diǎn) O 證法四:設(shè) A() 、B() ,由已知得 C() , ∴ 0)(2)(22)( 111121 ????????? pypypypyx 又 ∵ O 是公共點(diǎn) ∴ A、O、C 共線,即 AC 過點(diǎn) O [例 8] 如果拋物線上總有關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn),試求的范圍。 方法一:設(shè)拋物線上關(guān)于對(duì)稱的相異兩點(diǎn)坐標(biāo)為 A() 、B() ∵ 兩點(diǎn)都在拋物線上 ∴ (1)-(2) ,得 ∵ ∴ (3) (3)代入(2) ,得 ∵ ,且相異 ∴ ∴ ∴ 的取值范圍是() 方法二:設(shè)拋物線上關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)所在直線方程為,代入,得 ∵ ,且兩點(diǎn)為相異兩點(diǎn) ∴ 即 (1) 設(shè)兩對(duì)稱點(diǎn)為 A() 、B() 則, 又 ∵ ∴ ,即 (2) (2)代入(1) ,得 ∴ 的取值范圍是() 【模擬試題】 (答題時(shí)間:60 分鐘) 一. 選擇題: 1. 等腰直角三角形 AOB 內(nèi)接于拋物線,O 為拋物線的頂點(diǎn),OA⊥OB,則的面積是( ) A. B. C. D. 2. 已知點(diǎn)()在拋物線上,則的最小值是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 0 3. 已知 A、B 是拋物線上兩點(diǎn),O 為坐標(biāo)原點(diǎn),若且的垂心恰是此拋物線的焦點(diǎn) F,則直 線 AB 的方程是( ) A. B. C. D. 4. 已知點(diǎn) A() ,的焦點(diǎn)是 F,P 是上的點(diǎn),為使取得最小值,P 點(diǎn)的坐標(biāo)是( ) A. B. C. D. 5. 拋物線與直線的一個(gè)交點(diǎn)是(1,2) ,則拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為( ) A. B. C. D. 6. 拋物線的焦點(diǎn) F,點(diǎn) P 在拋物線上,若,則 P 點(diǎn)的坐標(biāo)為( ) A. B. C. 或 D. 7. 過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于 A() 、B()兩點(diǎn),如果,那么( ) A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 8. 過拋物線()的焦點(diǎn) F 作一直線交拋物線于 P、Q 兩點(diǎn),若線段 PF 與 FQ 的長(zhǎng)分別是、 ,則的值為( ) A. B. C. D. 二. 填空: 1. 過拋物線的焦點(diǎn),傾斜角為的直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)為 。 2. 拋物線的焦點(diǎn)為 F,準(zhǔn)線交軸于點(diǎn) R,過拋物線上一點(diǎn) P(4,4)作 PQ⊥于點(diǎn) Q,則 梯形 PQRF 的面積是 。 3. 線段 AB 是拋物線的一條焦點(diǎn)弦,且,則線段 AB 的中點(diǎn) C 到直線的距離是 。 4. 拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,拋物線上點(diǎn) A()到焦點(diǎn)的距離為 5,則拋物 線方程為 。 三. 解答題: 1. 已知拋物線上有三點(diǎn) A() 、B() 、C()且,若線段 AB、BC 在軸上射影之長(zhǎng)相等, 求證:A、B、C 三點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離順次成等差數(shù)列。 2. 過拋物線的頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線,交拋物線于 A、B 兩點(diǎn),求線段 AB 中點(diǎn)的軌 跡方程 3. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為 F,經(jīng)過點(diǎn) F 的直線交拋物線于 A、B 兩點(diǎn),點(diǎn) C 在拋物線的準(zhǔn)線 上,且 BC∥軸。證明:直線 AC 經(jīng)過原點(diǎn) O 【試題答案】 一. 1. B 2. B 3. D 4. A 5. B 6. C 7. B 8. C 二. 1. 16 2. 14 3. 4. 或或 三. 1. 證明:根據(jù)題意,得,即、 、成等差數(shù)列 又由拋物線的定義得, , ∵ px2)p(x2BF????BFA31 ∴ 、 、成等差數(shù)列 2. 解:設(shè)線段 AB 的中點(diǎn)為 P() ,OA 的斜率為,則直線的方程為 由得或 ??? ??k6yx2 依題意得 A 點(diǎn)的坐標(biāo)為 A(, ) ∵ OA⊥OB ∴ OB 的斜率為,直線 OB 的方程為 由 ??? ???x6y12 得或 ∴ B 點(diǎn)的坐標(biāo)為 線段 AB 的中點(diǎn) P()滿足 ??? ????)k6(21yx2 即 ??? ????)2(k13yx2 (2)式平方后減去(1)3,得為所求。 3. 證明:∵ 拋物線的焦點(diǎn)為 F() ∴ 經(jīng)過點(diǎn) F 的直線 AB 的方程可設(shè)為 代入拋物線方程,得 設(shè),則是該方程的兩根 ∴ ∵ BC//軸,且點(diǎn) C 在準(zhǔn)線上 ∴ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為() ∴ 直線 OC 的斜率為 12xypk?? 即也是直線 OA 的斜率 ∴ 直線 AC 經(jīng)過原點(diǎn) O

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