高等數(shù)學(xué)中求導(dǎo)法則

單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,第二節(jié),二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則,三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題,一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,函數(shù)的求導(dǎo)法則,第二章,思路,:,(,構(gòu)造性定義,),求導(dǎo)法則,其它基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式,證明中利用了,兩個(gè)重要極限,初等函數(shù)求導(dǎo)問題,本節(jié)內(nèi)容,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則,定理,1.,的和、,差、,積、,商,(,除分母,為,0,的點(diǎn)外,),都在點(diǎn),x,可導(dǎo),且,下面分三部分加以證明,并同時(shí)給出相應(yīng)的推論和,例題,.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,此法則可推廣到任意有限項(xiàng)的情形,.,證,:,設(shè),則,故結(jié)論成立,.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例如,(2),證,:,設(shè),則有,故結(jié)論成立,.,推論,:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(,C,為常數(shù),),例,1.,解,:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(3),證,:,設(shè),則有,故結(jié)論成立,.,推論,:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(,C,為常數(shù),),例,2.,求證,證,:,類似可證,:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則,定理,2.,y,的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo),證,:,在,x,處給增量,由反函數(shù)的單調(diào)性知,且由反函數(shù)的連續(xù)性知,因此,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例,3.,求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),.,解,:,1),設(shè),則,類似可求得,利用,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2),設(shè),則,特別當(dāng),時(shí),小結(jié),:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,在點(diǎn),x,可導(dǎo),三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,定理,3.,在點(diǎn),可導(dǎo),復(fù)合函數(shù),且,在點(diǎn),x,可導(dǎo),證,:,在點(diǎn),u,可導(dǎo),故,（當(dāng) 時(shí),),故有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例如,關(guān)鍵,:,搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo),.,推廣,：,此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形,.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例,5.,設(shè),求,解,:,思考,:,若,存在,如何求,的導(dǎo)數(shù),?,這兩個(gè)記號(hào)含義不同,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例,6,.,設(shè),解,:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題,1.,常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),(P100-101),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2.,有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則,(,C,為常數(shù),),3.,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,4.,初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例,7.,求,解,:,例,8.,設(shè),解,:,求,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例,9.,求,解,:,關(guān)鍵,:,搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例,10.,設(shè),求,解,:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,備用題,1,.,設(shè),解：,2.,設(shè),解,:,其中,可導(dǎo),求,求,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,22,觀察函數(shù),方法,:,先在方程兩邊取對(duì)數(shù),對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,-,適用范圍,:,二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,然后利用求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù),.,23,1),對(duì)冪指函數(shù),可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo),:,說明,:,按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式,按冪函數(shù)求導(dǎo)公式,注意,:,24,例,1.,.,解,:,兩邊取對(duì)數(shù),化為對(duì)隱式求導(dǎo)數(shù),兩邊對(duì),x,求導(dǎo),求,25,例,3,對(duì),x,求導(dǎo),兩邊取對(duì)數(shù),求,三、相關(guān)變化率,為兩可導(dǎo)函數(shù),之間有聯(lián)系,之間也有聯(lián)系,稱為,相關(guān)變化率,相關(guān)變化率問題解法,:,找出相關(guān)變量的關(guān)系式,對(duì),t,求導(dǎo),得相關(guān)變化率之間的,一般關(guān)系式,問題：利用其中一個(gè)變化率求出未知的相關(guān)變化率,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例,7.,一氣球從離開觀察員,500 m,處離地面鉛直上升,其速率為,當(dāng)氣球高度為,500 m,時(shí),觀察員,視線的仰角增加率是多少,?,解,:,設(shè)氣球上升,t,分后其高度為,h,仰角為,則,兩邊對(duì),t,求導(dǎo),已知,h,=500m,時(shí),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,