2016數(shù)列高考題

1.（2016山東高考）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n，是等差數(shù)列，且 （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）令求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. 【解析】(Ⅰ)因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和，所以，當(dāng)時(shí)， ， 又對(duì)也成立，所以． 又因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)公差為，則． 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，， 解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為． (Ⅱ)由， 于是，兩邊同乘以２，得 ，兩式相減，得 ． 2.（2016年上海高考）若無窮數(shù)列滿足：只要，必有，則稱具有性質(zhì). （1）若具有性質(zhì)，且，，求； （2）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，，判斷是否具有性質(zhì)，并說明理由； （3）設(shè)是無窮數(shù)列，已知. 求證：“對(duì)任意都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)已知條件，得到，結(jié)合求解． （2）根據(jù)的公差為，的公比為，寫出通項(xiàng)公式，從而可得． 通過計(jì)算，，，，即知不具有性質(zhì)． （3）從充分性、必要性兩方面加以證明，其中必要性用反證法證明． 試題解析：（1）因?yàn)椋?，，? 于是，又因?yàn)?，解得? （2）的公差為，的公比為， 所以，． ． ，但，，， 所以不具有性質(zhì)． （3）[證]充分性： 當(dāng)為常數(shù)列時(shí)，． 對(duì)任意給定的，只要，則由，必有． 充分性得證． 必要性： 用反證法證明．假設(shè)不是常數(shù)列，則存在， 使得，而． 下面證明存在滿足的，使得，但． 設(shè)，取，使得，則 ，，故存在使得． 取，因?yàn)椋ǎ?，所以? 依此類推，得． 但，即． 所以不具有性質(zhì)，矛盾． 必要性得證． 綜上，“對(duì)任意，都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”． 3.（2016四川高考）已知數(shù)列{}的首項(xiàng)為1， 為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和， ，其中q>0，. （I）若成等差數(shù)列，求an的通項(xiàng)公式； (II)設(shè)雙曲線的離心率為，且，證明：. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析. 解析：（Ⅰ）由已知，兩式相減得到. 又由得到，故對(duì)所有都成立. 所以，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列. 從而. 由成等比數(shù)列，可得，即，則， 由已知,，故 . 所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，. 所以雙曲線的離心率 . 由解得. 因?yàn)椋? 于是，故. 4.（2016天津高考）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為，對(duì)任意的， 是和的等比中項(xiàng). (Ⅰ)設(shè)，求證：是等差數(shù)列； (Ⅱ)設(shè)，求證： 【解析】⑴ 為定值． ∴為等差數(shù)列 ⑵（*） 由已知 將代入（*）式得 ∴，得證 5.（2016年全國II高考）為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如． （Ⅰ）求；（Ⅱ）求數(shù)列的前1 000項(xiàng)和． 【解析】⑴設(shè)　的公差為，， ∴，∴，∴． ∴，，． ⑵　記的前項(xiàng)和為，則 ． 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，． ∴． 6.（2016全國III高考）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中． （I）證明是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（II）若 ，求． 【解析】 5