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1、1.（2016山東高考）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n，是等差數(shù)列，且
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.
【解析】(Ⅰ)因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和，所以，當(dāng)時(shí)，
，
又對(duì)也成立，所以．
又因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)公差為，則．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
(Ⅱ)由，
于是，兩邊同乘以２，得
，兩式相減，得
．
2.（2016年上海高考）若無(wú)窮數(shù)列滿足：只要，必有，則稱具有性質(zhì).
（1）若具有性質(zhì)，且，，求；
（2）若無(wú)窮數(shù)列是等差數(shù)列，無(wú)窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，，判斷是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)是無(wú)窮數(shù)列，
2、已知.
求證：“對(duì)任意都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”.
【解析】
試題分析：（1）根據(jù)已知條件，得到，結(jié)合求解．
（2）根據(jù)的公差為，的公比為，寫出通項(xiàng)公式，從而可得．
通過(guò)計(jì)算，，，，即知不具有性質(zhì)．
（3）從充分性、必要性兩方面加以證明，其中必要性用反證法證明．
試題解析：（1）因?yàn)?，所以，，?
于是，又因?yàn)?，解得?
（2）的公差為，的公比為，
所以，．
．
，但，，，
所以不具有性質(zhì)．
（3）[證]充分性：
當(dāng)為常數(shù)列時(shí)，．
對(duì)任意給定的，只要，則由，必有．
充分性得證．
必要性：
用反證法證明．假設(shè)不是常數(shù)列，則存在，
使得，而．
下面
3、證明存在滿足的，使得，但．
設(shè)，取，使得，則
，，故存在使得．
取，因?yàn)椋ǎ?，所以?
依此類推，得．
但，即．
所以不具有性質(zhì)，矛盾．
必要性得證．
綜上，“對(duì)任意，都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”．
3.（2016四川高考）已知數(shù)列{}的首項(xiàng)為1， 為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和， ，其中q>0，.
（I）若成等差數(shù)列，求an的通項(xiàng)公式；
(II)設(shè)雙曲線的離心率為，且，證明：.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析.
解析：（Ⅰ）由已知，兩式相減得到.
又由得到，故對(duì)所有都成立.
所以，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列.
從而.
由成等比數(shù)列，可得，即，則，
由已
4、知,，故 .
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.
所以雙曲線的離心率 .
由解得.
因?yàn)椋?
于是，故.
4.（2016天津高考）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為，對(duì)任意的，
是和的等比中項(xiàng).
(Ⅰ)設(shè)，求證：是等差數(shù)列；
(Ⅱ)設(shè)，求證：
【解析】⑴
為定值．
∴為等差數(shù)列
⑵（*）
由已知
將代入（*）式得
∴，得證
5.（2016年全國(guó)II高考）為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且記，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如．
（Ⅰ）求；（Ⅱ）求數(shù)列的前1 000項(xiàng)和．
【解析】⑴設(shè) 的公差為，，
∴，∴，∴．
∴，，．
⑵ 記的前項(xiàng)和為，則
．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
∴．
6.（2016全國(guó)III高考）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中．
（I）證明是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（II）若 ，求．
【解析】
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2016數(shù)列高考題
