高等數(shù)學(xué)換元法

單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,教學(xué)目的：,不定積分換元法,教學(xué)重點(diǎn)：,湊微分法,教學(xué)難點(diǎn)：,第二類換元法,第二講 換元法,主視圖,問題,解決方法,利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量,.,過程,令,換元,換元以后再還原,求導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證結(jié)果,湊微分法,第一類換元公式,（,湊微分法,）,說明,使用此公式的關(guān)鍵在于將,定理,1,難,易,湊微分法,證明,證,由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有,可見,),(,x,F,j,是,),(,),(,x,x,f,j,j,的一個(gè)原函數(shù)，故公式,(1),成立,公式（）,說明：當(dāng)積分,不便計(jì)算時(shí)，可考慮將,g,(,x,),化為,的形式，那么,=,=,=,du,u,f,x,d,x,f,dx,x,x,f,dx,x,g,),(,),(,),(,),(,),(,),(,j,j,j,j,(2),對(duì),u,積分求出,),(,u,f,的原函數(shù),),(,u,F,，再以,),(,x,u,j,=,代回即得,所求積分，這種方法稱為,湊微分法,例,1,求,解,（一）,解,（二）,解,（三）,例題,例,2,求,解,一般地,例題,例,3,求,解,例題,例,4,求,解,例題,例,5,求,解,例題,例,6,求,解,例題,例,7,求,解,例題,例,8,求,解,例題,例,9,：求,解：原式,例題,例,10,：求,解：原式,解：原式,=,例,11:,例題,例,12,求,解,例題,例,13,求,解,說明,當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分,.,例題,例,14,求,解,例題,例,15:,求,解,（一）,例題,解,（二）,類似地可推出,例題,思考：以下幾種形式的積分，如何用湊微分法求積,思考,解,例,16,設(shè) 求,.,令,例題,例,17,求,解,換元積分法技巧性強(qiáng)，需要多作練習(xí)，,不斷歸納，積累經(jīng)驗(yàn)，才能靈活運(yùn)用,例題,通過以上例題，可以歸納出如下一般湊微分形式：,湊微分公式,+,+,=,+,),(,),(,1,),(,b,ax,d,b,ax,f,a,dx,b,ax,f,),0,(,a,；,+,+,=,+,),(,),(,2,1,),(,2,2,2,b,ax,d,b,ax,f,a,xdx,b,ax,f,；,),0,(,a,=,x,x,x,x,de,e,f,dx,e,e,f,),(,),(,；,=,x,d,x,f,x,dx,x,f,ln,),(,ln,),(,ln,；,-,=,x,d,x,f,xdx,x,f,cos,),(,cos,sin,),(,cos,；,；,；,；,湊微分公式,回主視圖,問題,解決方法,改變中間變量的設(shè)置方法,.,過程,令,再用,“,湊微分,”,難,易,第二類換元法,證：只要證右端的導(dǎo)數(shù)等于左端的被積函數(shù),定理,2,由復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，有,第二類換元法,第二類積分換元公式,注：,1,）保證代換,x=,(t),的單調(diào)連續(xù)（有反函數(shù)）；,代換,x,=,(t),，,一起換。,利用第二類換元法求不定積分的關(guān)鍵 在,于選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q第二類換元法常用,于求無理函數(shù)的積分,.,注意,被積函數(shù)含有根式,解,:,注,:,一般地說，當(dāng)被積函數(shù)含有形如,:,的根號(hào)時(shí)，可作代換,有理根式積分,解,:,設(shè),，于是,該例可利用湊微分法求解，而且更簡潔：,例題,被積函數(shù)含有,或,例,18,:,求,解,:,被積函數(shù)含有,為此可令,化去根式 此時(shí),于是,二次根式,由于,，故,故,t,a,x,也可用圖解法,(,右圖,),直接得到,:,例題,例,19,求,解,令,例題,例,20:,求,解,令,例題,例,18,求,解,令,例題,說明,(3),:,以上幾例所使用的均為,三角代換,.,三角代換的,目的,是化掉根式,.,一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有,可令,可令,可令,說明,積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換并不是絕對(duì)的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定,.,說明,(2),例,19,求,（三角代換很繁瑣）,令,解,例題,例,20,求,解,令,例題,說明,(3),當(dāng)分母的階較高時(shí),可采用,倒代換,例,21,求,令,解,例題,例,22,求,解,令,（分母的階較高）,例題,倒代換,:,例題,本節(jié)得到的一些積分結(jié)果常作公式使用,擴(kuò)充積分公式,習(xí)題,4,2,1,填空：,習(xí)題,3,設(shè),，求,4,求下列不定積分：,(1),(2),(3),(4),(8),(7),(6),(5),(9),(10),習(xí)題,5,寫出計(jì)算下列積分時(shí)所需之變換：,(1),(2),(4),(3),6,求下列不定積分：,(4),(3),(2),(1),習(xí)題,回主視圖,