離散小波變換與正交小波

*,單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,2.5 離散小波變換 與正交小波,設(shè) 為母小波，記,1.離散小波變換,則稱,為離散小波變換,2.正交小波,定義：,設(shè)有允許小波,，記,，,其中,為任意的整數(shù)。如果函數(shù)族,構(gòu)成空間,的標準正交基,則稱,是正交小波,母函數(shù)或簡稱正交小波,稱為正交小波基。,函數(shù)族,正交小波,對任意,，存在唯一的展式：,其中,稱為,的,小波系數(shù),正交小波級數(shù)分解,小波系數(shù)實質(zhì)上是離散小波變換，前面所得的二進離,散小波與連續(xù)小波雖不會損失信息，但會產(chǎn)生冗余，而正,交小波則可以使變換后所產(chǎn)生的冗余消失。,正交小波,正交小波的例：,例5.1,經(jīng)過二進伸縮與平移可得到,是,的一個標準正交基，但此小波基是一族階梯,函數(shù)，連續(xù)性較差，不適合分析光滑性較好的信號。它的時間局部性非常好，但頻域局部性不好,Haar小波,定理5.1 函數(shù)系,為標準正交系當且僅當,3.平移正交判定定理,證明：標準正交,而,周期,正交小波,Shannon小波,的一切平移所生成的函數(shù)系,構(gòu)成了子空間,的一個標準正交基,尺度函數(shù),令,，則,具有標準正交基,例5.2,正交小波,且對任意,有,于是,正交小波,令,在時域，Shannon小波是無限次可微的，具有無窮階消失矩，不是緊支的，具有漸近衰減性但較緩慢；在頻域，是頻率帶限函數(shù)，具有好的局部化特性。,它的整的平移族,的標準正交基,的標準正交基,對任意,Shannon小波基,例 5.3,考慮線性樣條函數(shù),從幾何上看，,顯然是一個基本小波,易知,這里,是個帳篷函數(shù),定理 4.2 平移正交構(gòu)造定理,若,不構(gòu)成標準正交基，則可令,于是 構(gòu)成標準正交基,