浙江省永嘉縣2024屆高三數(shù)學下學期模擬考試試題卷[含答案]

2024屆高考數(shù)學模擬卷試題卷 本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘. 注意事項： 1. 答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫在答題卷上，將條形碼橫貼在答題卷右上角“條形碼粘貼處”. 2. 作答選擇題時，選出每小題的答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試題卷上. 3. 非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效. 4. 考生必須保持答題卷的整潔，不要折疊、不要弄破. 選擇題部分 (共58分) 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合合題目要求的. 1. 已知定義域為的函數(shù)，求出是（） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用賦值即可求解. 【詳解】令則， 令則，所以， 故選：D 2. 集合,則以下可以是的表達式的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本函數(shù)的導數(shù)，分別對各個選項對應的函數(shù)求導，再利用集合的互異性，即可求出結果. 【詳解】對于選項A，因為，所以，，，，不滿足集合的互異性，所以選項A錯誤， 對于選項B，因為，所以，不滿足集合的互異性，所以選項B錯誤， 對于選項C，因為，所以，，，，所以選項C正確， 對于選項D，因為，所以，，，，后面再求導，導數(shù)均為，不滿足集合的互異性，所以選項D錯誤， 故選：C. 3. 若，，則的最小值是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助誘導公式與輔助角公式化簡后利用三角函數(shù)值域可得、，即可得的最小值. 【詳解】 ， 由，故， 則，，且、， 即，且、， 故當時，有最小值. 故選：B. 4. 已知拋物線，則焦準距（） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根據(jù)標準方程可得，即可根據(jù)的幾何意義求解. 【詳解】由可得，所以， 故焦準距為， 故選：D 5. 邊長為2的立方體被一個平面所截，截得的截面圖形面積最大值為（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】當截面過立方體中心且過兩條側棱時，截面面積最大，得出截面后計算即可得. 【詳解】當截面過立方體中心且過兩條側棱時，其截面面積最大， 如圖所示矩形符合要求， 此時截面面積為. 故選：A. 6. ，求的值為（）. A. 922 B. 923 C. 924 D. 925 【答案】B 【解析】 【分析】代入求和公式，算出組合數(shù)的值即可. 【詳解】由題意知 . 故選：B. 7. 平面上的兩個點A()，B()，其中橫縱坐標均為自然數(shù)，且不大于5，則兩點之間的距離可以有多少種取值（） A. 19 B. 20 C. 25 D. 27 【答案】A 【解析】 【分析】依題先確定中任意兩個數(shù)的差的絕對值的所有可能值有共6個，推得與的可能的取值都分別有共6個，再結合兩點間距離公式，考慮的不同取值即得. 【詳解】依題意，，且均不大于5， 將其中任意兩個數(shù)的差的絕對值記為，則可能的值有共6個， 而A()，B()之間的距離為, 而與的可能的取值都分別有共6個， 故的不同取值可分成五類： ①與中有一個取0，另一個可取六個數(shù)，則|AB|的不同取值有：； ②與中有一個取1，另一個可取五個數(shù)，則|AB|的不同取值有：； ③ 與中有一個取2，另一個可取四個數(shù)，則|AB|的不同取值有：； ④ 與中有一個取3，另一個可取兩個數(shù)，則|AB|的不同取值有： ⑤ 與中有一個取4，另一個可取兩個數(shù)，則|AB|的不同取值有：. 由分類加法計數(shù)原理可得，不同的取值共有6+5+4+2+2=19個. 故選：A. 8. 古希臘著名的約瑟夫環(huán)問題講的是：共有127個士兵，圍成一個環(huán)，從一號位的士兵開始，每個存活下來的人依次殺死相鄰的下一位士兵，若一名叫做約瑟夫的士兵想要存活到最后，那么他最開始應當站在幾號位上？（） A1 B. 63 C. 127 D. 31 【答案】C 【解析】 【分析】由約瑟夫環(huán)原理，第一輪過后剩下號位為1到127的奇數(shù)號士兵，然后每個號位數(shù)加1后除2得到新一輪編號，進行下一輪剩下的是編號為2的倍數(shù)的士兵，再下一輪剩下的是編號為4的倍數(shù)的士兵，以此類推，最后剩下的是編號為64的士兵，即為最開始編號為127的士兵. 【詳解】由題意，從一號位的士兵開始，每個存活下來的人依次殺死相鄰的下一位士兵，殺死所有偶數(shù)號士兵后，還剩64個士兵， 號位為1到127的奇數(shù)號士兵，每個號位數(shù)加1后除2得到新一輪編號， 64是2的冪，則進行下一輪剩下的是編號為2的倍數(shù)的士兵，再下一輪剩下的是編號為4的倍數(shù)的士兵， 以此類推，最后剩下是編號為64的士兵，即為最開始編號為127的士兵， 所以叫做約瑟夫的士兵想要存活到最后，那么他最開始應當站在127號位上. 故選：C. 【點睛】方法點睛：約瑟夫環(huán)原理的內(nèi)容， 起始狀態(tài)，有n個人圍成一圈，每個人有一個唯一的編號從1到n； 報數(shù)規(guī)則，從某個人開始，按照順時針方向報數(shù)，數(shù)到m的人將被移除出圈； 重復過程，接下來從下一個人開始繼續(xù)報數(shù)，直到圈中只剩下一個人. 關鍵在于理解并應用遞推關系，假設表示在n個人中，按照報數(shù)規(guī)則m進行，最后存活的人的編號. 那么可以通過遞推公式計算得出：，這個公式表明，最后存活的人的編號是基于初始時圈中人的排列順序的. 此外，約瑟夫環(huán)問題也可以使用其他方法解決，例如數(shù)組模擬、鏈表處理或公式法。這些方法各有優(yōu)劣，但核心原理是相同的，通過模擬或計算，找出在特定的報數(shù)規(guī)則下，最后存活的人的編號. 二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分. 9. 已知單位向量共面，則下列說法中正確的是（） A. 若，則 B. 若，則 C. 若，則 D. 若，則 【答案】BD 【解析】 【分析】根據(jù)題意，結合向量的運算法則，以及向量的夾角公式，逐項判定，即可求解. 【詳解】由，可得，即， 可得，所以，所以A不正確，B正確； 因為向量為單位向量，可得， 又由，可得，則，即， 可得，所以， 因為，所以，所以C錯誤； 由，可得，則，可得， 所以，因為，所以，所以D正確. 故選：BD. 10. 已知，，且則以下正確的是（） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先利用因式分解法得，再通過證明，可知只有一解即：，然后把選項中的代換為并進行化簡可得A正確，C錯誤，而BD則需要構造為關于的函數(shù)，利用求導法來判斷單調(diào)性和最值，從而得證． 【詳解】由因式分解可得：， 又因為，可知，即， 又由函數(shù)，求導， 當時，，可知在上遞減， 當時，，可知在上遞增， 所以在時取到最小值為0，有 即不等式成立，所以， 由可得：，即， 對于選項A，，所以選項A的正確的； 對于選項B，，構造函數(shù)，求導， 由時，，所以在上遞增， 即，因為，所以，所以選項B是正確的； 對于選項C，與不可能等價，所以選項C是錯誤的； 對于選項D，，構造函數(shù)，求導， 由時，，所以在上遞增， 由時，，所以在上遞減， 所以的最大值是，即，所以選項D是正確的； 故選：ABD. 11. 若，，則下列說法中正確的有（） A. B. C. 的解集是 D. 的最小值是 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】代入求，即可得A正確，求導即可判斷B正確，定義新函數(shù)求導解不等式即可得到C選項正確，運用基本不等式可得到的最小值. 【詳解】因為，， 所以，A正確； 因為，，所以B正確； 的解集，即的解集，， 當且僅當時等號成立，所以在R上單調(diào)遞增， 且，所以解集為，所以C正確； ，當，即時取到最小值為1，所以D錯誤. 故選：ABC. 非選擇題部分 (共92分) 三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上. 12. 給定定點，對任意可能的，及函數(shù)的圖象上的任意可能的點，的最小值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】先證明，然后給出，，說明等號可以取得即可. 【詳解】設，則. . 從而無論怎樣都有，即. 當且僅當時，有，此時. 所以的最小值是. 故答案為：. 13. 不計容器壁厚度的有蓋立方體容器的邊長是1，向其中放入兩個小球，則這兩個小球的體積之和的最大值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根據(jù)正方體內(nèi)切球的特征結合球的體積公式及二次函數(shù)性質(zhì)求最值計算即可. 【詳解】 如上圖所示，當兩個小球內(nèi)切于正方體，且兩個小球也相切， 球心位于體對角線上時球的體積可取最大，設兩個小球的半徑分別為， 作出橫截面如下圖，不妨設分別切于， 則有， 不妨設，易知，則， 則兩球體積之和為， 又， 顯然當時取得最大值，此時. 故答案為：. 14. 橢圓右焦點是F，過F的直線交橢圓C于A，B兩點.點O是坐標原點，若直線AB上存在異于F的點P，使得，則的取值范圍是_____. 【答案】 【解析】 【分析】分類討論直線AB的斜率是否為0，設設，聯(lián)立方程，由數(shù)量積結合韋達定理可得，結合基本不等式運算求解即可. 【詳解】由題意可知：，則， 因為直線AB過F，可知直線AB與橢圓必相交， 若直線AB的斜率為0，即直線AB為x軸，不妨設， 則， 因為，則，解得， 當，此時點即為點，不合題意； 當，此時點，； 若直線AB的斜率不為0，設， 則， 聯(lián)立方程，消去x得， 則， 因為，則， 可得， 整理得，則，， 即， 可得， 因為，則，當且僅當，即時，等號成立， 可得，所以； 綜上所述：的取值范圍是. 故答案為：. 【點睛】方法點睛：解決圓錐曲線中范圍問題的方法 一般題目中沒有給出明確的不等關系，首先需要根據(jù)已知條件進行轉化，利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)及曲線上點的坐標確定不等關系；然后構造目標函數(shù)，把原問題轉化為求函數(shù)的值域或引入?yún)?shù)根據(jù)參數(shù)范圍求解，解題時應注意挖掘題目中的隱含條件，尋找量與量之間的轉化． 四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 15. 的角對應邊是a，b，c，三角形的重心是O.已知. （1）求a的長. （2）求的面積. 【答案】（1）； （2）18. 【解析】 【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用三角形重心的向量表示，結合數(shù)量積的運算律求出a的長. （2）由（1）的信息，利用三角形面積公式，結合三角形重心的性質(zhì)計算即得. 【小問1詳解】 在中，由O是重心，得，即有， 于是，解得， 而，所以. 【小問2詳解】 由（1）得，又O是重心， 所以的面積. 16函數(shù) （1）求的單調(diào)區(qū)間. （2）若在時恒成立，求的取值范圍. 【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間是 （2） 【解析】 【分析】（1）對函數(shù)求導有，根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間即可； （2）構造函數(shù)，將問題轉化為：在時恒成立，求的取值范圍；根據(jù)，求出命題成立的必要條件，再驗證充分性即可確定的取值范圍. 【小問1詳解】 因為， 所以，定義域為， 令，即，即， 解得， 所以當時，，單調(diào)遞增； 當時，，單調(diào)遞減； 綜上所述，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是. 【小問2詳解】 記，則， 所以， 根據(jù)題意原題可化為：在時恒成立，求的取值范圍； 因為，所以在時恒成立的必要條件為， 即，即； 構造函數(shù)，則， 所以在上單調(diào)遞增，所以， 所以有，即在上恒成立， 令，當時，有， 所以在上恒成立， 因為，不等式兩邊同時乘以， 有在上恒成立， 即在上恒成立， 即時，在上恒成立， 綜上，是在時恒成立的充要條件， 所以的取值范圍為. 【點睛】方法點睛：恒（能）成立問題的解法： 若在區(qū)間上有最值，則 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 若能分離常數(shù)，即將問題轉化為：（或），則 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 17. 已知橢圓：，左右頂點分別是，，橢圓的離心率是.點是直線上的點，直線與分別交橢圓于另外兩點，. （1）求橢圓的方程. （2）若，求出的值. （3）試證明：直線過定點. 【答案】（1） （2） （3）證明見解析 【解析】 【分析】（1）由題意結合計算即可得； （2）設出點坐標，借助斜率公式計算即可得； （3）設出直線方程，聯(lián)立曲線方程，借助韋達定理與（2）中所得計算即可得. 【小問1詳解】 由題意可得，，即， 所以，則橢圓； 【小問2詳解】 設，由于，則； 【小問3詳解】 顯然MN斜率不為0，設：，，， 聯(lián)立方程，則有， ， 則有，， 由于，則， 因為， 故， 即，解得或， 當時，，故舍去，即，適合題意， 故: ，則直線過定點. 18. 在坐標平面內(nèi)的區(qū)域，隨機生成一個橫縱坐標均為整數(shù)的一個整點，記該點到坐標原點的距離是隨機變量X 相關公式: （1）當時，寫出X的分布列和期望. （2）記隨機變量與分別表示的橫縱坐標. ①求出的期望 ②現(xiàn)在實際上選取了四個點嘗試運用樣本的平均值去估計數(shù)學期望，以此來得到估計值 (四舍五入取整). （3）記方差，試證明. 【答案】（1）分布列見解析，期望 （2）①，②8 （3）證明見解析 【解析】 【分析】（1）根據(jù)題意寫出的分布列并計算期望. （2）①根據(jù)期望的性質(zhì)求解；②根據(jù)已知條件求平均數(shù)，然后求解數(shù)據(jù)； （3）根據(jù)方差的計算公式，進行證明求解. 【小問1詳解】 整點有， 故的取值為，則分布列： X 0 1 2 P 期望 【小問2詳解】 ①， 所以 ②，所以平均數(shù)是 7.75. 所以取，四舍五入取 【小問3詳解】 先求, 則方差成立 19. 復平面是人類漫漫數(shù)學歷史中的一副佳作，他以虛無縹緲的數(shù)字展示了人類數(shù)學最純粹的浪漫．歐拉公式可以說是這座數(shù)學王座上最璀璨的明珠，相關的內(nèi)容是，歐拉公式:，其中表示虛數(shù)單位，是自然對數(shù)的底數(shù)．數(shù)學家泰勒對此也提出了相關公式:其中的感嘆號!表示階乘，試回答下列問題： （1）試證明歐拉公式． （2）利用歐拉公式，求出以下方程的所有復數(shù)解． ①；②； （3）求出角度的倍角公式(用表示，)． 【答案】（1）證明見解析 （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）根據(jù)泰勒展開式，結合虛數(shù)的運算法則即可證明； （2）利用歐拉公式，同角三角函數(shù)關系及對數(shù)運算即可求解； （3）根據(jù)二項式定理及同角三角函數(shù)的平方關系即可求解． 【小問1詳解】 證明：令， 則 因為 所以，即 【小問2詳解】 ①因為，， 所以； ②由得，， 所以，， 由得，當時，， 所以，兩邊同時取對數(shù)得，， 解得， 【小問3詳解】 令實部相等， 即得． 【點睛】關鍵點睛：第三問中，應用及二項式定理，結合復數(shù)相等即可證明．