2019-2020年高中數(shù)學 2.3.1 等比數(shù)列教案 新人教B版必修5.doc

《2019-2020年高中數(shù)學 2.3.1 等比數(shù)列教案 新人教B版必修5.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020年高中數(shù)學 2.3.1 等比數(shù)列教案 新人教B版必修5.doc（19頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高中數(shù)學 2.3.1 等比數(shù)列教案 新人教B版必修5 教學分析　　　　　 等比數(shù)列與等差數(shù)列在內(nèi)容上是完全平行的，包括定義、性質(zhì)、通項公式等，兩個數(shù)的等差(等比)中項、兩種數(shù)列在函數(shù)角度下的解釋等，因此在教學時要充分利用類比的方法，以便于弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別． 等比數(shù)列是另一個簡單常見的數(shù)列，研究內(nèi)容可與等差數(shù)列類比，這是本節(jié)的中心思想方法．本節(jié)首先歸納出等比數(shù)列的定義，導出通項公式，進而研究圖象，又給出等比中項的概念，最后是通項公式的應用． 等比數(shù)列概念的引入，可按教材給出的幾個具體的例子，由學生概括這些數(shù)列的相同特征，從而得到等比數(shù)列的定義．也可將幾個等差數(shù)列和幾個等比數(shù)列混在一起給出，由學生將這些數(shù)列進行分類，由此對比地概括等比數(shù)列的定義．根據(jù)定義讓學生分析等比數(shù)列的公比不為0，以及每一項均不為0的特性，加深對概念的理解．啟發(fā)學生用函數(shù)觀點認識通項公式，由通項公式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到指數(shù)函數(shù)進而畫出數(shù)列的圖象． 由于有了等差數(shù)列的研究經(jīng)驗，等比數(shù)列的研究完全可以放手讓學生自己解決，充分利用類比思想，教師只需把握課堂的節(jié)奏，真正作為一節(jié)課的組織者、引導者出現(xiàn)，充分發(fā)揮學生的主體作用． 大量的數(shù)學思想方法滲透是本章的特色，如類比思想、歸納思想、數(shù)形結(jié)合思想、算法思想、方程思想、一般到特殊的思想等，在教學中要充分體現(xiàn)這些重要的數(shù)學思想方法，所有能力的體現(xiàn)最終歸結(jié)為數(shù)學思想方法的體現(xiàn)． 三維目標　　　　　 1．通過實例，理解等比數(shù)列的概念；探索并掌握等比數(shù)列的通項公式、性質(zhì)，能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關系，提高數(shù)學建模能力；體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系． 2．通過現(xiàn)實生活中大量存在的數(shù)列模型，讓學生充分感受到數(shù)列是反映現(xiàn)實生活的模型，體會數(shù)學是豐富多彩的而不是枯燥無味的，達到提高學生學習興趣的目的． 3．通過對等比數(shù)列概念的歸納，進一步培養(yǎng)學生嚴密的思維習慣和嚴謹?shù)目茖W態(tài)度．體會探究過程中的主體作用及探究問題的方法，經(jīng)歷解決問題的全過程． 重點難點　　　　　 教學重點：掌握等比數(shù)列的定義；理解等比數(shù)列的通項公式及推導． 教學難點：靈活應用等比數(shù)列的定義及通項公式解決相關問題，在具體問題中抽象出等比數(shù)列模型及掌握重要的數(shù)學思想方法． 課時安排　　　　　 2課時 教學過程 第1課時 導入新課　　　　　 思路1.(情境引入)將一張厚度為0.044 mm的白紙一次又一次地對折，如果對折1 000次(假設是可能的)，紙的厚度將是4.410296 m，相當于約5.010292個珠穆朗瑪峰的高度和，這可能嗎？但是一位數(shù)學家曾經(jīng)說過：你如果能將一張報紙對折38次，我就能順著它在今天晚上爬上月球．將一張報紙對折會有那么大的厚度嗎？這就是我們今天要解決的問題，讓學生帶著這大大的疑問來展開新課． 思路2.(實例導入)先給出四個數(shù)列： 1,2,4,8,16，…… 1，－1,1，－1,1，…… －4,2，－1，…… 1,1,1,1,1，…… 由學生自己去探究這四個數(shù)列，每個數(shù)列相鄰兩項之間有什么關系？這四個數(shù)列有什么共同點？讓學生觀察這些數(shù)列與上節(jié)課學習的等差數(shù)列有什么不同？由此引入新課． 推進新課　　　　　 (1)回憶等差數(shù)列的概念及等差數(shù)列的通項公式的推導方法. (2)閱讀課本本節(jié)內(nèi)容的①②③3個背景實例，領會三個實例所傳達的思想，寫出由3個實例所得到的數(shù)列. (3)觀察數(shù)列①②③，它們有什么共同的特征？你能再舉出2個與其特征相同的數(shù)列嗎？ (4)類比等差數(shù)列的定義，怎樣用恰當?shù)恼Z言給出等比數(shù)列的定義？ (5)類比等差中項的概念，你能說出什么是等比中項嗎？它與等差中項有什么不同？ (6)你能舉出既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的例子嗎？ (7)類比等差數(shù)列通項公式的推導過程，你能推導出等比數(shù)列的通項公式嗎？ (8)類比等差數(shù)列通項公式與一次函數(shù)的關系，你能說明等比數(shù)列的通項公式與指數(shù)函數(shù)的關系嗎？ 活動：教師引導學生回憶等差數(shù)列概念的學習過程，指導學生閱讀并分析教科書中給出的3個實例． 引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)列①②③的共同特點： 對于數(shù)列①，從第2項起，每一項與前一項的比都等于2； 對于數(shù)列②，從第2項起，每一項與前一項的比都等于3； 對于數(shù)列③，從第2項起，每一項與前一項的比都等于－. 也就是說，這些數(shù)列有一個共同的特點：從第2項起，每一項與前一項的比都等于同一常數(shù)，這里仍是后項比前項，而不是前項比后項，具有這樣特點的數(shù)列我們稱之為等比數(shù)列．讓學生類比等差數(shù)列給出等比數(shù)列的定義： 一般地，如果一個數(shù)列，從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列． 這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示，顯然q≠0，上面的三個數(shù)列都是等比數(shù)列，公比依次是2,3，－. ①給出等比數(shù)列的定義后，讓學生嘗試用遞推公式描述等比數(shù)列的定義，即a1＝a，an＋1＝anq(n＝1,2,3，…)． ②再讓學生思考既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列的數(shù)列存在嗎？學生思考后很快會舉出1,1,1，…既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列，其公比為1，公差為0. 教師可再提出：常數(shù)列都是等比數(shù)列嗎？讓學生充分討論后可得出0,0,0，…是常數(shù)列，但不是等比數(shù)列． ③至此，學生已經(jīng)清晰了等比數(shù)列的概念，比如，從等比數(shù)列定義知，等比數(shù)列中的任意一項不為零，公比可以為正，可以為負，但不能為0. ④類比等差中項的概念，我們可得出等比中項的概念：如果三個數(shù)x，G，y組成等比數(shù)列，則G叫做x和y的等比中項．如果G是x和y的等比中項，那么＝，即G2＝xy，G＝.因此同號的兩個數(shù)的等比中項有兩個，它們互為相反數(shù)，一個正數(shù)和一個負數(shù)沒有等比中項．顯然，在一個等比數(shù)列中，從第2項起，每一項(有窮數(shù)列末項除外)都是它的前一項與后一項的等比中項；反之，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等比中項，那么這個數(shù)列是等比數(shù)列． 課件演示：不完全歸納法得到等差數(shù)列通項公式的過程： a2＝a1＋d， a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d， a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d， …… 歸納得到an＝a1＋(n－1)d. 類比這個過程，可得等比數(shù)列通項公式的歸納過程如下： a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， …… 歸納得到an＝a1qn－1. 這樣做可以幫助學生體會歸納推理對于發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學結(jié)論的作用．這個結(jié)論的正確性可用后面的數(shù)學歸納法進行嚴格證明，現(xiàn)在我們先承認它． 下面我們再類比等差數(shù)列，探究推導等比數(shù)列通項公式的其他方法： ∵{an}是等比數(shù)列， ∴＝q，＝q，＝q，…，＝q. 把以上n－1個等式兩邊分別乘到一起，即疊乘，則可得到 ＝qn－1， 于是得到an＝a1qn－1. 對于通項公式，教師引導學生明確這樣幾點： (1)不要把公式錯誤地寫成an＝a1qn. (2)對公比q，要和等差數(shù)列的公差一樣，強調(diào)“從第2項起，每一項與它的前一項的比”，不要把相鄰兩項的比的次序顛倒，且公比q可以為正，可以為負，但不能為0. (3)在等比數(shù)列a，aq，aq2，aq3，…中，當a＝0時，一切項都等于0；當q＝0時，第二項以后的項都等于0，這不符合等比數(shù)列的定義．因此等比數(shù)列的首項和公比都不能為0. (4)類比等差數(shù)列中d＞0，d＜0時的情況，若q＞0，則相鄰兩項符號同號，若q＜0，則各項符號異號；若q＝1，則等比數(shù)列為非零常數(shù)列；若q＝－1，則為如2，－2,2，－2，…這樣的數(shù)列；若|q|＜1，則數(shù)列各項的絕對值遞減． 最后讓學生完成下表，從定義、通項公式比較等差數(shù)列、等比數(shù)列的異同，加深概念的理解． 等差數(shù)列 等比數(shù)列 定義 從第2項起，每一項與它前一項的差都是同一個常數(shù) 從第2項起，每一項與它前一項的比都是同一個常數(shù) 首項、公差(公比)取值有無限制 沒有任何限制 首項、公比都不能為0 通項公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1 討論結(jié)果：(1)～(3)略． (4)等比數(shù)列定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列． (5)并不是所有的兩個數(shù)都有等比中項． (6)除0外的常數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列． (7)(8)略． 例1由下面等比數(shù)列的通項公式，求首項與公比． (1)an＝2n； (2)an＝10n. 活動：本例的目的是讓學生熟悉等比數(shù)列的概念及通項公式，可由學生口答或互相提問． 解：(1)an＝22n－1， ∴a1＝2，q＝2. (2)∵an＝1010n－1， ∴a1＝10＝，q＝10. 點評：可通過通項公式直接求首項，再求公比．如(1)中，a1＝21＝2，a2＝22＝4，∴q＝2. 變式訓練 　設a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，其公比為2，則的值為(　　) A. B. C. D．1 答案：A 解析：由題意，知a2＝a1q＝2a1，a3＝a1q2＝4a1，a4＝a1q3＝8a1， ∴＝＝. 例2(教材本節(jié)例3) 活動：本例是等比數(shù)列通項公式的靈活運用，可讓學生自己完成． 點評：解完本例后，啟發(fā)引導學生觀察a5，a10，a15，a20的規(guī)律． 變式訓練 　已知{an}為等比數(shù)列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通項公式． 解：設等比數(shù)列{an}的公比為q，則q≠0. ∵a2＝＝，a4＝a3q＝2q， ∴＋2q＝. 解得q1＝，q2＝3. 當q＝時，a1＝18. ∴an＝18()n－1＝＝233－n. 當q＝3時，a1＝， ∴an＝3n－1＝23n－3. 例3已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)求證：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列； (2)求an的表達式． 活動：教師引導學生觀察，數(shù)列{an}不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，要求an的表達式，通過轉(zhuǎn)化{an＋1}是等比數(shù)列來求解． 解：(1)證明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)． ∵a1＝1，故a1＋1≠0，則有＝2. ∴{an＋1}是等比數(shù)列． (2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2為首項，以2為公比的等比數(shù)列， ∴an＋1＝22n－1，即an＝2n－1. 點評：教師引導學生進行解后反思．如本題(1)，不能忽視對an＋1≠0的說明，因為在等比數(shù)列{an}中，an≠0，且公比q≠0，否則解題會出現(xiàn)漏洞． 變式訓練 　已知數(shù)列{lgan}是等差數(shù)列，求證：{an}是等比數(shù)列． 證明：∵{lgan}是等差數(shù)列，設公差為d， 則lgan＋1－lgan＝d，即＝10d(常數(shù))． ∴{an}是等比數(shù)列． 1．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7等于(　　) A．64 B．81 C．128 D．243 2．在等比數(shù)列中，已知首項為，末項為，公比為，則項數(shù)為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案： 1．A　解析：由a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，知q＝2，a1＝1. 所以a7＝a1q6＝64. 2．B　解析：設等比數(shù)列為{an}． 又∵a1＝，q＝，an＝，∴qn－1＝，即()n－1＝. ∴n－1＝3，n＝4，即項數(shù)為4. 1．讓學生歸納總結(jié)本節(jié)學習內(nèi)容：等比數(shù)列的概念和等比數(shù)列的通項公式的推導及簡單的應用，等比數(shù)列的證明方法．可讓學生對比小結(jié)等差數(shù)列與等比數(shù)列的知識，對比各自性質(zhì)的異同，讓學生用列表的形式給出． 2．教師點出，通過本節(jié)內(nèi)容的學習，在掌握知識的同時，我們還學到了探究新問題的方法，提高了我們解決問題的能力，進一步明確了學習必須經(jīng)歷探究問題全過程的意義，必須領悟凝練數(shù)學思想方法． 課本習題2—3 A組1；習題2—3 B組1. 設計感想 本教案設計將類比思想貫穿整節(jié)課始終，等差數(shù)列和等比數(shù)列具有極其相似的特點，比較它們的結(jié)構(gòu)和運算性質(zhì)，運用類比的方法，可使很多相關性質(zhì)得以類比和遷移；讓學生體會到：有些看似陌生的知識并不都是高不可攀的事情，通過我們的努力，也可以做一些看似數(shù)學家才能完成的事． 本教案設計加強了實際背景的教學，等比數(shù)列有著非常廣泛的實際應用：如產(chǎn)品規(guī)格設計的問題；儲蓄，分期付款的有關計算等等．教學時不是簡單地告訴學生等比數(shù)列的定義及通項公式的內(nèi)容，而是通過實際問題創(chuàng)設一些數(shù)學情境，讓學生自己去發(fā)現(xiàn)，去探索其意義． 本教案設計突出了數(shù)學思維的訓練，數(shù)學是思維的體操，是培養(yǎng)學生分析問題，解決問題的能力及創(chuàng)造能力的載體．新課程倡導強調(diào)過程，強調(diào)學生探索新知識的經(jīng)歷和獲得新知的體驗，不再讓教學脫離學生的內(nèi)心感受，必須讓學生追求過程的體驗，學生的思維能力就是在這種過程的體驗中逐漸提高的． (設計者：張曉君) 第2課時 導入新課　　　　　 思路1：(類比導入)等差數(shù)列具有豐富而重要的性質(zhì)，通過復習等差數(shù)列的性質(zhì)，由學生猜想并證明等比數(shù)列的性質(zhì)．這樣既復習了舊知識，同時又讓學生經(jīng)歷了知識的發(fā)現(xiàn)過程，這種引入符合新課程理念． 思路2：讓學生先完成本節(jié)的思考與討論及探索與研究，借助學生的探究，師生共同歸納出相關性質(zhì)，自然地引入新課．(這種從課本上的練習題入手的方法，其好處是：直截了當，節(jié)省課堂時間，教師也比較輕松，只是學生的思維活動層次較第一種弱一些，但也是一種不錯的導入選擇) 推進新課　　　　　 (1)回憶上節(jié)課等比數(shù)列的概念，等比中項、通項公式的概念. (2)回憶怎樣證明一個數(shù)列是等比數(shù)列？ (3)類比等差數(shù)列的圖象與一次函數(shù)的圖象之間的關系，探究等比數(shù)列的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象之間的關系. (4)類比等差數(shù)列的性質(zhì)，你能探究出等比數(shù)列有哪些重要結(jié)論？ 活動：教師引導學生對上一節(jié)課的探究做一簡要回顧，借以熟悉等比數(shù)列的有關概念，為進一步探究做好必要的準備，然后讓學生借助信息技術或用描點作圖畫出課本“探究”中(2)(3)要求的圖象(如圖)，說說通項公式為an＝2n－1的數(shù)列的圖象和函數(shù)y＝2x－1的圖象的關系．然后交流、討論，歸納出二者之間的關系．事實上，等比數(shù)列的通項公式可整理為an＝qn，而y＝qx(q≠1)是一個不為零的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)qx的乘積．從圖象上看，表示數(shù)列{qn}中的各項的點是函數(shù)y＝qx的圖象上的孤立點． 和等差數(shù)列一樣，等比數(shù)列中蘊涵著許多重要的性質(zhì)，類比等差數(shù)列的探究方法，教師與學生一起探究． 就任一等差數(shù)列{an}，計算a7＋a10，a8＋a9和a10＋a40，a20＋a30，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？從等差數(shù)列和函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來分析這個問題，在等比數(shù)列中會有怎樣的類似結(jié)論？ 在等差數(shù)列{an}中，我們已經(jīng)探究了，若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，那么我們可以類比猜想：對于等比數(shù)列{an}，若m＋n＝p＋s(m、n、p、s∈N*)，則aman＝apas.讓學生對此給出證明． 證明：設等比數(shù)列{an}的公比為q， 則有aman＝a1qm－1a1qn－1＝aqm＋n－2，apas＝a1qp－1a1qs－1＝aqp＋s－2， ∵m＋n＝p＋s，∴有aman＝apas. 經(jīng)過這個證明過程，我們得到了等比數(shù)列的一個重要性質(zhì)，即等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋s(m，n，p，s∈N*)，則有aman＝apas. 結(jié)合等比中項，我們很容易有這樣的結(jié)論： (1)與首末兩項等距離的兩項之積等于首末兩項的積； (2)與某一項距離相等的兩項之積等于這一項的平方． 結(jié)合上節(jié)學習的內(nèi)容，教師與學生一起探究歸納可得到等比數(shù)列以下重要結(jié)論： 1．等比數(shù)列的判斷方法 (1)an＝an－1q(n≥2，q是不等于零的常數(shù)，an－1≠0){an}是等比數(shù)列． (2)a＝an－1an＋1(n≥2，an－1，an，an＋1≠0){an}是等比數(shù)列． (3)an＝cqn(c、q均是不為零的常數(shù)){an}是等比數(shù)列． 2．主要性質(zhì) (1)當q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時，{an}是遞增數(shù)列；當q＞1，a＜0或0＜q＜1，a1＞0時，{an}是遞減數(shù)列，當q＝1時，{an}是常數(shù)列；當q＜0時，{an}是擺動數(shù)列． (2)an＝amqn－m(m、n∈N*)． (3)當m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)時，有aman＝apaq. (4)當數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列時，數(shù)列{lgan}是公差為lgq的等差數(shù)列． (5)數(shù)列{an}中，公比q≠1，則連續(xù)取相鄰兩項的和(或差)構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列． 學習等比數(shù)列時，時刻與等差數(shù)列進行對比，學會用類比、方程的思想解決問題． 討論結(jié)果：(1)讓學生默寫． (2)有3種證明方法，比較常用的方法是：a＝an－1an＋1(n≥2，an－1，an，an＋1≠0){an}是等比數(shù)列． (3)等比數(shù)列的通項公式是關于n的指數(shù)型函數(shù)． (4)最常用的是活動中的第3個性質(zhì)． 例1一個等比數(shù)列的第3項和第4項分別是12和18，求它的第1項和第2項． 活動：本例是課本上例題3，由題意知a3＝12，a4＝18，求a1，a2.和等差數(shù)列一樣，這是屬于基本量運算的題目，其基本量為a1，q.教師引導學生探究，由等比數(shù)列的通項公式列出方程組，求得通項公式，再由通項公式求得數(shù)列的任意項．這個過程可以幫助學生再次體會通項公式的作用及其與方程之間的聯(lián)系． 解：設這個等比數(shù)列的第1項是a1，公比是q，那么a1q2＝12，① a1q3＝18.② ②①，得q＝，③ 把③代入①，得a1＝. 因此，a2＝a1q＝＝8. 答：這個數(shù)列的第1項和第2項分別是與8. 點評：通過本題讓學生體會方程思想． 變式訓練 　在等比數(shù)列{an}中，a5a7＝6，a2＋a10＝5，則等于(　　) A．－或－ B. C. D.或 答案：D 解析：∵a5a7＝a2a10，由 得或 ∴＝＝或＝. 例2(1)在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝5，a9a10＝100，求a18； (2)在等比數(shù)列{bn}中，b4＝3，求該數(shù)列前七項之積； (3)在等比數(shù)列{an}中，a2＝－2，a5＝54，求a8. 活動：本例三個小題屬基本概念題，讓學生合作交流完成，充分讓學生思考探究，展示將問題與所學的性質(zhì)聯(lián)系到一起的思維過程． 解：(1)∵a1a18＝a9a10，∴a18＝＝＝20. (2)b1b2b3b4b5b6b7＝(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4. ∵b＝b1b7＝b2b6＝b3b5，∴前七項之積為(32)33＝37＝2 187. (3)∵a5是a2與a8的等比中項，∴542＝a8(－2)．∴a8＝－1 458. 另解：a8＝a5q3＝a5＝54＝－1 458. 點評：通過本例，讓學生熟悉公式，善于聯(lián)想，善于將解題過程簡化． 變式訓練 　已知等比數(shù)列{an}中，a1＋a3＝15，且a1＋a2＋a3＋a4＝45. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝11－log2，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 解：(1)設等比數(shù)列{an}的公比為q. 由題意得解得q＝2，a1＝3， ∴an＝32n－1. (2)由(1)得a2n＋1＝322n，∴bn＝11－log2＝11－2n. ∴數(shù)列{bn}是首項為9，公差為－2的等差數(shù)列． 從而Sn＝＝－n2＋10n. 例3三個正數(shù)成等差數(shù)列，它們的和等于15，如果它們分別加上1,3,9，就成為等比數(shù)列，求此三個數(shù)． 活動：教師引導學生分析題意，因為所求三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和已知，故可設這三個數(shù)為a－d，a，a＋d，再根據(jù)已知條件尋找關于a、d的兩個方程，通過解方程組即可獲解． 解：設所求三個數(shù)為a－d，a，a＋d， 則由題設得 解此方程組，得a＝5，d＝2.∴所求三個數(shù)為3,5,7. 點評：此類問題要注意設未知數(shù)的技巧．若設所求三個數(shù)為a，b，c，則列出三個方程求解，運算過程將過于繁雜．因此在計算過程中，應盡可能地少設未知數(shù)． 例4根據(jù)下圖中的框圖，寫出所打印數(shù)列的前5項，并建立數(shù)列的遞推公式，這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎？ 活動：本題是給出數(shù)列的前幾項要求寫出數(shù)列的遞推公式．這種題型難度較大．但本題用程序框圖給出了數(shù)列的前5項，而遞推公式就包含在程序框圖中，這就大大降低了題目的難度．教學時教師可引導學生回顧程序框圖，引導學生思考如何判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列． 解：若將打印出來的數(shù)依次記為a1(即A)，a2，a3，…， 可知a1＝1，a2＝a1，a3＝a2. 于是，可得遞推公式 由于＝， 因此，這個數(shù)列是等比數(shù)列． 其通項公式是an＝()n－1. 點評：通過本題讓學生明確，要證明一個數(shù)列是等比數(shù)列，只需證明對于任意正整數(shù)n，是一個常數(shù)即可，同時也再一次體會到能夠用框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)來描述數(shù)列． 1．已知等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an. 2．某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年，剩留的這種物質(zhì)是原來的84%，這種物質(zhì)的半衰期為多長？(精確到1年) 答案： 1．解：∵a1a3＝a，∴a1a2a3＝a＝8.∴a2＝2. 從而 解之，得或 當a1＝1時，q＝2，當a1＝4時，q＝. ∴an＝2n－1或an＝4()n－1＝23－n(n∈N*)． 點評：本例解答中易產(chǎn)生的錯誤是在求得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1后，由a3＝a1q2分別得出q＝2或q＝.求得an＝2n－1或an＝(－2)n－1或an＝4()n－1或an＝4(－)n－1.教師引導學生尋找產(chǎn)生這一錯誤的原因是忽視了由于a2＝2，a1＞0，必有q＞0這一隱含條件． 2．解：設這種物質(zhì)最初的質(zhì)量是1，經(jīng)過n年，剩留量是an， 由條件可得，數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列，其中a1＝0.84，q＝0.84. 設an＝0.5，則0.84n＝0.5. 兩邊取對數(shù)，得nlg0.84＝lg0.5， 用計算器算得n≈4. 答：這種物質(zhì)的半衰期大約為4年． 點評：本例是一道應用題，反映的是等比數(shù)列通項公式的基本量運算問題．在解題過程中，用對數(shù)的知識解方程可以幫助學生回顧對數(shù)的性質(zhì)，本題重在讓學生發(fā)現(xiàn)實際問題情境中數(shù)列的等比關系，培養(yǎng)學生從實際問題中抽象出數(shù)學模型的能力． 1．讓學生歸納總結(jié)本節(jié)學習內(nèi)容：等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系．對比小結(jié)等差數(shù)列與等比數(shù)列的知識，對比各自性質(zhì)的異同．從函數(shù)的角度看，如果說等差數(shù)列可以與一次函數(shù)聯(lián)系起來，那么等比數(shù)列則可以與指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來． 2．學習本節(jié)內(nèi)容應注意等比數(shù)列定義的運用，靈活選設未知數(shù)，注意總結(jié)常用解題技巧．有關本內(nèi)容的高考題主要體現(xiàn)在考查化歸能力、方程思想、分類討論思想以及數(shù)學建模能力上，并能用這些知識解決一些實際問題． 課本習題2—3 A組2、3、4. 設計感想 本教案設計突出了教學梯度．因為從實際教學來看，對這部分內(nèi)容的學習不少同學仍然是困難重重，從中折射出他們學習方式存在的問題，死記硬背仍然是公式學習的主要形式．在練習環(huán)節(jié)，不少學生只會做與課本例題完全一致的習題，如果稍加變式，就束手無策，反映出數(shù)學思維的僵化及簡單．但是訓練學生的思維能力，提升學生的思維品質(zhì)，是數(shù)學教師直接面對的重要課題，也是提升教學效果的關鍵．因此在設計梯度方面注重了一題多解，這有助于學生思維的發(fā)散性及靈活性的培養(yǎng)，以及克服思維的僵化，變式教學又可以提升思維視野的廣度，題后反思有助于學生思維批判性品質(zhì)的提升． 本教案設計注重了教學過程的更優(yōu)化、更合理化，因為長期以來的課堂教學太過于重視結(jié)論，輕視過程．為了應付考試，為了使公式、定理應用達到所謂的熟能生巧，教學中不惜花大量的時間采用題海戰(zhàn)術來進行強化．在概念公式的教學中往往采用的是“掐頭去尾燒中段”的方法，到頭來把學生強化成只會套用公式機械解題，這樣的學生面對新問題就會束手無策，更不利于今后的創(chuàng)新式高考． 本教案設計清晰了課堂教學的層次階段，本節(jié)課可以劃分為三個階段，第一階段是等比數(shù)列性質(zhì)的推得和理解過程；第二階段是等比數(shù)列性質(zhì)的歸納、理解和應用的過程；第三階段是歸納小結(jié)．這三個階段自然是以第一、第二階段為主．這樣便于學生課堂推進，也便于教師對整個課堂的宏觀調(diào)控． 備課資料 一、備用例題 例1.已知無窮數(shù)列10，10，10，…，10，…. 求證：(1)這個數(shù)列成等比數(shù)列； (2)這個數(shù)列中的任一項是它后面第五項的； (3)這個數(shù)列的任意兩項的積仍在這個數(shù)列中． 例2.設a，b，c，d均為非零實數(shù)，(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0， 求證：a，b，c成等比數(shù)列且公比為d. 證法一：關于d的二次方程(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0有實根， ∴Δ＝4b2(a＋c)2－4(a2＋b2)(b2＋c2)≥0.∴－4(b2－ac)2≥0.∴－(b2－ac)2≥0. 則必有b2－ac＝0，即b2＝ac，∴a，b，c成等比數(shù)列． 設公比為q，則b＝aq，c＝aq2，代入 (a2＋a2q2)d2－2aq(a＋aq2)d＋a2q2＋a2q4＝0. ∵(q2＋1)a2≠0，∴d2－2qd＋q2＝0，即d＝q≠0. 證法二：∵(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0， ∴(a2d2－2abd＋b2)＋(b2d2－2bcd＋c2)＝0. ∴(ad－b)2＋(bd－c)2＝0.∴ad＝b，且bd＝c. ∵a，b，c，d非零，∴＝＝d.∴a，b，c成等比數(shù)列且公比為d. 二、備用習題 1．公差不為0的等差數(shù)列第二、三、六項構(gòu)成等比數(shù)列，則公比為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．設{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q＝2，且a1a2a3…a30＝230，則a3a6a9…a30等于(　　) A．210 B．220 C．216 D．215 3．各項為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首項a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，則a3＋a4＋a5等于 …… (　　) A．33 B．72 C．84 D．189 4．在和之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個數(shù)的乘積為__________． 5．在等比數(shù)列{an}中， (1)若a1＝256，a9＝1，求q和a12； (2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求q. 6．已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝c＞0，a2n＋1＝b2n＋1，比較an＋1與bn＋1的大?。? 參考答案： 1．答案：C 解析：設等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，由題意，得a＝a2a6，(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)． ∴d＝－2a1. 設等比數(shù)列的公比為q，則q＝＝3. 2．答案：B 解析：由a1a2a3a4…a30＝230，得 …＝230， ∴aaa…a＝(2q)30. ∴a3a6a9…a30＝220. 3．答案：C 解析：由a1＋a2＋a3＝a1＋a1q＋a1q2＝21，∴1＋q＋q2＝7. 解得q＝2，q＝－3(舍去)，∴a3＝a1q2＝34＝12. ∴a3＋a4＋a5＝a3(1＋q＋q2)＝127＝84. 4．答案：216 解析：設插入的三個數(shù)為a、b、c，則b2＝＝49＝ac， 所以b＝6，ac＝36，故abc＝216. 5．解：(1)∵a9＝a1q8，∴256q8＝1，即q＝. 當q＝時，a12＝a1q11＝256＝； 當q＝－時，a12＝a1q11＝256(－)11＝－. (2)a1q2a1q4＝18，即aq6＝18. 又a1q3a1q7＝72，即aq10＝72. 兩式相除得q4＝＝4，∴q＝. 6．解：由題意知c＋2nd＝cq2n，∴nd＝(q2n－1)． ∵an＋1－bn＋1＝c＋nd－cqn＝c＋(q2n－1)－cqn＝(qn－1)2≥0， ∴an＋1≥bn＋1. 三、斐波那契數(shù)列的奇妙性質(zhì) 我們看章頭圖中的斐波那契數(shù)列，它有一系列奇妙的性質(zhì)，現(xiàn)簡列以下幾條，供讀者欣賞． 1．從首項開始，我們依次計算每一項與它的后一項的比值，并精確到小數(shù)點后第四位： ＝1.000 0?。?.000 0 ＝1.500 0?。?.666 7 ＝1.600 0　＝1.625 0 ＝1.615 4?。?.619 0 ＝1.617 6?。?.618 2 ＝1.618 0?。?.618 1 如果將這一工作不斷地繼續(xù)下去，這個比值將無限趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)位于1.618 0與1.618 1之間，它還能準確地用黃金數(shù)表示出來． 2．我們在初中曾經(jīng)遇到過楊輝三角形，如下圖所示，楊輝三角形中虛線上的數(shù)的和恰好組成斐波那契數(shù)列： 3．在斐波那契數(shù)列中，請你驗證下列簡單的性質(zhì)： 前n項和Sn＝an＋2－1， anan＋1－an－1an－2＝a2n－1(n≥3)， a＋a＝an－1(n≥2)， an－2an＝a－(－1)n(n≥3)． 據(jù)載首先是由19世紀法國數(shù)學家呂卡將級數(shù){Un}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，Un＋1＝Un＋Un－1命名為斐波那契級數(shù)，它是一種特殊的線性遞歸數(shù)列，在數(shù)學的許多分支中有廣泛應用.1680年意大利—法國學者卡西尼發(fā)現(xiàn)該級數(shù)的重要關系式Un＋1Un－1－U＝(－1)n.1730年法國數(shù)學家棣莫弗給出其通項表達式，19世紀初另一位法國數(shù)學家比內(nèi)首先證明了這一表達式Sn＝[()n－()n]，現(xiàn)在稱之為比內(nèi)公式． 世界上有關斐波那契數(shù)列的研究文獻多得驚人．斐波那契數(shù)列不僅是在初等數(shù)學中引人入勝，而且它的理論已經(jīng)廣泛應用，特別是在數(shù)列、運籌學及優(yōu)化理論方面為數(shù)學家們展開了一片施展才華的廣闊空間．