2019-2020年高中數(shù)學(xué) 10.4《二項(xiàng)式定理》備課資料 舊人教版必修.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué) 10.4《二項(xiàng)式定理》備課資料 舊人教版必修
[例1]在(x2+3x+2)5的展開式中,x的系數(shù)為
A.-160 B.240 C.360 D.800
分析:把[(x2+3x)+2]5直接展開,即=(x2+3x)5+5(x2+3x)42+
10(x2+3x)322+10(x2+3x)223+5(x2+3x)24+25.
注意到x的指數(shù)為1,只有在5(x2+3x)24中才出現(xiàn)x的項(xiàng),所以x的系數(shù)為53
24=240.
答案:B
但應(yīng)明確直接展開只適用于n是較小的自然數(shù).
二、利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式
[例2]由(x+)100展開所得的x的多項(xiàng)式中,系數(shù)為有理數(shù)的共有________項(xiàng).
A.50 B.17 C.16 D.15
分析:考慮(x+)100的展開式的通項(xiàng)
Tr+1=(x)100-r()r
=x100-r
=x100-r.
要使系數(shù)為有理數(shù),則r為6的倍數(shù),令r=6k(k∈Z),而且0≤6k≤100,即r=0,6,12,…,96,因此共有17項(xiàng).
答案:B
三、分解因式求特定項(xiàng)系數(shù)
[例3]求(1+x+x2)(1-x)10展開式中含x4項(xiàng)的系數(shù).
分析:原式=(1-x3)(1-x)9,
其中(1-x)9展開式的通項(xiàng)為Tr+1=(-x)r.
令r=4,得T4+1=x4;
令r=1,得T1+1=-x.
故x4的系數(shù)為+=135.
四、利用排列組合原理求系數(shù)
[例4]求(x2+3x-1)9(2x+1)4展開式中含x2的項(xiàng)的系數(shù).
分析:為了保證相乘得到x2的項(xiàng),則前一式子中的x2、3x及后一式子中的2x取出的個數(shù)有以下幾種情況:
1、0、0;0、2、0;0、1、1;0、0、2.
故展開式中含x2的項(xiàng)為x2(-1)8+(3x)2(-1)7+ (3x)1
(-1)82x+(-1)9(2x)2=(9-324+216-24)x2=-123x2,
故所求系數(shù)為-123.
五、利用估算公式求系數(shù)最大項(xiàng)
估算公式:若二項(xiàng)式(ax+by)n(a,b∈R+,n∈N)的展開式的系數(shù)最大的項(xiàng)為第r+1項(xiàng),
則有
公式證明:設(shè)展開式的第r、r+1、r+2項(xiàng)的系數(shù)分別為,,.
由展開式相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)關(guān)系,
易知
而由題意,第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大,
所以,,
即成立.
[例5]問(2+3x)20展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)?
解:設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大,則
解得≤r≤.
由于r是正整數(shù),所以r=12,即第13項(xiàng)的系數(shù)最大.
說明:若在(ax+by)n中,a、b異號,則估算公式改為
由此算出的是展開式中系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng).
六、巧求二項(xiàng)展開式某一特定項(xiàng)
求二項(xiàng)展開式中某一特定項(xiàng)是《排列組合二項(xiàng)式定理》中常見題型之一.它的一般解法是應(yīng)用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),這已為大家所熟知.本文要介紹的是另一種解法,這種解法能使某些直接應(yīng)用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)不易解決的問題迎刃而解.
[例6]求(a+b+c+d)1995展開式中a200b800c900d95項(xiàng)的系數(shù).
解:(a+b+c+d)1995=(a+b+c+d)(a+b+c+d)…(a+b+c+d),一共1995個因式相乘,等號右邊的積的展開式的每一項(xiàng)是從1995個因式的每一因式中任取一個字母的乘積.顯然a200b800c900d95項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)為.
[例7]求(|x|+-2)3展開式中的常數(shù)項(xiàng).
解:(|x|+-2)3=()6.
展開式中第r+1項(xiàng)為
Tr+1=(-1)r=(-1)r|x|3-r,
當(dāng)且僅當(dāng)r=3時,Tr+1為常數(shù),所以,所求常數(shù)項(xiàng)為T4=-20.
[例8]求(1+x-x2)6展開式中的x5項(xiàng).
分析:1+x-x2不是完全平方式,若不用本文所給方法,則要兩次應(yīng)用二項(xiàng)式定理,若用本文所給新解法,則化繁為簡.
解:(1+x-x2)6展開式中,xm+2n項(xiàng)(其中m,n都是自然數(shù),且m+2n≤6)是(-1)nxm+2n.已知m+2n=5,方程的解有以下幾種情況:
①若n=1,則m=3,得項(xiàng)-x5=-60x5;
②若n=2,則m=1,得項(xiàng)x5=60x5;
③若n=0,則m=5,得項(xiàng)x5=6x5.
以上3種合計得項(xiàng)是-60x5+60x5+6x5=6x5.
●備課資料
一、與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)的求和問題
(一)賦值法
[例1]證明下列等式.
(1)+++…+=2n;
(2)+++…=+++…=2n-1.
證明:利用(1+x)n=+x+x2+…+xn賦值.
令x=1可得
(1+1)n=+++…+=2n.
令x=-1可得
(1-1)n=+++….
可得+++…=+++….
又+++…+=2n,
∴++…=++…=2n=2n-1.
[例2]若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求a1+a2+a3+a4=________.
分析:令x=1可得
(2+)4=a0+a1+a2+a3+a4.
又a0=()4=9,
∴a1+a2+a3+a4=(2+)4-9=88+56.
(二)公式法
[例3]求和:++ +….
分析:針對求和問題,抓住變通項(xiàng)思路,靈活運(yùn)用組合數(shù)公式將變量轉(zhuǎn)化為不變量,并結(jié)合組合數(shù)性質(zhì)進(jìn)行化簡.
解:∵
=
=
=,
∴+++…+
=++…+
=(+++…+)
=(+++…+-1)
= (2n+1-1).
(三)裂項(xiàng)求和
[例4]求和:+++…+.
分析:抓住通項(xiàng),對通項(xiàng)進(jìn)行變形,然后尋求求解思路.
解:∵=,
∴=.
∴++…+
=(+…+(-)
=2-.
(四)構(gòu)造等式
[例5]求和:+++…+(r<n).
解:由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式知
(1+x)r+(1+x)r+1+…+(1+x)n=.
又等式左邊的展開式中xr項(xiàng)的系數(shù)和為+++…+.
等式右邊的展開式中xr項(xiàng)的系數(shù)就是
(1+x)n+1-(1+x)r展開式中xr+1項(xiàng)的系數(shù)為.
∴+++…+=.
(五)逆用二項(xiàng)式定理
[例6]已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q.
求和:a1+a2+a3+…+an+1.
解:a1+a2+a3+…+an+1
=a1+a1q+a1q2+…+a1qn
=a1(+q+q2+…+qn)
=a1(1+q)n.
(六)倒序相加法
[例7]已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,
求和:a1+a2+a3+…+an+1.
解:設(shè)Sn= a1+a2+a3+…+an+1, ①
則Sn=an+1+an+an-1+…+a1,
即Sn=an+1+an+an-1+…+a1. ②
①+②得2Sn=(a1+an+1)+(a2+an)+…+(a1+an+1).
又∵等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,
∴a1+an+1=a2+an=a3+an-1=…=a1+an+1=2a1+nd.
∴2Sn=(a1+an+1)+(a2+an)+(a3+an-1)+…+(a1+an+1)
=(2a1+nd)(++…+)
=(2a1+nd)2n.
∴a1+a2+a3+…+an+1=(2a1+nd)2n-1.
二、創(chuàng)設(shè)問題情境證明組合數(shù)等式
有關(guān)多個組合數(shù)之和的等式可以通過創(chuàng)設(shè)問題情境,并設(shè)計不同的解題方案,尋求其中的等量關(guān)系.
[例1]求證:+++…+=2n.
創(chuàng)設(shè)問題:集合A={a1,a2,…,an}的所有子集的個數(shù)是多少?
方案一:按A的子集中元素的個數(shù)分類求解+++…+.
方案二:按ai是否進(jìn)入A的子集分步求解=2n.
結(jié)論:+++…+=2n.
[例2]求證:()2+()2+()2+…+()2=.
創(chuàng)設(shè)問題1:
求(1+x)2n展開式中xn的系數(shù).
方案一:考慮(1+x)2n展開式中xn的系數(shù).
方案二:考慮(1+x)n(1+x)n展開式中xn的系數(shù)為++…+.
結(jié)論:()2+()2+()2+…+()2=.
創(chuàng)設(shè)問題2:
一只口袋中有2n個不同小球,其中有n個紅色的,n個黃色的,從中任取n個小球,有多少種方法?
方案一:不分紅黃,從2n個小球中任取n個小球.
方案二:按照所取紅球的個數(shù)分類
++…+.
結(jié)論:()2+()2+()2+…+()2=.
另外,類似還可設(shè)計問題
A={a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn},求A的含有n個元素的子集的個數(shù).
[例3]求證: +2+3+…+n=n2n-1.
創(chuàng)設(shè)問題:求數(shù)列{ar},ar=r的前n項(xiàng)和Sn.
方案一:依次求Sn=+2+…+n.
方案二:顛倒求Sn=n+(n-1)+…+=n+(n-1)+…+.
錯位相加得
2Sn=n(++…+)=n2n.
結(jié)論:+2+3+…+n=n2n-1.
創(chuàng)設(shè)問題情境證明組合數(shù)等式不僅運(yùn)算量小,生動有趣,而且有利于培養(yǎng)我們的想象力和創(chuàng)造性思維能力,如果我們擁有這方面的意識,就能很快找到創(chuàng)設(shè)問題的依據(jù),從而幫助我們巧妙解決難題.
●備課資料
一、有關(guān)二項(xiàng)式定理的高考試題分類解析
高考中二項(xiàng)式定理試題幾乎年年有,主要是利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求展開式的某一項(xiàng)的系數(shù),求展開式的常數(shù)項(xiàng);利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),求某多項(xiàng)式的系數(shù)和,證明組合數(shù)恒等式和整除問題,及近似計算問題,考查的題型主要是選擇題和填空題,多是容易題和中等難度的試題,但有時綜合解答題也涉及到二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.
(一)求多個二項(xiàng)式的積(和)的展開式中條件項(xiàng)的系數(shù)
[例1](xx年全國高考)(x2-)9展開式中x9的系數(shù)是________.
分析:此題體現(xiàn)抓“通項(xiàng)”的思路.
解:Tr+1=(x2)9-r(-)r
=(-1)r2-rx18-2rx-r
=(-1)r2-rx18-3r,
當(dāng)18-3r=9時,得r=3,
所以x9系數(shù)為(-1)32-3=-.
[例2](xx年全國高考題)(x+2)10(x2-1)展開式中含x10的系數(shù)為________.(用數(shù)字作答)
分析:(x+2)10 (x2-1)展開式中含x10的項(xiàng)由(x+2)10展開式中含x10的項(xiàng)乘以-1再加上(x+2)10展開式中含x8的項(xiàng)乘以x2得到,即
x10(-1)+ x822x2,
故所求的x10的系數(shù)為
(-1)+22=179.
[例3](xx年上海高考題)在(1+x)5(1-x)4的展開式中,x3的系數(shù)為________.
分析:(1+x)5(1-x)4=(1+x)(1-x2)4,
其中(1-x2)4展開的通項(xiàng)為(-x2)r,故展開式中x3的系數(shù)為-=-4.
[例4](1990年全國高考題)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展開式中x2的系數(shù)等于________.
分析:求較復(fù)雜的代數(shù)式的展開式中某項(xiàng)的系數(shù),常需對所給代數(shù)式進(jìn)行化簡,減小計算量.
原式==,
只需求(x-1)6展開式中x3的系數(shù)即可,Tr+1=x6-r(-1)r,
令r=3得系數(shù)為-20.
(二)求多項(xiàng)式系數(shù)和
[例5](xx年全國高考題)若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,則(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值為
A.1 B.-1 C.0 D.2
分析:涉及展開式的系數(shù)和的問題,常用賦值法.
解:欲求式可變?yōu)?a0+a2+a4)2-(a1+a3)2
=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4).
實(shí)際上,a0+a1+a2+a3+a4和a0-a1+a2-a3+a4分別為已知式在x=1,x=-1的值.
令x=1,得
(2+)4=a0+a1+a2+a3+a4,
令x=-1,得
(2-)4=a0-a1+a2-a3+a4,
∴(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2
=(2+)4(2-)4
=[(2+)(2-)]4
=(4-3)4
=1.
(三)求冪指數(shù)n
[例6](1995年上海高考題)若(x+1)n=xn+…+ax3+bx2+…+1(n∈N),且a∶b=3∶1,那么n=________.
分析:x3的系數(shù)a=,x2的系數(shù)b=C2n,依題意a∶b=3∶1,
即∶=3∶1,
解得n=11.
即n=11滿足題意.
(四)求二項(xiàng)式中有關(guān)元素
此類問題一般是根據(jù)已知條件列出等式,進(jìn)而解得所要求的元素.
[例7](1997年全國高考題)已知()9的展開式中x3的系數(shù)為,則常數(shù)a的值為________.
分析:通項(xiàng)Tr+1=()9-r(-)r=a9-r(-)r,
令r-9=3,
解得r=8,
故a9-r(-)r=.
解得a=4.
[例8](xx年上海高考題)設(shè)n∈N,(1+)n的展開式中x3的系數(shù)為,則n=________.
分析:Tr+1=()rxr,
令x3的系數(shù)為,
展開整理得.
解得n=4.
(五)三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式問題
[例9](1997年全國高考題)在(x2+3x+2)5的展開式中,x的系數(shù)為
A.160 B.240
C.360 D.800
分析:原式寫成二項(xiàng)式[(x2+2)+3x]5,設(shè)第r+1項(xiàng)為含x的項(xiàng).
則Tr+1=(x2+2)5-r(3x)r(0≤r≤5),
要使x的指數(shù)為1,只有r=1才有可能,
即T2=(x2+2)43x=15x(x8+42x6+64x4+48x2+24).
∴x的系數(shù)為1524=240.
答案:B
(六)求整除余數(shù)
[例10](1992年“三南”高考題)9192除以100的余數(shù)是________.
分析:9192=(90+1)92=9092+9091+…+90+.
由此可見,除后兩項(xiàng)外均能被100整除.
而90+=8281=82100+81.
故9192被100整除余數(shù)為81.
(七)利用二項(xiàng)展開式證明不等式
[例11](xx年全國高考題)已知i,m,n是正整數(shù),且1<i≤m<n.
(1)證明:ni<mi;
(2)證明:(1+m)n>(1+n)m.
證明:(1)略.
(2)由二項(xiàng)式定理知
(1+m)n=,
(1+n)m=
由(1)知ni<mi,
又=,=
∴ni<mi (1<i≤m<n).
故<.
又n0=m0,n=mn=m,
∴<,
即(1+n)m<(1+m)n.
(八)求近似值
[例12]某地現(xiàn)有耕地10000公頃,規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%,人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%,如果人口年增長率為1%,那么耕地平均每年至多只能減小多少公頃(精確到1公頃)?
(糧食單產(chǎn)=,人均糧食占有量=)
分析:此類試題是利用二項(xiàng)式定理的展開式求近似值,主要考查利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似計算的能力.
解:設(shè)耕地平均每年至多只能減少x公頃(hm2),又設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為P人,糧食單產(chǎn)為M噸/公頃(t/hm2),
依題意得不等式
,
化簡得x≤103[1-],
∵103[1-]=103[1-(1+0.01+0.012+…)]
≈103[1-1.1045]≈4.1,
∴x≤4(公頃).