2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.3 二元一次不等式組與簡單的 教案 新人教A版必修5.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.3 二元一次不等式組與簡單的 教案 新人教A版必修5
授課類型:新授課
【教學(xué)目標(biāo)】
1.知識與技能:了解二元一次不等式的幾何意義,會(huì)用二元一次不等式組表示平面區(qū)域;
2.過程與方法:經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組的過程,提高數(shù)學(xué)建模的能力;
3.情態(tài)與價(jià)值:通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),體會(huì)數(shù)學(xué)來源與生活,提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。
【教學(xué)重點(diǎn)】
用二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域;
【教學(xué)難點(diǎn)】
【教學(xué)過程】
1.課題導(dǎo)入
1.從實(shí)際問題中抽象出二元一次不等式(組)的數(shù)學(xué)模型
課本第91頁的“銀行信貸資金分配問題”
教師引導(dǎo)學(xué)生思考、探究,讓學(xué)生經(jīng)歷建立線性規(guī)劃模型的過程。
在獲得探究體驗(yàn)的基礎(chǔ)上,通過交流形成共識:
2.講授新課
1.建立二元一次不等式模型
把實(shí)際問題 數(shù)學(xué)問題:
設(shè)用于企業(yè)貸款的資金為x元,用于個(gè)人貸款的資金為y元。
(把文字語言 符號語言)
(資金總數(shù)為25 000 000元) (1)
(預(yù)計(jì)企業(yè)貸款創(chuàng)收12%,個(gè)人貸款創(chuàng)收10%,共創(chuàng)收30 000元以上) 即 (2)
(用于企業(yè)和個(gè)人貸款的資金數(shù)額都不能是負(fù)值) (3)
將(1)(2)(3)合在一起,得到分配資金應(yīng)滿足的條件:
2.二元一次不等式和二元一次不等式組的定義
(1)二元一次不等式:含有兩個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫做二元一次不等式。
(2)二元一次不等式組:有幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組。
(3)二元一次不等式(組)的解集:滿足二元一次不等式(組)的x和y的取值構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對(x,y),所有這樣的有序?qū)崝?shù)對(x,y)構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式(組)的解集。
(4)二元一次不等式(組)的解集與平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)之間的關(guān)系:
二元一次不等式(組)的解集是有序?qū)崝?shù)對,而點(diǎn)的坐標(biāo)也是有序?qū)崝?shù)對,因此,有序?qū)崝?shù)對就可以看成是平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而,二元一次不等式(組)的解集就可以看成是直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)構(gòu)成的集合。
3.探究二元一次不等式(組)的解集表示的圖形
(1)回憶、思考
回憶:初中一元一次不等式(組)的解集所表示的圖形——數(shù)軸上的區(qū)間
思考:在直角坐標(biāo)系內(nèi),二元一次不等式(組)的解集表示什么圖形?
(2)探究
從特殊到一般:
先研究具體的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的圖形。
如圖:在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),x-y=6表示一條直線。平面內(nèi)所有的點(diǎn)被直線分成三類:
第一類:在直線x-y=6上的點(diǎn);
第二類:在直線x-y=6左上方的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn);
第三類:在直線x-y=6右下方的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)。
設(shè)點(diǎn)是直線x-y=6上的點(diǎn),選取點(diǎn),使它的坐標(biāo)滿足不等式x-y<6,請同學(xué)們完成課本第93頁的表格,
橫坐標(biāo)x
-3
-2
-1
0
1
2
3
點(diǎn)P的縱坐標(biāo)
點(diǎn)A的縱坐標(biāo)
并思考:
當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)P有相同的橫坐標(biāo)時(shí),它們的縱坐標(biāo)有什么關(guān)系?
根據(jù)此說說,直線x-y=6左上方的坐標(biāo)與不等式x-y<6有什么關(guān)系?
直線x-y=6右下方點(diǎn)的坐標(biāo)呢?
學(xué)生思考、討論、交流,達(dá)成共識:
在平面直角坐標(biāo)系中,以二元一次不等式x-y<6的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線x-y=6的左上方;反過來,直線x-y=6左上方的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足不等式x-y<6。
因此,在平面直角坐標(biāo)系中,不等式x-y<6表示直線x-y=6左上方的平面區(qū)域;如圖。
類似的:二元一次不等式x-y>6表示直線x-y=6右下方的區(qū)域;如圖。
直線叫做這兩個(gè)區(qū)域的邊界
由特殊例子推廣到一般情況:
(3)結(jié)論:
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.(虛線表示區(qū)域不包括邊界直線)
4.二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判斷方法
由于對在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)(),把它的坐標(biāo)()代入Ax+By+C,所得到實(shí)數(shù)的符號都相同,所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)(x0,y0),從Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C>0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.(特殊地,當(dāng)C≠0時(shí),常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn))
【應(yīng)用舉例】
例1 畫出不等式表示的平面區(qū)域。
解:先畫直線(畫成虛線).
取原點(diǎn)(0,0),代入+4y-4,∵0+40-4=-4<0,
∴原點(diǎn)在表示的平面區(qū)域內(nèi),不等式表示的區(qū)域如圖:
歸納:畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域常采用“直線定界,特殊點(diǎn)定域”的方法。特殊地,當(dāng)時(shí),常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)。
變式1、畫出不等式所表示的平面區(qū)域。
變式2、畫出不等式所表示的平面區(qū)域。
例2 用平面區(qū)域表示.不等式組的解集。
分析:不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集,因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分。
解:不等式表示直線右下方的區(qū)域,表示直線右上方的區(qū)域,取兩區(qū)域重疊的部分,如圖的陰影部分就表示原不等式組的解集。
歸納:不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集,因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分。
變式1、畫出不等式表示的平面區(qū)域。
變式2、由直線,和圍成的三角形區(qū)域(包括邊界)用不等式可表示為 。
3.隨堂練習(xí)
1、課本第97頁的練習(xí)1、2、3
4.課時(shí)小結(jié)
1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域.
2.二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判斷方法.
3.二元一次不等式組表示的平面區(qū)域.
5.評價(jià)設(shè)計(jì)
課本第105頁習(xí)題3.3[A]組的第1題
【板書設(shè)計(jì)】
課題: 3.3.1二元一次不等式(組)與平面區(qū)域
第2課時(shí)
授課類型:新授課
【教學(xué)目標(biāo)】
1.知識與技能:鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域;能根據(jù)實(shí)際問題中的已知條件,找出約束條件;
2.過程與方法:經(jīng)歷把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程,體會(huì)集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想;
3.情態(tài)與價(jià)值:結(jié)合教學(xué)內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識,激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新。
【教學(xué)重點(diǎn)】
理解二元一次不等式表示平面區(qū)域并能把不等式(組)所表示的平面區(qū)域畫出來;
【教學(xué)難點(diǎn)】
把實(shí)際問題抽象化,用二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域。
【教學(xué)過程】
1.課題導(dǎo)入
[復(fù)習(xí)引入]
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.(虛線表示區(qū)域不包括邊界直線)
判斷方法:由于對在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x,y),把它的坐標(biāo)(x,y)代入Ax+By+C,所得到實(shí)數(shù)的符號都相同,所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)(x0,y0),從Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C>0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.(特殊地,當(dāng)C≠0時(shí),常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn))。
隨堂練習(xí)1
1、畫出不等式2+y-6<0表示的平面區(qū)域.
2、畫出不等式組表示的平面區(qū)域。
2.講授新課
【應(yīng)用舉例】
例3 某人準(zhǔn)備投資 1 200萬興辦一所完全中學(xué),對教育市場進(jìn)行調(diào)查后,他得到了下面的數(shù)據(jù)表格(以班級為單位):
學(xué)段
班級學(xué)生人數(shù)
配備教師數(shù)
硬件建設(shè)/萬元
教師年薪/萬元
初中
45
2
26/班
2/人
高中
40
3
54/班
2/人
分別用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述的限制條件。
解:設(shè)開設(shè)初中班x個(gè),開設(shè)高中班y個(gè),根據(jù)題意,總共招生班數(shù)應(yīng)限制在20-30之間,所以有
考慮到所投資金的限制,得到
即
另外,開設(shè)的班數(shù)不能為負(fù),則
把上面的四個(gè)不等式合在一起,得到:
用圖形表示這個(gè)限制條件,得到如圖的平面區(qū)域(陰影部分)
例4 一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料,生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽18t;生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t,硝酸鹽15t,現(xiàn)庫存磷酸鹽10t、硝酸鹽66t,在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)兩種混合肥料。列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域。
解:設(shè)x,y分別為計(jì)劃生產(chǎn)甲乙兩種混合肥料的車皮數(shù),于是滿足以下條件:
在直角坐標(biāo)系中可表示成如圖的平面區(qū)域(陰影部分)。
[補(bǔ)充例題]
例1、畫出下列不等式表示的區(qū)域
(1) ; (2)
分析:(1)轉(zhuǎn)化為等價(jià)的不等式組; (2)注意到不等式的傳遞性,由,得,又用代,不等式仍成立,區(qū)域關(guān)于軸對稱。
解:(1)或矛盾無解,故點(diǎn)在一帶形區(qū)域內(nèi)(含邊界)。
(2) 由,得;當(dāng)時(shí),有點(diǎn)在一條形區(qū)域內(nèi)(邊界);當(dāng),由對稱性得出。
指出:把非規(guī)范形式等價(jià)轉(zhuǎn)化為規(guī)范不等式組形式便于求解
例2、利用區(qū)域求不等式組的整數(shù)解
分析:不等式組的實(shí)數(shù)解集為三條直線,,所圍成的三角形區(qū)域內(nèi)部(不含邊界)。設(shè),,,求得區(qū)域內(nèi)點(diǎn)橫坐標(biāo)范圍,取出的所有整數(shù)值,再代回原不等式組轉(zhuǎn)化為的一元不等式組得出相應(yīng)的的整數(shù)值。
解:設(shè),,,,,,∴,,。于是看出區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)在內(nèi),?。?,2,3,當(dāng)=1時(shí),代入原不等式組有?,得=-2,∴區(qū)域內(nèi)有整點(diǎn)(1,-2)。同理可求得另外三個(gè)整點(diǎn)(2,0),(2,-1),(3,-1)。
指出:求不等式的整數(shù)解即求區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)是教學(xué)中的難點(diǎn),它為線性規(guī)劃中求最優(yōu)整數(shù)解作鋪墊。常有兩種處理方法,一種是通過打出網(wǎng)絡(luò)求整點(diǎn);另一種是本題解答中所采用的,先確定區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍,確定的所有整數(shù)值,再代回原不等式組,得出的一元一次不等式組,再確定的所有整數(shù)值,即先固定,再用制約。
3.隨堂練習(xí)2
1.(1); (2).; (3).
2.畫出不等式組表示的平面區(qū)域
3.課本第97頁的練習(xí)4
4.課時(shí)小結(jié)
進(jìn)一步熟悉用不等式(組)的解集表示的平面區(qū)域。
5.評價(jià)設(shè)計(jì)
1、課本第105頁習(xí)題3.3[B]組的第1、2題
【板書設(shè)計(jì)】
課題: 3.3.2簡單的線性規(guī)劃
第3課時(shí)
授課類型:新授課
【教學(xué)目標(biāo)】
1.知識與技能:使學(xué)生了解二元一次不等式表示平面區(qū)域;了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念;了解線性規(guī)劃問題的圖解法,并能應(yīng)用它解決一些簡單的實(shí)際問題;
2.過程與方法:經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出簡單的線性規(guī)劃問題的過程,提高數(shù)學(xué)建模能力;
3.情態(tài)與價(jià)值:培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力,滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,提高學(xué)生“建?!焙徒鉀Q實(shí)際問題的能力。
【教學(xué)重點(diǎn)】
用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題
【教學(xué)難點(diǎn)】
準(zhǔn)確求得線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解
【教學(xué)過程】
1.課題導(dǎo)入
[復(fù)習(xí)提問]
1、二元一次不等式在平面直角坐標(biāo)系中表示什么圖形?
2、怎樣畫二元一次不等式(組)所表示的平面區(qū)域?應(yīng)注意哪些事項(xiàng)?
3、熟記“直線定界、特殊點(diǎn)定域”方法的內(nèi)涵。
2.講授新課
在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活中,經(jīng)常會(huì)遇到資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題。
1、下面我們就來看有關(guān)與生產(chǎn)安排的一個(gè)問題:
引例:某工廠有A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個(gè)A配件耗時(shí)1h,每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個(gè)B配件耗時(shí)2h,該廠每天最多可從配件廠獲得16個(gè)A配件和12個(gè)B配件,按每天8h計(jì)算,該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么?
(1)用不等式組表示問題中的限制條件:
設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x、y件,又已知條件可得二元一次不等式組:
……………………………………………………………….(1)
(2)畫出不等式組所表示的平面區(qū)域:
如圖,圖中的陰影部分的整點(diǎn)(坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn))就代表所有可能的日生產(chǎn)安排。
(3)提出新問題:
進(jìn)一步,若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元,生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元,采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大?
(4)嘗試解答:
設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件,乙產(chǎn)品y件時(shí),工廠獲得的利潤為z,則z=2x+3y.這樣,上述問題就轉(zhuǎn)化為:
當(dāng)x,y滿足不等式(1)并且為非負(fù)整數(shù)時(shí),z的最大值是多少?
把z=2x+3y變形為,這是斜率為,在y軸上的截距為的直線。當(dāng)z變化時(shí),可以得到一族互相平行的直線,如圖,由于這些直線的斜率是確定的,因此只要給定一個(gè)點(diǎn),(例如(1,2)),就能確定一條直線(),這說明,截距可以由平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)唯一確定。可以看到,直線與不等式組(1)的區(qū)域的交點(diǎn)滿足不等式組(1),而且當(dāng)截距最大時(shí),z取得最大值。因此,問題可以轉(zhuǎn)化為當(dāng)直線與不等式組(1)確定的平面區(qū)域有公共點(diǎn)時(shí),在區(qū)域內(nèi)找一個(gè)點(diǎn)P,使直線經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)截距最大。
(5)獲得結(jié)果:
由上圖可以看出,當(dāng)實(shí)現(xiàn)金國直線x=4與直線x+2y-8=0的交點(diǎn)M(4,2)時(shí),截距的值最大,最大值為,這時(shí)2x+3y=14.所以,每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件,乙產(chǎn)品2件時(shí),工廠可獲得最大利潤14萬元。
2、線性規(guī)劃的有關(guān)概念:
①線性約束條件:在上述問題中,不等式組是一組變量x、y的約束條件,這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式,故又稱線性約束條件.
②線性目標(biāo)函數(shù):
關(guān)于x、y的一次式z=2x+y是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式,叫線性目標(biāo)函數(shù).
③線性規(guī)劃問題:
一般地,求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題,統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.
④可行解、可行域和最優(yōu)解:
滿足線性約束條件的解(x,y)叫可行解.
由所有可行解組成的集合叫做可行域.
使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解.
3、 變換條件,加深理解
探究:課本第100頁的探究活動(dòng)
(1) 在上述問題中,如果生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利3萬元,每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利2萬元,有應(yīng)當(dāng)如何安排生產(chǎn)才能獲得最大利潤?在換幾組數(shù)據(jù)試試。
(2) 有上述過程,你能得出最優(yōu)解與可行域之間的關(guān)系嗎?
3.隨堂練習(xí)
1.請同學(xué)們結(jié)合課本P103練習(xí)1來掌握圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題.
(1)求z=2x+y的最大值,使式中的x、y 滿足約束條件
解:不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示:
當(dāng)x=0,y=0時(shí),z=2x+y=0
點(diǎn)(0,0)在直線:2x+y=0上.
作一組與直線平行的直線
:2x+y=t,t∈R.
可知,在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于的直線中,以經(jīng)過點(diǎn)A(2,-1)的直線所對應(yīng)的t最大.
所以zmax=22-1=3.
(2)求z=3x+5y的最大值和最小值,使式中的x、y滿足約束條件
解:不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示:
從圖示可知,直線3x+5y=t在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)時(shí),以經(jīng)過點(diǎn)(-2,-1)的直線所對應(yīng)的t最小,以經(jīng)過點(diǎn)()的直線所對應(yīng)的t最大.
所以zmin=3(-2)+5(-1)=-11.
zmax=3+5=14
4.課時(shí)小結(jié)
用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟:
(1)尋找線性約束條件,線性目標(biāo)函數(shù);
(2)由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域;
(3)在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解
5.評價(jià)設(shè)計(jì)
課本第105頁習(xí)題[A]組的第2題.
【板書設(shè)計(jì)】
課題: 3.3.2簡單的線性規(guī)劃
第4課時(shí)
授課類型:新授課
【教學(xué)目標(biāo)】
1.知識與技能:掌握線性規(guī)劃問題的圖解法,并能應(yīng)用它解決一些簡單的實(shí)際問題;
2.過程與方法:經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出簡單的線性規(guī)劃問題的過程,提高數(shù)學(xué)建模能力;
3.情態(tài)與價(jià)值:引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識的興趣,發(fā)展創(chuàng)新精神,培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德。
【教學(xué)重點(diǎn)】
利用圖解法求得線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解;
【教學(xué)難點(diǎn)】
把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題,并給出解答,解決難點(diǎn)的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題中的已知條件,找出約束條件和目標(biāo)函數(shù),利用圖解法求得最優(yōu)解。
【教學(xué)過程】
1.課題導(dǎo)入
[復(fù)習(xí)引入]:
1、二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域(虛線表示區(qū)域不包括邊界直線)
2、目標(biāo)函數(shù), 線性目標(biāo)函數(shù),線性規(guī)劃問題,可行解,可行域, 最優(yōu)解:
2.講授新課
線性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用:
線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應(yīng)用,一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下,如何使用它們來完成最多的任務(wù);二是給定一項(xiàng)任務(wù),如何合理安排和規(guī)劃,能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項(xiàng)任務(wù)
下面我們就來看看線性規(guī)劃在實(shí)際中的一些應(yīng)用:
[范例講解]
例5 營養(yǎng)學(xué)家指出,成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白質(zhì),0.06kg的脂肪,1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白質(zhì),0.14kg脂肪,花費(fèi)28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白質(zhì),0.07kg脂肪,花費(fèi)21元。為了滿足營養(yǎng)專家指出的日常飲食要求,同時(shí)使花費(fèi)最低,需要同時(shí)食用食物A和食物B多少kg?
指出:要完成一項(xiàng)確定的任務(wù),如何統(tǒng)籌安排,盡量做到用最少的資源去完成它,這是線性規(guī)劃中最常見的問題之一.
例6 在上一節(jié)例3中,若根據(jù)有關(guān)部門的規(guī)定,初中每人每年可收取學(xué)費(fèi)1 600元,高中每人每年可收取學(xué)費(fèi)2 700元。那么開設(shè)初中班和高中班各多少個(gè),每年收取的學(xué)費(fèi)總額最高多?
指出:資源數(shù)量一定,如何安排使用它們,使得效益最好,這是線性規(guī)劃中常見的問題之一
結(jié)合上述兩例子總結(jié)歸納一下解決這類問題的思路和方法:
簡單線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解,無論此類題目是以什么實(shí)際問題提出,其求解的格式與步驟是不變的:
(1)尋找線性約束條件,線性目標(biāo)函數(shù);
(2)由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域;
(3)在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解
3.隨堂練習(xí)
課本第103頁練習(xí)2
4.課時(shí)小結(jié)
線性規(guī)劃的兩類重要實(shí)際問題的解題思路:
首先,應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型,即根據(jù)題意找出約束條件,確定線性目標(biāo)函數(shù)。然后,用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解,即畫出可行域,在可行域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解,最后,要根據(jù)實(shí)際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解,即結(jié)合實(shí)際情況求得最優(yōu)解。
5.評價(jià)設(shè)計(jì)
課本第105頁習(xí)題3.3[A]組的第3題
【板書設(shè)計(jì)】
課題: 3.3.2簡單的線性規(guī)劃
第5課時(shí)
授課類型:新授課
【教學(xué)目標(biāo)】
1.知識與技能:掌握線性規(guī)劃問題的圖解法,并能應(yīng)用它解決一些簡單的實(shí)際問題;
2.過程與方法:經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出簡單的線性規(guī)劃問題的過程,提高數(shù)學(xué)建模能力;
3.情態(tài)與價(jià)值:引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識的興趣,發(fā)展創(chuàng)新精神,培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德。
【教學(xué)重點(diǎn)】
利用圖解法求得線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解;
【教學(xué)難點(diǎn)】
把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題,并給出解答,解決難點(diǎn)的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題中的已知條件,找出約束條件和目標(biāo)函數(shù),利用圖解法求得最優(yōu)解。
【教學(xué)過程】
1.課題導(dǎo)入
[復(fù)習(xí)引入]:
1、二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域(虛線表示區(qū)域不包括邊界直線)
2、目標(biāo)函數(shù), 線性目標(biāo)函數(shù),線性規(guī)劃問題,可行解,可行域, 最優(yōu)解:
3、用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟:
2.講授新課
1.線性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用:
例7 在上一節(jié)例4中,若生產(chǎn)1車皮甲種肥料,產(chǎn)生的利潤為10 000元;生產(chǎn)1車皮乙種肥料,產(chǎn)生的利潤為5 000元,那么分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮,能夠產(chǎn)生最大的利潤?
2.課本第104頁的“閱讀與思考”——錯(cuò)在哪里?
若實(shí)數(shù),滿足
求4+2的取值范圍.
錯(cuò)解:由①、②同向相加可求得:
0≤2≤4 即 0≤4≤8 ③
由②得 —1≤—≤1
將上式與①同向相加得0≤2≤4 ④
③十④得 0≤4十2≤12
以上解法正確嗎?為什么?
(1)[質(zhì)疑]引導(dǎo)學(xué)生閱讀、討論、分析.
(2)[辨析]通過討論,上述解法中,確定的0≤4≤8及0≤2≤4是對的,但用的最大(小)值及的最大(小)值來確定4十2的最大(小)值卻是不合理的.X取得最大(?。┲禃r(shí),y并不能同時(shí)取得最大(?。┲怠S捎诤雎粤藊和 y 的相互制約關(guān)系,故這種解法不正確.
(3)[激勵(lì)]產(chǎn)生上述解法錯(cuò)誤的原因是什么?此例有沒有更好的解法?怎樣求解?
正解:
因?yàn)? 4x+2y=3(x+y)+(x-y)
且由已有條件有: (5)
(6)
將(5)(6)兩式相加得
所以
3.隨堂練習(xí)1
1、求的最大值、最小值,使、滿足條件
2、設(shè),式中變量、滿足
4.課時(shí)小結(jié)
[結(jié)論一]線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得.
[結(jié)論二]線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值也可能在可行域的邊界上取得,即滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè).
5.評價(jià)設(shè)計(jì)
課本第105頁習(xí)題3.3[A]組的第4題
【板書設(shè)計(jì)】